解三角形单元测试题及答案.docx

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解三角形单元测试题及答案

解三角形单元测试题及答案

第一章解三角形

正弦定理:

1.正弦定理：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即

亠二旦二亠=2R

siAsiBsiC（其中R是三角形外接圆的半径）

a+b+cabc

2.变形：

1）sinsin三sinCsinsinmsinC

2）化边为角:

a:

b:

c=sinA:

sinB:

sinC；

asinA

bsinB

asinA

bsinB'

csinC'

csinC'

3）化边为角：

a=2RsinA,

b=2RsinB,

c=2RsinC

sinAa

siBb

siAa

4）化角为边：

sinBb'

siCc

'siCc'

“a

b

c

5）化角为边：

sinA,

2R

sinB,

2R

sinC--

2R

二.三角形面积

111

SabcabsinCbcsinAacsinB

1.222

三.余弦定理

1.余弦定理：

三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即

2,22

abc-2bccosA

b2二a2c2「2accosB

c2二a2b2「2abcosC

cosC二

a2b2

2ab

利用余弦定理判断三角形形状:

设a、b、c是心C的角一三、C的对边，则：

①若，八八广七—y所以」为锐角

2若c2b2亠A为直角

金_1_^c2+b290°

3

所以」为钝

若--

角，则—「「是钝角三角形三角形中常见的结论

三角形三角关系：

A+B+C=180°；C=180（A+B）；

三角形三边关系：

两边之和大于第三边：

-;-「■'-■；两边之差小于第三边：

“—一厂„，一「、；在同一个三角形中大边对大角：

AB二ab=sinAsinB

4）三角形内的诱导公式:

siA（B=）CcioA（B=）一（CtoaA（B=）-Ca

解三角形

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1•在△ABC中，a=2,b=3,c=1,则最小角为（）

3.在△ABC中，已知|ab|=4,|AC|=1,Sa

ABC=U3,则abac等于（）

A2B.2C.

D.i2

4.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、

b、c,若c=2,b=6,B=120°贝9a等于（）

A.6B.2C.3D/2

5.

在厶ABC中，A=120°AB=5,BC=7,则sinC的值为（）

2,4,X,

则x的取值范围是（）

A.1

C.1

则cosB等于（

8下列判断中正确的是（）

A.△ABC中，a=7,b=14,A=30°有两解

3

B.2

D.y或t

n

10.在厶ABC中，BC=2,B=3,若厶ABC

的面积为"2，则tanC为（）

厂V3V3

A.3B.1C.亍D.」2

11.在厶ABC中，如果sinAsinB+sinAcosB+cosAsinB+cosAcosB=2,则厶ABC是

（）

A.等边三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形

12.△ABC中，若a4+b4+c4=2c2（a2+b2）,

则角C的度数是（）

A.60°B.45。

或

135°C.120°D.30°

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

sinAcosB斤

13.在△ABC中，若=，贝VB=

ab

14.在厶ABC中，A=60°AB=5,BC=7,

则厶ABC的面积为・

15.—船自西向东匀速航行，上午10时到

达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为里/小时.

16.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（3b—c）cosA=acosC,贝VcosA三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17.在厶ABC中，角A、B、C的对边是a、b、c,已知3acosA=ccoSB+bcosC

⑴求cosA的值；

（2）若a=1,coSB+cosC=，求边c的值.

3

18.（12分）设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=2bsinA.

⑴求B的大小.

（2）若a=33,c=5,求b

1

19.已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosC+c=b.

2

（1）求角A的大小；

（2）若a=1,求厶ABC的周长I的取值范围.

20・在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c,已知2acosA=ccosB-bcosC.

（1）求cosA的值；

（2）若a=1,cosBcosC，求边c的值.2

21.（12分）在厶ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,C=n

（1）若厶ABC的面积等于「3,求a,b.

（2）若sinB=2sin人，求厶ABC的面积.

53

22.如图，在二ABC中，点D在BC边上，AD=33,sinBAD,cos/ADC=-.

135

（1）求sin/ABD的值；

（2）求BD的长.

_2

~2-

18.解

（1）・.a=2bsinA,・'sinA=2sinBsinA,1n

••sinB=2・・・0

B=30°

（2）7=33,c=5,B=30°

由余弦定理b2=a2+c2—2accosB=（33）2

+5—2X33X5Xcos30=7.

2acosA二ccosBbcosC及正弦定理得

2sinAcosA=sinCcosBsinBcosC,即2sinAcosA=sinBC.

又BC二二-A,所以有2sinAcosA=sin加一A,即2sinAcosA=sinA.

1而sinA=0，所以cosA

2

1兀2兀

（2）由cosA及0vAv二，得A=—.因此B■C-二-A=

233

丄V3②\V'3

由cosBCOSC^G，得cosBcosE-B

1罷.^3.一-

cosB——cosB+—sinB=—，即得sinB+—i

222IT'

■:

■:

■:

2■:

B,或B-

6363

丄5■:

由A,知B,.于是

36166丿

所以B•，或B.

62

rr.31JI

若B,则C.在直角△ABC中,

62

rr■

若B=-,在直角△ABC中,

2

21.解

（1）由余弦定理及已知条件得

a2+b2—ab=4.

又因为△ABC的面积等于3,

所以^absinC=〔3由此得ab=4.

a2+b2—ab=4,

联立方程组解得

lab=4,

a=2,

b=2.

（2）由正弦定理及已知条件得b=2a.

a2+b2—ab=4,

联立方程组解得

lb=2a,

a=

b=

1

所以MBC的面积S=2absinC=

22.【答案】

（1）因为cos^ADC=-,

5

所以sin.ADC二:

1—cos'.ADC二4.

5

512

因为sin.BAD，所以cosBAD二1-sin2.BAD=

1313

因为ABD二ADC—•BAD,

所以sinABD二sin：

WADC-/BAD

4123

5

33

=—X——X

5135

13

65

（2）在厶ABD中，由正弦定理，

得

BD

sin•BAD

二sin_ADCcos—BAD-cos_ADCsin_BAD

AD

sin.ABD

33—

=25

33

65