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1、概率论与数理统计答案docx习题答案第1 章三、解答题1设 P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的？(1)A 和 B 不相容；(2)A 和 B 相容；(3)AB 是不可能事件；(4)AB 不一定是不可能事件；(5)P(A) = 0 或 P(B) = 0(6)P(A B) = P(A)解： (4) (6)正确 .2设 A，B 是两事件，且 P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，问：(1)在什么条件下 P(AB)取到最大值，最大值是多少？(2)在什么条件下 P(AB)取到最小值，最小值是多少？解：因为 P(AB)P( A)P(B)P( AB) ，又因为 P(B)P(AB) 即 P( B)

2、P(AB) 0.所以(1) 当 P(B)P(AB) 时 P(AB)取到最大值，最大值是P( AB) P( A) =0.6.(2) P( A B)1 时 P(AB)取到最小值，最小值是 P(AB)=0.6+0.7-1=0.3.3已知事件 A， B 满足 P( AB)P( A B ) ，记 P(A) = p，试求 P(B)解：因为 P( AB )P( AB ) ，即 P( AB)P( AB)1P(AB)1 P( A)P(B)P(AB ) ，所以 P( B)1 P( A)1p.4已知 P(A) = 0.7，P(A B) = 0.3，试求 P( AB) 解：因为 P(A B) = 0.3，所以 P(A

3、 )P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A )0.3,又因为 P(A) = 0.7，所以 P(AB) =0.70.3=0.4， P( AB)1P( AB )0.6 .5 从 5 双不同的鞋子种任取4 只，问这 4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？解：显然总取法有nC104种，以下求至少有两只配成一双的取法k ：法一：分两种情况考虑：kC51 C 42 (C21 ) 2+ C 52其中： C51C 42 (C 21 )2为恰有 1 双配对的方法数法二：分两种情况考虑：kC51C81C 61+ C522!1 1其中： C51 C8 C 6 为恰有 1 双配对的方法数2!法三：分两种

4、情况考虑： k C51 (C82 C 14 ) + C52其中： C51(C82C 41 ) 为恰有 1 双配对的方法数法四：先满足有 1 双配对再除去重复部分： k C51C82- C52法五：考虑对立事件：k C104- C54 (C21 )4其中： C54(C 21 ) 4为没有一双配对的方法数法六：考虑对立事件：kC104 C101C81 C61 C414!C101C81 C61 C 41其中：4!为没有一双配对的方法数所求概率为 pk13 .C104216在房间里有 10 个人，分别佩戴从1 号到 10 号的纪念章，任取3 人记录其纪念章的号码求：(1)求最小号码为 5 的概率；(2

5、)求最大号码为 5 的概率C521C31 A521解： (1) 法一： p，法二： pC10312A10312C421C31 A421(2) 法二： p，法二： pC10320A103207将 3 个球随机地放入4 个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3 的概率解：设 M1, M 2, M 3 表示杯子中球的最大个数分别为1， 2，3 的事件，则P(M 1)A433 , P(M 2 )C32A429 ,P( M 3 )C 411438431643168设 5 个产品中有 3 个合格品， 2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2 个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各

6、为多少？解：设 M2, M 1, M 0 分别事件表示取出的 2 个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则P(MC320.3, P(M 1 )C31C210.6 , P( M 1 )C220.12 )C52C52C529口袋中有 5 个白球， 3 个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率解：设 M1=“取到两个球颜色相同”，M 1=“取到两个球均为白球”， M 2=“取到两个球均为黑球”，则M M 1M 2 且M 1M 2.所以 P(M )P( M 1M 2 )C52C3213.P(M 1 ) P(M 2 )C228C28810 若在区间 (0， 1)内任取两个数，求事件“两数

7、之和小于6/5 ”的概率解：这是一个几何概型问题以x 和 y 表示任取两个数，在平面上建立xOy 直角坐标系，如图 .任取两个数的所有结果构成样本空间= (x，y)：0x，y1事件 A =“两数之和小于6/5 ”= (x， y)： x + y6/5因此2114A的面积2517 P(A)的面积125图？11随机地向半圆 0y2axx2（ a 为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点和该点的连线与x 轴的夹角小于的概率4解：这是一个几何概型问题以x 和y 表示随机地向半圆内掷一点的坐标，表示原点和该点的连线与x 轴的夹角，在平面上建立 xOy 直角坐标系，如图 .随机

8、地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间=(x， y)： 0 x 2a,0 y 2ax x2 事件 A =“原点和该点的连线与x 轴的夹角小于”4=(x， y)： 0x 2a,0y2axx2 ,04因此A的面积1 a 21a21 241P(A)12的面积22a12已知 P( A)111, P( B A), P( A B)，求 P( A B) 432解： P( AB)P( A) P( B A)111 , P(B)P( AB)1 1 1 ,43 12P(A | B) 12 2 613设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多

9、少？解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。设 A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”， B=“两件均为不合格品”；C622C422P( A) 1 P( A) 1， P(B)C，C 23215101014有两个箱子，第1 箱子有 3 个白球 2 个红球，第 2 个箱子有4 个白球 4 个红球，现从第1 个箱子中随机地取 1个球放到第 2 个箱子里，再从第2 个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2 个箱子中取出的球是白球，则从第1 个箱子中取出的球是白球

10、的概率是多少？解：设 A=“从第 1个箱子中取出的 1 个球是白球”， B=“从第 2个箱子中取出的 1 个球是白球”，则P( A)C213 , P( A)2，由全概率公式得C5155由贝叶斯公式得15将两信息分别编码为A 和 B 传递出去，接收站收到时， A 被误收作 B 的概率为 0.02，而 B 被误收作 A 的概率为 0.01，信息 A 与信息 B 传送的频繁程度为 2：1，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A 的概率是多少？解：设 M=“原发信息是 A”， N=“接收到的信息是 A”，已知所以由贝叶斯公式得16三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1 11, ,，问三

11、人中至少有一人能将此密码译出的5 3 4概率是多少？解：设 Ai=“第 i 个人能破译密码”， i=1,2,3.111423已知 P( A1 ), P( A2 ), P( A3 ), 所以 P( A1 ), P( A2 ), P( A3 ),534534至少有一人能将此密码译出的概率为17设事件 A 与 B 相互独立，已知 P(A) = 0.4，P( A B) = 0.7，求 P( B A) .解：由于 A 与 B 相互独立，所以 P(AB)=P(A)P(B),且P(A B)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)将 P(A) = 0.4， P(AB

12、) = 0.7 代入上式解得 P(B) = 0.5，所以或者 ,由于 A 与 B 相互独立 ,所以 A 与 B 相互独立，所以18甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6 和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？解：设 A=“甲射击目标”， B=“乙射击目标”， M =“命中目标”，已知 P(A)=P(B)=1, P( M A)0.6, P(M B) 0.5, 所以由于甲乙两人是独立射击目标，所以19某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为 0.3，0.2， 0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，

13、 0.2，试问：(1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3 时，情况又如何？解：设Ai=“第1 种工艺的第i 道工序出现合格品”，i=1,2,3；Bi=“第2 种工艺的第i 道工序出现合格品”，i=1,2.（1）根据题意， P(A1)=0.7， P(A2)=0.8， P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2)=0.8,第一种工艺加工得到合格品的概率为P(A1 A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)= 0.7 0.8 0.90.504,第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1 B2)= P(B1)P(B2)= 0.70.80

14、.56,可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而P(B1)=P(B2)=0.7,第二种工艺加工得到合格品的概率为P(B1 B2)= P(B1)P(B2)= 0.70.70.49.可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。11设两两相互独立的三事件 A，B 和 C 满足条件 ABC= ， P( A) P(B) P(C ) , 且已知29P( A B C) ，求 P(A)16解：因为 ABC= ，所以 P(ABC) =0,因为 A，B，C 两两相互独立， P( A)P(B)P(C), 所以由加法公式 P( ABC)P( A)P( B)P(C

15、) P( AB)P( BC )P( AC )P( ABC) 得3P(A)3 P( A) 29即4P( A)3 4P(A)1016考虑到 P( A)112, 得 P(A).41，且 P( ABC )P( ABC ) ，证明：2设事件 A，B，C 的概率都是22P( ABC)P( AB)P( AC)P( BC)12证明：因为 P( ABC )P( ABC ) ，所以P( ABC) 1P(ABC )1 P( A) P( B)P(C) P( AB)P(BC )P( AC) P(ABC )将 P( A)P( B)P(C)1代入上式得到2整理得3设 0 P(A) 1， 0 P(B) 1，P(A| B) +

16、P( A | B )1与 B 独立，试证 A证明：因为 P(A| B) + P( A | B )1，所以将 P( AB)P( A)P(B) P( AB) 代入上式得两边同乘非零的 P(B)1- P(B)并整理得到所以 A 与 B 独立 .4设 A，B 是任意两事件，其中A 的概率不等于0 和 1，证明 P( B | A)P( B | A) 是事件 A 与 B 独立的充分必要条件证明：充分性，由于 P(B | A)P( B | A) ，所以 P( AB)P( A B) , 即P( A)P( A)两边同乘非零的P(A)1- P(A)并整理得到 P( AB)P( A) P( B), 所以 A 与 B

17、 独立 .必要性：由于 A 与 B 独立，即 P( AB)P( A) P( B), 且 P(A) 0, P( A)0, 所以一方面另一方面所以 P(B | A)P(B | A ).5一学生接连参加同一课程的两次考试第一次及格的概率为 p，若第一次及格则第二次及格的概率也为 p；若第p一次不及格则第二次及格的概率为 .2(1)若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率(2)若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率解：设 Ai=“第 i 次及格”， i=1， 2.已知 P( A1)p, P( A2 | A1) p, P( A2 | A1 )p,2由全概率公式得(1)他取得该资格的

18、概率为(2)若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为6每箱产品有 10 件，其中次品从 0 到 2 是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为 2%，一件次品被误判为正品的概率为10%求检验一箱产品能通过验收的概率解：设 Ai=“一箱产品有 i 件次品”， i=0， 1，2.设 M= “一件产品为正品”， N=“一件产品被检验为正品” .1已知 P( A0 ) P( A1 ) P(A2 ), P(N | M )0.02, P(N | M )0.1,3由全概率公式911 P(N | M )1 0.02 0.98,

19、P(M ) 1 P(M ) 1, 又 P(N | M )1010由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为7用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下若真含有杂质检验结果为含有的概率为 0.8；若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为 0.9；据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为 0.4 和0.6今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率解： A=“一产品真含有杂质”， Bi=“对一产品进行第 i 次检验认为含有杂质”， i=1,2,3.已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前

20、两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含有杂质，即 B1， B2 发生了，而 B3 未发生 .又知 P( Bi | A) 0.8, P(Bi | A) 0.9, P( A)0.4, 所以P( AB1B2 B3 )P( A) P(B1 B2 B3 | A),所求概率为 P( A | B1 B2 B3 )P(B1 B2 B3 )P( A)P( B1 B2 B3 | A) P( A) P( B1 B2 B3 | A )由于三次检验是独立进行的，所以8火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射2 发，已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变，它们分别等于0.3 和 0.

21、35.我们规定只要命中就被击毁试问(1) 火炮与坦克被 的概率各等于多少？(2) 都不被 的概率等于多少？解： Ai=“第 i 次射 目 被 ”， i=1,2,3,4.已知 P( A1 ) P( A3 ) 0.3, P( A2 ) P( A4 ) 0.35, 所以(1)火炮被 的概率 坦克被 的概率 (2)都不被 的概率 9甲、乙、丙三人 行比 ， 定每局两个人比 ， 者与第三人比 ，依次循 ，直至有一人 两次 止，此人即 冠 ，而每次比 双方取 的概率都是1， 假定甲乙两人先比， 求各人得冠 的概率2解： Ai=“甲第 i 局 ”， Bi=“乙第 i 局 ”， Bi=“丙第 i 局 ”， i

22、=1,2,.，已知 P( Ai )P( Bi ) P(Ci )1, i 1,2,.，由于各局比 具有独立性，所以2在甲乙先比 ，且甲先 第一局 ，丙 的概率 3691 ,P( A1C2C3A1C2 B3 A4 C5C6A1C2 B3 A4 C5 B6 A7 C8 C9 .)111.2227 同 ，1在甲乙先比 ，且乙先 第一局 ，丙 的概率也 ,7212, 甲、乙得冠 的概率均 125丙得冠 的概率 77(1).2714第二章2一、填空 ：1.P X x ， F ( x2 )F ( x1 )2. P XkCnk pk (1 p)n k ， k = 0，1，nk3.P Xkk!e,0 参数， k = 0， 1，