数学之友高考模拟卷 1.docx

数学之友高考模拟卷 1.docx

《数学之友高考模拟卷 1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学之友高考模拟卷 1.docx（30页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

数学之友高考模拟卷1

2016高考数学模拟题

（1）

南师大《数学之友》

1.

23

2.

3.已知曲线y=x（x∈R，e是自然对数的底数）在x=-1处的切线和它在x=x（x

≠0）

ex00

处的切线互相垂直，设x∈⎛m,m+1⎞，m是整数，则m=▲．

0⎜44⎟

4.在⊗ABC中，角

⎝⎠

A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=2，且

cos2B+cosB+cos（A-C）=1，当a+2c取得最小值时，最大边所对角的余弦值是

▲．

二、解答题

7.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

x2y2

⎛12⎞

E:

+

a2b2

=1（a>b>0）的离心率为

，点A⎜,⎟

2⎝33⎠

在椭圆E上，射线AO与椭圆E的另一交点为B，点

P（-4t,t）在椭圆E内部，射线AP,BP与椭圆E的另一交

8.

（1）若点M在边BC上，设∠BPM=θ，用θ表示BM和NE的长；

（2）

（1）若数列{an}是等比数列，求实数p的值；

⎧1⎫

（2）是否存在实数p，使得数列⎨

⎩

⎬满足：

可以从中取出无限多项并按原来的先后次

n⎭

（1）若f[f

（1）]<0,求实数k的取值范围；

（2）设函数g（x）=f（x）-kx2的单调递增区间为D，对任意给定的k>0，均有

理科加试

11.

（1）设所选3人中女生人数ξ，求ξ的分布列及数学期望；

（2）求男生甲或女生乙被选中的概率；

12.

（1）求a3；

参考答案

一、填空题

4

解：

根据题意D为BC的中点，E为AC的三分之一点，以BC所在的直线为x轴，以线段BC的中垂线为y轴建立图示的直角坐标系，则

222

4

解：

因为f（x）为R上的奇函数，所以f（x）的图形关于原点成中心对

由图像可知函数f（x）在区间[-1,1]上为单调递增函数，所以

⎩

解：

当x<0时，f'（x）=x-1，且f'（-1）=-2e，及f（x）⋅（-2e）=-1即：

f（x）=1

>0，

ex0

02e

可以得到x

，即1-x0（-2e）=-1，即

0ex

0ex0

ex0

0

ex0+2ex-2e=0，设g（x）=ex+2ex-2e（x>0），显然g（x）在（0，+∞）上单调递增，

g

（1）=

2

-e<0，g（

3）=

4

-e=-

2

>0，所以x∈⎛2,

⎝

⎠

4

解：

根据题意，-cos（A+C）+cos（A-C）=1-cos2B，化简得：

sinAsinC=sin2B，

=4，当且仅当a=2

，c=

4

解：

集合A表示圆（x+1）2+y2=2上的点，又Q（0,0）∈B，∴集合B表示两条直线

距离d≥r,即|t-1|≥

5

解：

根据题意得：

a2x+max-n+a-2x+ma-x-n=-2，则

（ax+a-x）2+m（ax+a-x）-2n=0，令t=ax+a-x≥2，当且仅当x=0时，取“=”，

t2+mt-2n=0，即点（m,2n）在直线tx-y+t2=0上，m2+4n2可以看成是点（m,2n）到

（m2+4n2）

t22t4

原点的距离的平方，所以

5

min

=（）

1+t2

=t2+1

是增函数，当t=2时，

二、解答题

⎛1⎞2⎛2⎞2

⎜3⎟⎜3⎟

a2

解得a2=1，b2=1，

2

+⎝⎠

b2

=1,且=,2

1212

C（x,y）

D（x,y）

uuur=

uuur

uuruuur

设11，

22，AP

λ1PC，BP=λ2PD，其中λ1，λ2∈（0,1），

⎧

⎪x=

（λ1

+1）（-4t）-1

3

⎪1

⎪1

则⎨

⎪（λ1+1）t-

代入椭圆方程并整理得，（λ1+1）⋅18t2=λ1-1,

⎪y=3

1

⎩⎪1λ

12

Q18t2<1,∴λ

8.解：

（1）当点M在边BC上，设∠BPM=θ（0≤tanθ≤3），

4

在△PEN中,不妨设∠PEN=α,其中sinα=3,cosα=4，则

PE=NE，

即NE=

4sinθ=

sin（θ+α）

20sinθ

4sinθ+3cosθ

55

=20tanθ；

4tanθ+3

sin（π-θ-α）

sinθ

4tanθ+34

33

Qtanθ=

<0，tanθ=

4

444

当点M在边CD上，设CD中点为Q,由轴对称不妨设M在CQ上，此时点N在线段AE

上；设∠

MPQ=θ

（0≤tanθ≤4），在Rt△MPQ中，MQ=PQ⋅tanθ=3tanθ；

3

在△PAN中，不妨设∠PAE=β，其中sinβ=4,cosβ=3;

则PA=

AN，即AN=

55

3sinθ=15sinθ

=15tanθ；

sin（π-θ-β）

sinθ

sin（θ+β）3sinθ+4cosθ

3tanθ+4

由MC+CB+BA+AN=MQ+QD+DE+EN,得

AN=MQ，即3tanθ=15tanθ；解得tanθ=0或

3tanθ+4

tanθ=1；

3

3

9.

n213

2

a

1

an

⎨⎬

⎩n⎭

当p≠0时，因为a1

=1，2a

n+1

=2an

+

p，即a

⎧1⎫

n+1

-

an=

下面用反证法证明，当p≠0，从数列⎨a⎬不能取出无限多项并按原来的先后次序排成一

⎩n⎭

0⎨a⎬

⎩n⎭

所以,当n>1-b1,即n-1>-b1，即（n-1）d<-b时，b

=b+（n-1）d

=0，这与

dd

1n111

0

（2）当p<0时，令p0n+1-p0<0，解得，n>1-2，

022p

当n>1-

p0

时，an<0恒成立，

<0矛

n1n11dn

e+1

所以k∈（-

e

12

（2）g'（x）=

-1-2kx>0得2kx

x

+x-1<0,注意到x>0,得0

所以g（x）的单调递增区间为

0-1+

1+8k

>a，得

（，

4k4k

k<1-a

2a2

1-a

2a2

所以a≥1，又a=1时，D⊆（0,a]⇔-1+

1+8k4k

≤1⇔

≤4k+1⇔k2≥0，

1

1-x

（3）设f（x）=lnx-x-k,x∈（0,e）,则f'（x）=

-1=

x

所以f（x）在（0,1）上单调递

x

增，在（1,e）上单调递减，f

（1）=-1-k,f（e）=1-e-k,因此f（x）在区间（0,e）上有两个

⎩f（e）<0

⎨

当⎧f

（1）>0，即1-e

⎩f（e）<0

⎨

⎧f

（1）>0

递增，得在区间f（x）在（0,1）上存在唯一零点，而

⎩f（e）<0

，及f（x）在（1,e）上单调递减，

得f（x）在区间（1,e）上存在唯一零点，故f（x）在区间（0,e）上有两个零点的充要条件为

理科加试

33112

∴ξ的分布列为

C35

C35

C35

∴Eξ=

ξ

0

1

2

P

1

5

3

5

1

5

131

555

3

=

6

（2）设“男生甲、女生乙都不被选中”为事件C，则P（C）=C41，

—4

C35

（3）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则

21

=

P（A）=C5=1，P（AB）=C41，

C32C35

P（A）5

{2，3}，{1，2，3}，则所有满足题意的集合对（A,B）为（{1},{2}），（{1},{3}），（{2},{3}），

（2）设A中的最大数为k，其中1≤k≤n-1，整数n≥3，则A中必含元素k，另元素

1,2,L,k-1可在A中，故A的个数为：

C0

1

k-1

+L+Ck-1=2k-1，B中必不含元素

1,2,L,k，另元素k+1,k+2,L,n可在B中，但不能都不在B中，故B的个数为：

1

n-k

2

n-k

n-kn-k-

=2n-k-1,

从而集合对（A,B）的个数为2k-1⋅（2n-k-1）=2n-1-2k-1，

n-1

所以，an=（2

k=1

n-1

-2k-1

）=（n-1）⋅2

n-1

-1-2n-11-2

=（n-2）⋅2

n-1

2016高考数学模拟题

（2）

南师大《数学之友》

4

），且sin2θ=

1，则sin（θ-

4

4

OC=

OB⋅OC=0,则⊗ABC

⎧|2x-1|,x<1

⎩2-x,x≥1

若关于x的函数y=2f2（x）+2bf（x）+1有6个不同的

二、解答题

︒

别在l1和l2上）围出三角形ABC的养殖区，且AB的长不超过5km，由于条件的限制

AC=akm，a∈[3

2

3]

，设AB=xkm，问该渔民至少

2

直线l

被圆截得的弦长与椭圆

x2y2

C:

+

a2b2

2

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点M（0，-1）的动直线l交椭圆C于A、B两点,试问：

在坐标平面上是否存在一个

3

2x

1+x2

，若直线y=e-x是曲线C：

y=

f（x）的

（1）求a,b的值；

nnn3nn

（1）记数列{a}的前n项的和为S，已知S=n2，求证：

数列{a}是数列{a}的等差子列；

的等比子列，求n1的值；

理科加试

（1）假设这名运动员投篮3次，求恰有2次投进的概率；

（2）假设这名运动员投篮3次，每次投进得1分，未投进得0分；在3次投篮中，若有2

件“1≤x1

+

x2

+L+xn

（1）求S2，S4的值；

22

参考答案

解：

d=，AB=2

，所以S⊗OAB=2⨯2

⨯t=

，当t=2

4

解：

因为θ∈（0,π

），所以sinθ

4

以sinθ-cosθ=-

2

，故sin（θ-

π）=

4

44

24

3

解：

V

E-FGH

8A-BCD83433

解：

以OB,OC为正交基底建立平面直角坐标系（OB,OC的方向为x,y轴的正方向），

则BC=5，直线BC的方程为x+2y-2

A（4cosα,4sinα），则A到直线BC的距离为

=0，点A在圆x2+y2=16上，设

1

d=≤

3,-

2

解：

由函数f（x）的图像可得，

使得函数y=2f2（x）+2bf（x）+1有6个不同的零点，

⎧0<-b<1

⎪2

2⎪

必须保证方程g（x）=2x

3

+2bx+1=0在（0,1）上有两个不同的根，⎨3+2b>0,

⎪

⎪4b2-8>0

⎩

解得-

2

（a+1）2

（a+1）2（a+1）2

解：

Sn

=n

，当n≥2

时，an=Sn-Sn-1

=n-n-1即

（an

-1）2=（a

n-1

4

+1）2

化简得an

-1=±（a

n-1

+1）所以an

-an-1

4

=2或an

=-a

4

n-1（舍去），

S+Sm2+n2

4（m2+n2）

令n=1，解得a1

Skk

=（m+n）2，又

4（m2+n2）

2（m-n）2

S+S

（m+n）2

-2=

（m+n）2

S

k

二、解答题

7.解：

根据题意S△ABD

+S△ACD

=S△ABC，

即1x⋅1⋅sin60︒+122

x

AC⋅1⋅sin60︒=

a

1x⋅AC⋅sin120︒，解得：

AC=

2

x

x-1

令0<

x-1

≤a，解得：

x≥

a-1

a

又

a-1

-5=

5-4a

a-1

<0，所以

aa-1

令△ABC的面积为y，

则y=

1x⋅AC⋅sin120︒=

2

⋅x2=

4x-1

[（x-1）+

4

1

x-1

©当aa-1

≤2，即2≤a≤3时，y≥

3（2+2）=

4

，当且仅当x=2时取"=";

º当aa-1

>2，即3≤a<2时，令t=x-1，t∈[2

1

a-1

再令f（t）=

4t4t2

Q1>1,∴f'（t）>0即f（t）在t∈[1,4]上为单调递增函数，

a-1

所以fmin（t）=

a-14（a-1）

a-1

答：

当2≤a≤3时，养殖区面积的最小值为

平方公里，

当3≤a<2时，养殖区面积的最小值为

2

4（a-1）

8.解：

（1）由题设，可知b=

=1，

x22

又e=,a=,所以椭圆C的方程是+y

22

（2）法一：

假设存在点T（u,v），若直线l的斜率存在，设其方程为y=kx-1，

3

设点A,B的坐标分别为

A（x1,y1）,B（x2,y2）

，则x1,2=

6k2+3

uur

因为（x

-

u,y-

uur=（x

-

u,y

-

v）及y

=kx

-1,y

=kx

-1,

TA11

v）,TB22

113223

所以，TA⋅TB=（x1-u）（x2-u）+（y1-v）（y2-v）

=（k2+1）xx-（u+1k+kv）（x+x）+u2+v2+2v+1

1231239

（6u2+6v2-6）k2-4ku+（3u2+3v2+2v-5）

，

6k2+3

当且仅当→→恒成立时，以AB为直径的圆恒过定点T,

TA⋅TB=0

⎧6u2+6v2-6=0,

⎨

所以⎪u=0,

39

⎧x2+y2=1

⎪

⎧x=0

解得⎨y=1

⎩⎪39⎩

当直线l的斜率不存在，即直线l与y轴重合时，以AB为直径的圆为x2+y2=1，过点T（0,1）；

当直线l的斜率存在，设直线方程为y=kx-1，代入椭圆方程，

3

⎧x+x=

12k,

⎪1218k2+9

设点A,B的坐标分别为A（x1,y1）,B（x2,y2），则⎨-16

⎩⎪12

18k2+9

→→及y

=kx

-1,y

=kx

-1,

QTA=（x1,y1-1）,TB=（x2,y2-1）

113223

→→

∴⋅=xx

+

（y

-1）（y

-1）

TATB1212

=（k2+1）xx-4k（x+x）+16

123129

=-16（k2+1）-4⋅12k+16=

18k2+93k18k2+990

⎨

⎧a-lnx0-1=-1

根据题意得，，

⎩e-x0=ax0+b-x0lnx0

⎨

⎧a=lnx0

⎩b=e-x0

又f

（1）=1=a+b=lnx0+e-x0

令h（x）=lnx-x+e-1（x>1），h'（x）=1-1，所以h（x）在（1，+∞）为单调递减函数，

x

（2）因为f（x）=x-xlnx（00，

所以f（x）在（0，1）上为单调递增函数；

要证上式成立，只要证n-nlnn>

n2-1

2nn2+1

'

，即证lnn-

（n2-1）2

n2-1

n2+1

<0，

令r（n）=lnn-（0

n2+1

n（n2

+1）

>0，

所以r（n）在（0，1）为单调递增函数，所以r（n）

（1）=0，

所以lnn-

n2-1

n2+1

（2）根据题意，a3=a5-2d=6-2d，公比q=6-2d，

6

所以an

6

1-2d

又a=a5+（n1-5）d=6+（n1-5）d，

366

所以d=1,n1=8或d=2,n1=11或d=-3,n1=6，

设数列{a

k

}为{an}的等差子列，公差为d，则an

=a⋅qnk-1，a

nk+1

=a⋅qnk+1-1，

所以a

nk+1

-

ank

=a1

当q>1时，qnk+1-nk-1≥q-1，所以d

=ank+1

-

ank

≥a1

取nk

>1+logq

，所以a

nk+1

-

ank

当q<1时，d

=a1

⋅

qnk-1⋅qnk+1-nk-1≤a

⋅

qnk-1⋅（qnk+1-nk

+1）<2a1

⋅

qnk-1，

取nk

>1+logq

，所以a

nk+1

-

ank

理科加试

所以ξ的分布列是

ξ

0

1

2

3

6

P

0.008

0.096

0.128

0.256

0.512

22

若x1+x2+L+xn=k（1≤k≤m），只要x1,x2,L,xn中有k个取1或-1其余均取0即可，共有Ck⋅（C1）k=2k⋅Ck，所以

n2n

Sn=C12+C222+L+Cm2m

=C020+C121+C222+L+Cn2n-（2m+1+2m+2+L+2n）