21相交于P,Q,则APBQ.b
1（a2b2）
a2b2
22
x2y2
2222
acosbsin,其中
bx
tan,当y0时,90.
ay
22
xy
31．设S为椭圆221（a>b>0）
ab
的通径，定长线段L的两端点
A,B
在椭圆上移动，记|AB|=l，M（x0,y0）是AB
中点，则当l
S时，有（x0）max
c2le（c2a2b2,eca）;当lS时，有（x0）max2ab4b2l2,（x0）min0.
2y21与直线AxByC0有公共点的充要条件是A2a2B2b2C2.
ab2233．椭圆（x2x0）（y2y0）1与直线AxByC0有公共点的充要条件是A2a2B2b2（Ax0By0C）2.b
2
x32．椭圆2
2a22xy
34．设椭圆221（a>b>0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记F1PF2a2b2
PF1F2,F1F2P，则有since.
1212sinsina
35．经过椭圆b2x2a2y2a2b2（a>b>0）的长轴的两端点A1和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于|P1A1||P2A2|b2.
22
xy
36．已知椭圆221（a>b>0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ（.1）ab
P1和P2，则
2）|OP|2+|OQ|2的最小值为42ab2;（3）SOPQ的最小值是
22
ab
22.
ab
a2b
37．MN是经过椭圆b2x2a2y2a2b2（a>b>0）焦点的任一弦，若|AB|22a|MN|.
38．MN是经过椭圆b2x2a2y2a2b2（a>b>0）焦点的任一弦，若过椭圆中心2111.
a|MN||OP2|a22b
AB是经过椭圆中心
11
22|OP|2|OQ|2
O且平行于MN
O的半弦OP
a12b12;
的弦，则
MN，则
39．设椭圆221（a>b>0）,M（m,o）或（o,m）为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过M引一条直线与椭圆相交
ab
a2b2
于P、Q两点，则直线A1P、A2Q（A1,A2为对称轴上的两顶点）的交点N在直线l：
x（或y）上.
mm
AP和AQ分别交相应于焦点F的椭
40．设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
41．过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，于点N，则MF⊥NF.
22
xy
42．设椭圆方程221,则斜率为k（k≠0的）平行弦的中点必在直线l：
ykx的共轭直线ykx上,而且kkab
A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交
b2
2.a
22
xy
43．设A、B、C、D为椭圆221上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为,，直线AB与CD相交于
a2b2
b2cos2a2sin2
2222.
bcosasin
P,且P不
PA
PB
PC
PD
2
2
x
y22
2a
b2
在椭圆上,则
44．已知椭圆
1（a>b>0）,点P为其上一点F1,F2为椭圆的焦点，
F1PF2的外（内）角平分线为l
，作F1、
F2分别垂直l于R、S，
当P跑遍整个椭圆时，R、S形成的轨迹方程是x2y2
22a2y2b2xxc（c2y2
45．设△ABC内接于椭圆，且AB为的直径，l为AB的共轭直径所在的直线，为l上一点，则CD与椭圆相切的充要条件是D为EF的中点.
22
46．过椭圆x2y21
ab
|PF|e.
|MN|2.
a>b>0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，
47．设A（x1,y1）是椭圆
22
x2y21（a>b>0）上任一点，过A作一条斜率为ab
a2y2b2xc
l分别交直线AC、BC于E和F，又D
弦MN的垂直平分线交x轴于P，则
b2x1的直线
ay1
L，又设d是原点到直线L
的距离,r1,r2分别是A到椭圆两焦点的距离，则r1r2dab.
22
xy
和22（01），一直线顺次与它们相交于
ab
48．已知椭圆
2
x
2
a
2
b21
a>b>0）
A、B、C、D四点，则
AB│=|CD│
49．已知椭圆
2
x2y
a2b2
2
1
22
ab
22
ab
a>b>0）
A、B、是椭圆上的两点，线段
AB的垂直平分线与
x轴相交于点P（x0,0）,则
x0
a
2
x
50．设P点是椭圆2
a2
2b22
.
（2）SPF1F2b2tan2.
2
by221（
a>b>0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2，则
（1）|PF1||PF2|1cos
51．设过椭圆的长轴上一点B（m,o）作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴的左顶点，连结22
应于过H点的直线MN：
xn于M，N两点,则MBN90amanm
AP和AQ分别交相
am
b2（na）2
22xy
52．L是经过椭圆221（a>b>0）长轴顶点A且与长轴垂直的直线，ab
若EPF，则是锐角且sine或arcsine（当且仅当|PH|b时取等号）.
22
xy
53．L是椭圆221（a>b>0）的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点,点PL，e是离心率，a2b2
E、F是椭圆两个焦点，
e是离心率,点PL，
EPF，H是L
与X轴的交点c是半焦距，则是锐角且sine或arcsine（当且仅当|PH|
ab
时取等号）
54．L是椭圆221（a>b>0）的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交点，点PL，EPF,离心率
ab
为e，半焦距为c，则为锐角且sine2或arcsine2（当且仅当|PH|ba2c2时取等号）.
c
22
xy
55．已知椭圆221（a>b>0），直线
ab
L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于A、B两点，将A、B与椭圆左焦点F1
连结起来，则b2|F1A||F1B|
（2a2b2）2
a2
当且仅当AB⊥x轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B三点共线时
左边不等式取等号）
22
56．设A、B是椭圆x2y21（ab
a>b>0）
的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB,PBA,BPA，
c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有
222
2ab|cos|22ab
（1）|PA|222.
（2）tantan1e.（3）SPAB22cot.accosba
22
57．设A、B是椭圆x2y21（a>b>0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且xA、xB的横坐标xAxBa，a2b2
（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则PBAQBA；
（2）若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，
则PABQAB180.
22
58．设A、B是椭圆x2y21（a>b>0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，
（1）若过A点引直线与ab
这椭圆相交于P、Q两点，（若BP交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称），且PBAQBA，则点A、B的横坐标
2P、Q两点，且PABQAB180,则点A、B的横坐标满
xA、
xB满足xAxBa足xAxBa.
；
（2）若过B点引直线与这椭圆相交于
59．设A,A'是椭圆
22
xy''
21的长轴的两个端点，QQ'是与AA'垂直的弦，b2
a2
则直线AQ与AQ''的交点P的轨迹是双曲线
22
x22y221
22ab
22
60．过椭圆x2y
a
2
b21
261．到椭圆x2y21（abx2y262．到椭圆x2ya
a>b>0）的左焦点F作互相垂直的两条弦
AB、
222
CD则82ab2|AB||CD|2（ab）
aba
ac
a>b>0）两焦点的距离之比等于（c为半焦距）
b
的动点M的轨迹是姊妹圆（xa）2y2b2.
a>b>0）的长轴两端点的距离之比等于
ac（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆b
b21a22b2
（xa）2y2（b）2.eex2y263．到椭圆x2y21ab
（xa2）2y2（b2）2（e为离心率）.
ee
22
xy'''
64．已知P是椭圆221（a>b>0）上一个动点，A',A是它长轴的两个端点,且AQAP,AQ'A'P，则Q点的
a2b2
x2b2y2
轨迹方程是x2by41.
a2a4
65．椭圆的一条直径（过中心的弦）的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.
222
xy'bx1'
66．设椭圆221（a>b>0）长轴的端点为A,A',P（x1,y1）是椭圆上的点过P作斜率为21的直线l，过A,A'分
abay1
'''2''
别作垂直于长轴的直线交l于M,M',则
（1）|AM||A'M'|b2.
（2）四边形MAA'M'面积的最小值是2ab.22
67．已知椭圆x2y21（a>b>0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,ab
ac
a>b>0）的两准线和x轴的交点的距离之比为（c为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆
b
点C在右准线l上，且BC//x轴，则直线AC经过线段EF的中点.68．OA、OB是椭圆（x2a）
a
2y
21（a>0,b>0）的两条互相垂直的弦，b2
O为坐标原点，则
（1）直线AB必经过一个
定点（22ab2,0）.
（2）以OA、ab
ab2ab2
OB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是（x2ab2）2y2（2ab2）2（x0）.
abab
2y
221（a>b>0）上一个定点，PA、PB是互相垂直的弦，则
（1）直线AB必经过一个定ab
n（b2a2））.
（2）以PA、PB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是
ab
224222bn2a[bn（ab）]22）222（xm且yn）.
a2b2（a2b2）2
70．如果一个椭圆短半轴长为b，焦点F1、F2到直线L的距离分别为d1、d2，那么
（1）d1d2b2，且F1、F2在L同侧直线L和椭圆相切.
（2）d1d2b2，且F1、F2在L同侧直线L和椭圆相离，（3）d1d2b2，或F1、F2在L异侧直
线L和椭圆相交.
22xy
71．AB是椭圆221（a>b>0）的长轴，N是椭圆上的动点，过N的切线与过A、B的切线交于C、D两点，则ab
（xa）2
69．P（m,n）是椭圆
点2ab2m（a2b2）
点（
22
ab
ab2a2m2
（x22）2（y
ab
x24y2
梯形ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是x24y21（y0）.a2b2
2222
xyxy
72．设点P（x0,y0）为椭圆221（a>b>0）的内部一定点，AB是椭圆22
abab
222222ab（ay0bx0）.当弦AB垂直于长轴所在直线时
1过定点P（x0,y0）的任一弦，当
弦AB平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时（|PA||PB|）max
b2
（|PA||PB|）minab（ay0bx0）
2
a
73．椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切74．椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.
75．椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.
76．椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.
77．椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点
78．椭圆焦三角形中
79．椭圆焦三角形中
80．椭圆焦三角形中
81．椭圆焦三角形中
82．椭圆焦三角形中
83．椭圆焦三角形中
84．椭圆焦三角形中圆的切点.
85．椭圆焦三角形中
86．椭圆焦三角形中
87．椭圆焦三角形中
88．椭圆焦三角形中
2
xy
e（离心率）.（注:
在椭圆焦三角形中,非焦顶
.）
内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线
则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.
垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的
非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.
非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.
过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.
2bb
）上有一点P,过点P分别作直线ybx及ybx的平行线，与x轴
aa
222222
|OM|2|ON|22a2；
（2）|OQ|2|OR|22b2.
b
bx的平行线，分别交x轴于M,N，交y轴于R,Q.
（1）若a
2
y21（a0,b0）.
（2）若|OQ|2|OR|22b2，则P的轨迹方程是b
89.已知椭圆221（a0,b0）（包括圆在内
ab
于M,N，与y轴交于R,Q.,O为原点，则：
b
90.过平面上的P点作直线l1:
ybx及
a
1）
l2:
y
e.
|OM|2|ON|22a2，则P的轨迹方程是
2
x
2
a
22xy
221（a0,b0）.a2b2
91.点P为椭圆x2y21（a0,b0）（包括圆在内）在第一象限的弧上任意一点，过P引x轴、y轴的平行线，交y轴、ab
bab
x轴于M,N，交直线ybx于Q,R，记OMQ与ONR的面积为S1,S2，则：
S1S2ab.
a2
92.点P为第一象限内一点，过P引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于M,N，交直线ybx于Q,R，记OMQ
22
a
abxy
与ONR的面积为S1,S2，已知S1S2，则P的轨迹方程是221（a0,b0）.
2ab
椭圆性质92条证明
1.椭圆第一定义。
2.由定义即可得椭圆标准方程。
3.椭圆第二定义。
y0
22222bx0ay0bx0c
22x0y0acy0bx0y0
2a
的斜率为k，PF1所在直线l1斜率为k1，
a2b2b
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