概率论与数理统计答案docx.docx

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习题答案

第1章

三、解答题

1．设P（AB）=0，则下列说法哪些是正确的？

（1）A和B不相容；

（2）A和B相容；

（3）AB是不可能事件；

（4）AB不一定是不可能事件；

（5）P（A）=0或P（B）=0

（6）P（A–B）=P（A）

解：

（4）（6）正确.

2．设A，B是两事件，且P（A）=0.6，P（B）=0.7，问：

（1）在什么条件下P（AB）取到最大值，最大值是多少？

（2）在什么条件下P（AB）取到最小值，最小值是多少？

解：

因为P（AB）

P（A）

P（B）

P（A

B），

又因为P（B）

P（A

B）即P（B）

P（A

B）0.

所以

（1）当P（B）

P（A

B）时P（AB）取到最大值，最大值是

P（AB）P（A）=0.6.

（2）P（AB）

1时P（AB）取到最小值，最小值是P（AB）=0.6+0.7-1=0.3.

3．已知事件A，B满足P（AB）

P（AB），记P（A）=p，试求P（B）．

解：

因为P（AB）

P（AB），

即P（AB）

P（A

B）

1

P（A

B）

1P（A）

P（B）

P（AB），

所以P（B）

1P（A）

1

p.

4．已知P（A）=0.7，P（A–B）=0.3，试求P（AB）．

解：

因为P（A–B）=0.3，所以P（A）–P（AB）=0.3,P（AB）=P（A）–0.3,

又因为P（A）=0.7，所以P（AB）=0.7–0.3=0.4，P（AB）

1

P（AB）

0.6.

5．从5双不同的鞋子种任取

4只，问这4

只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？

解：

显然总取法有

n

C104

种，以下求至少有两只配成一双的取法

k：

法一：

分两种情况考虑：

k

C51C42（C21）2

+C52

其中：

C51C42（C21）2

为恰有1双配对的方法数

法二：

分两种情况考虑：

k

C51

C81

C61

+C52

2!

11

其中：

C51C8C6为恰有1双配对的方法数

2!

法三：

分两种情况考虑：

kC51（C82C14）+C52

其中：

C51（C82

C41）为恰有1双配对的方法数

法四：

先满足有1双配对再除去重复部分：

kC51C82

-C52

法五：

考虑对立事件：

kC104

-C54（C21）4

其中：

C54

（C21）4

为没有一双配对的方法数

法六：

考虑对立事件：

kC104C101

C81C61C41

4!

C101

C81C61C41

其中：

4!

为没有一双配对的方法数

所求概率为p

k

13.

C104

21

6．在房间里有10个人，分别佩戴从

1号到10号的纪念章，任取

3人记录其纪念章的号码．求：

（1）求最小号码为5的概率；

（2）求最大号码为5的概率．

C52

1

C31A52

1

解：

（1）法一：

p

，法二：

p

C103

12

A103

12

C42

1

C31A42

1

（2）法二：

p

，法二：

p

C103

20

A103

20

7．将3个球随机地放入

4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为

1，2，3的概率．

解：

设M1,M2,M3表示杯子中球的最大个数分别为

1，2，3的事件，则

P（M1）

A43

3,P（M2）

C32

A42

9,

P（M3）

C41

1

43

8

43

16

43

16

8．设5个产品中有3个合格品，2

个不合格品，从中不返回地任取2

个，求取出的

2个中全是合格品，仅有一个

合格品和没有合格品的概率各为多少？

解：

设M2,M1,M0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则

P（M

C32

0.3,P（M1）

C31C21

0.6,P（M1）

C22

0.1

2）

C52

C52

C52

9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．

解：

设M1=“取到两个球颜色相同”，

M1=“取到两个球均为白球”，M2=“取到两个球均为黑球”，则

MM1

M2且M1

M2

.

所以P（M）

P（M1

M2）

C52

C32

13

.

P（M1）P（M2）

C2

28

C2

8

8

10．若在区间（0，1）内任取两个数，求事件“两数之和小于

6/5”的概率．

解：

这是一个几何概型问题．以

x和y表示任取两个数，在平面上建立

xOy直角坐标系，如图.

任取两个数的所有结果构成样本空间

={（x，y）：

0

x，y

1}

事件A=“两数之和小于

6/5”={（x，y）

：

x+y

6/5}

因此

2

1

1

4

A的面积

2

5

17．

P（A）

的面积

1

25

图？

11．随机地向半圆0

y

2ax

x2

（a为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正

比，求原点和该点的连线与

x轴的夹角小于

的概率．

4

解：

这是一个几何概型问题．以

x和

y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，

表示原点和该点的连线与

x轴的夹角，

在平面上建立xOy直角坐标系，如图.

随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间

={（x，y）：

0x2a,0y2axx2}

事件A=“原点和该点的连线与

x轴的夹角小于

”

4

={（x，y）：

0

x2a,0

y

2ax

x2,0

}

4

因此

A的面积

1a2

1

a

2

1．

2

4

1

P（A）

1

2

的面积

2

2

a

12．已知P（A）

1

1

1

P（BA）

P（AB）

，求P（AB）．

4

3

2

解：

P（AB）

P（A）P（BA）

1

1

1,P（B）

P（AB）111,

4

312

P（A|B）1226

13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合

格品的概率是多少？

解：

题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取

两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。

设A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；

C62

2

C42

2

P（A）1P（A）1

，P（B）

C

，

C2

3

2

15

10

10

14．有两个箱子，第

1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有

4个白球4个红球，现从第

1个箱子中随机地取1

个球放到第2个箱子里，再从第

2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？

已知上述从第

2个箱子中取出

的球是白球，则从第

1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？

解：

设A=“从第1

个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2

个箱子中取出的1个球是白球”，则

P（A）

C21

3,P（A）

2

，由全概率公式得

C51

5

5

由贝叶斯公式得

15．将两信息分别编码为

A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率

为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2：

1，若接收站收到的信息是

A，问原发信息是

A的概率是多少？

解：

设M=“原发信息是A”，N=“接收到的信息是A”，

已知

所以

由贝叶斯公式得

16．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为

11

1

,

，问三人中至少有一人能将此密码译出的

534

概率是多少？

解：

设Ai=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3.

1

1

1

4

2

3

已知P（A1）,P（A2）

P（A3）

所以P（A1）

P（A2）

P（A3）

5

3

4

5

3

4

至少有一人能将此密码译出的概率为

17．设事件A与B相互独立，已知P（A）=0.4，P（A∪B）=0.7，求P（BA）.

解：

由于A与B相互独立，所以P（AB）=P（A）P（B）,且

P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-P（A）P（B）

将P（A）=0.4，P（A∪B）=0.7代入上式解得P（B）=0.5，所以

或者,由于A与B相互独立,所以A与B相互独立，所以

18．甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为

0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率

是多少？

解：

设A=“甲射击目标”，B=“乙射击目标”，M=“命中目标”，

已知P（A）=P（B）=1,P（MA）

0.6,P（MB）0.5,所以

由于甲乙两人是独立射击目标，所以

19．某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种

工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为

0.3，0.2，试问：

（1）用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？

（2）第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是

0.3时，情况又如何？

解：

设

Ai=“第

1种工艺的第

i道工序出现合格品”，

i=1,2,3；

Bi=“第

2种工艺的第

i道工序出现合格品”，

i=1,2.

（1）根据题意，P（A1）=0.7，P（A2）=0.8，P（A3）=0.9，P（B1）=0.7,P（B2）=0.8,

第一种工艺加工得到合格品的概率为

P（A1A2A3）=P（A1）P（A2）P（A3）=0.70.80.9

0.504,

第二种工艺加工得到合格品的概率为

P（B1B2）=P（B1）P（B2）=0.7

0.8

0.56,

可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。

（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为

0.504，而

P（B1）=P（B2）=0.7,

第二种工艺加工得到合格品的概率为

P（B1B2）=P（B1）P（B2）=0.7

0.7

0.49.

可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。

1

1．设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件ABC=，P（A）P（B）P（C）,且已知

2

9

P（ABC），求P（A）．

16

解：

因为ABC=，所以P（ABC）=0,

因为A，B，C两两相互独立，P（A）

P（B）

P（C）,所以

由加法公式P（A

B

C）

P（A）

P（B）

P（C）P（AB）

P（BC）

P（AC）

P（ABC）得

3P（A）

3[P（A）]2

9

即

[4P（A）

3][4P（A）

1]

0

16

考虑到P（A）

1

1

2

得P（A）.

4

1

，且P（ABC）

P（ABC），证明：

2．设事件A，B，C的概率都是

2

2P（ABC）

P（AB）

P（AC）

P（BC）

1

．

2

证明：

因为P（ABC）

P（ABC），所以

P（ABC）1

P（A

B

C）

1

[P（A）P（B）

P（C）P（AB）

P（BC）

P（AC）P（ABC）]

将P（A）

P（B）

P（C）

1

代入上式得到

2

整理得

3．设0

P（A|B）

1

与B独立．

，试证A

证明：

因为P（A|B）+P（A|B）

1，所以

将P（A

B）

P（A）

P（B）P（AB）代入上式得

两边同乘非零的P（B）[1-P（B）]并整理得到

所以A与B独立.

4．设A，B是任意两事件，其中

A的概率不等于

0和1，证明P（B|A）

P（B|A）是事件A与B独立的充分必

要条件．

证明：

充分性，由于P（B|A）

P（B|A），所以P（AB）

P（AB）,即

P（A）

P（A）

两边同乘非零的

P（A）[1-P（A）]并整理得到P（AB）

P（A）P（B）,所以A与B独立.

必要性：

由于A与B独立，即P（AB）

P（A）P（B）,且P（A）0,P（A）

0,所以

一方面

另一方面

所以P（B|A）

P（B|A）.

5．一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第

p

一次不及格则第二次及格的概率为.

2

（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率．

（2）若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率．

解：

设Ai=“第i次及格”，i=1，2.已知P（A1）p,P（A2|A1）p,P（A2|A1）

p

2

由全概率公式得

（1）

他取得该资格的概率为

（2）

若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为

6．每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱

产品为不合格而拒收．由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被误判为正品的概率为

10%．求检验一箱产品能通过验收的概率．

解：

设Ai=“一箱产品有i件次品”，i=0，1，2.设M=“一件产品为正品”，N=“一件产品被检验为正品”.

1

已知P（A0）P（A1）P（A2）

P（N|M）

0.02,P（N|M）

0.1,

3

由全概率公式

9

1

1P（N|M）

10.020.98,

P（M）1P（M）1

又P（N|M）

10

10

由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为

7．用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下．若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真含不

有杂质检验结果为不含有的概率为0.9；据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4和

0.6．今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有

杂质的概率．

解：

A=“一产品真含有杂质”，Bi=“对一产品进行第i次检验认为含有杂质”，i=1,2,3.

已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次

认为检验不含有杂质，即B1，B2发生了，而B3未发生.

又知P（Bi|A）0.8,P（Bi|A）0.9,P（A）

0.4,所以

P（AB1B2B3）

P（A）P（B1B2B3|A）

所求概率为P（A|B1B2B3）

P（B1B2B3）

P（A）P（B1B2B3|A）P（A）P（B1B2B3|A）

由于三次检验是独立进行的，所以

8．火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射

2发，已知火炮与坦

克每次发射的命中概率不变，它们分别等于

0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁．试问

（1）火炮与坦克被的概率各等于多少？

（2）都不被的概率等于多少？

解：

Ai=“第i次射目被”，i=1,2,3,4.

已知P（A1）P（A3）0.3,P（A2）P（A4）0.35,所以

（1）火炮被的概率坦克被的概率

（2）都不被的概率

9．甲、乙、丙三人行比，定每局两个人比，者与第三人比，依次循，直至有一人两次止，

此人即冠，而每次比双方取的概率都是

1

，假定甲乙两人先比，求各人得冠的概率．

2

解：

Ai=“甲第i局”，Bi=“乙第i局”，Bi=“丙第i局”，i=1,2,⋯.，

已知P（Ai）

P（Bi）P（Ci）

1

i1,2,...，由于各局比具有独立性，所以

2

在甲乙先比，且甲先第一局，丙的概率

3

6

9

1,

P（A1C2C3

A1C2B3A4C5C6

A1C2B3A4C5B6A7C8C9...）

1

1

1

...

2

2

2

7同，

1

在甲乙先比，且乙先第一局，丙的概率也

7

2

1

2

甲、乙得冠的概率均

1

2

5

丙得冠的概率

7

7

（1

）

.

2

7

14

第二章

2

一、填空：

1.

PXx，F（x2）

F（x1）

2.P{Xk}

Cnkpk（1p）nk，k=0，1，⋯，n

k

3.

P{X

k}

k!

e

0参数，k=0，1，⋯