离散数学第二版最全课后习题答案详解.docx
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离散数学第二版最全课后习题答案详解
习题一
1.下列句子中,哪些是命题?
在是命题的句子中,哪些是简单命题?
哪些是真命题?
哪些命题的
真值现在还不知道?
(1)中国有四大发明.
答:
此命题是简单命题,其真值为1.
(2)5是无理数.
答:
此命题是简单命题,其真值为1.
(3)3是素数或4是素数.
答:
是命题,但不是简单命题,其真值为1.
(4)2x+<3
5答:
不是命题.
(5)你去图书馆吗?
答:
不是命题.
(6)2与3是偶数.
答:
是命题,但不是简单命题,其真值为0.
(7)刘红与魏新是同学.
答:
此命题是简单命题,其真值还不知道.
(8)这朵玫瑰花多美丽呀!
答:
不是命题.
(9)吸烟请到吸烟室去!
答:
不是命题.
(10)圆的面积等于半径的平方乘以π.
答:
此命题是简单命题,其真值为1.
(11)只有6是偶数,3才能是2的倍数.
答:
是命题,但不是简单命题,其真值为0.
(12)8是偶数的充分必要条件是8能被3整除.
答:
是命题,但不是简单命题,其真值为0.
(13)2008年元旦下大雪.
答:
此命题是简单命题,其真值还不知道.
2.将上题中是简单命题的命题符号化.
解:
(1)p:
中国有四大发明.
(2)p:
是无理数.
(7)p:
刘红与魏新是同学.
(10)p:
圆的面积等于半径的平方乘以π.
(13)p:
2008年元旦下大雪.
3.写出下列各命题的否定式,并将原命题及其否定式都符号化,最后指出各否定式的真值.
(1)5是有理数.
答:
否定式:
5是无理数.p:
5是有理数.q:
5是无理数.其否定式q的真值
为1.
(2)25不是无理数.
答:
否定式:
25是有理数.p:
25不是无理数.q:
25是有理数.其否定式q的
真值为1.
(3)2.5是自然数.
答:
否定式:
2.5不是自然数.p:
2.5是自然数.q:
2.5不是自然数.其否定式q的真值
为1.
(4)ln1是整数.
答:
否定式:
ln1不是整数.p:
ln1是整数.q:
ln1不是整数.其否定式q的真值为1.
4.将下列命题符号化,并指出真值.
(1)2与5都是素数
答:
p:
2是素数,q:
5是素数,符号化为pq∧,其真值为1.
(2)不但π是无理数,而且自然对数的底e也是无理数.
答:
p:
π是无理数,q:
自然对数的底e是无理数,符号化为pq∧,其真值为1.
(3)虽然2是最小的素数,但2不是最小的自然数.
答:
p:
2是最小的素数,q:
2是最小的自然数,符号化为pq∧¬,其真值为1.
(4)3是偶素数.
答:
p:
3是素数,q:
3是偶数,符号化为pq∧,其真值为0.
(5)4既不是素数,也不是偶数.
答:
p:
4是素数,q:
4是偶数,符号化为¬∧¬pq,其真值为0.
5.将下列命题符号化,并指出真值.
(1)2或3是偶数.
(2)2或4是偶数.
(3)3或5是偶数.
(4)3不是偶数或4不是偶数.
(5)3不是素数或4不是偶数.
答:
p:
2是偶数,q:
3是偶数,r:
3是素数,s:
4是偶数,t:
5是偶数
(1)符号化:
pq∨,其真值为1.
(2)符号化:
pr∨,其真值为1.
(3)符号化:
rt∨,其真值为0.
(4)符号化:
¬∨¬qs,其真值为1.
(5)符号化:
¬∨¬rs,其真值为0.
6.将下列命题符号化.
(1)小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨.
答:
p:
小丽从筐里拿一个苹果,q:
小丽从筐里拿一个梨,符号化为:
pq∨.
(2)这学期,刘晓月只能选学英语或日语中的一门外语课.
答:
p:
刘晓月选学英语,q:
刘晓月选学日语,符号化为:
(¬∧∨∧¬pq)(pq).
7.设p:
王冬生于1971年,q:
王冬生于1972年,说明命题“王冬生于1971年或1972
年”既可以化答:
列出两种符号化的真值表:
p
q
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
根据真值表,可以判断出,只有当p与q同时为真时两种符号化的表示才会有不同的真值,但结
合命题可以发现,p与q不可能同时为真,故上述命题有两种符号化方式.
8.将下列命题符号化,并指出真值.
就有
(1)只要
(2)如果
(3)只有
(4)除非
(5)除非
(6)
;
则
;
才有
才有
否则
;
;
;
仅当
.
则
:
;设q:
则
:
答:
设p:
.
符号化
真值
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
1
1
0
0
0
(6)
1
9.设p:
俄罗斯位于南半球,q:
亚洲人口最多,将下面命题用自然语言表述,并指出其真值:
(1)
(2)
;
;;
(3)
(4)
;
;
(5)
(6)
(7)
;
;
.
答:
根据题意,p为假命题,q为真命题.
自然语言
真值
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
只要俄罗斯位于南半球,亚洲人口就最多
只要亚洲人口最多,俄罗斯就位于南半球
1
0
1
1
1
0
1
只要俄罗斯不位于南半球,亚洲人口就最多
只要俄罗斯位于南半球,亚洲人口就不是最多
只要亚洲人口不是最多,俄罗斯就位于南半球
只要俄罗斯不位于南半球,亚洲人口就不是最多
只要亚洲人口不是最多,俄罗斯就不位于南半球
10.设p:
9是3的倍数,q:
英国与土耳其相邻,将下面命题用自然语言表述,并指出真值:
(1)
(2)
(3)
(4)
;
;
;
.
答:
根据题意,p为真命题,q为假命题.
自然语言
真值
(1)
(2)
(3)
9是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻
9是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻
9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其相邻
0
1
1
(4)
9不是3的倍数当且仅当英语与土耳其不相邻
0
11.将下列命题符号化,并给出各命题的真值:
(1)若2+2=4,则地球是静止不动的;
(2)若2+2=4,则地球是运动不止的;
(3)若地球上没有树木,则人类不能生存;
(4)若地球上没有水,则是无理数.
答:
命题1
命题2
符号化
真值
(1)
(2)
(3)
(4)
p:
2+2=4
q:
地球是静止不动的
q:
地球是静止不动的
q:
人类能生存
0
p:
2+2=4
1
1
1
p:
地球上有树木
p:
地球上有树木
q:
人类能生存
12.将下列命题符号化,并给出各命题的真值:
(1)2+2=4当且仅当3+3=6;
(2)2+2=4的充要条件是3+36;
(3)2+24与3+3=6互为充要条件;
(4)若2+24,则3+36,反之亦然.
答:
设p:
2+2=4,q:
3+3=6.
符号化
真值
(1)
(2)
(3)
(4)
1
0
0
1
13.将下列命题符号化,并讨论各命题的真值:
(1)若今天是星期一,则明天是星期二;
(2)只有今天是星期一,明天才是星期二;
(3)今天是星期一当且仅当明天是星期二;
(4)若今天是星期一,则明天是星期三.
答:
设p:
今天是星期一,q:
明天是星期二,r:
明天是星期三.
符号化
真值讨论
(1)
(2)
(3)
(4)
不会出现前句为真,后句为假的情况
不会出现前句为真,后句为假的情况
必然为1
若p为真,则真值为0;若p为假,则真值为1
14.将下列命题符号化:
(1)刘晓月跑得快,跳得高;
(2)老王是山东人或者河北人;
(3)因为天气冷,所以我穿了羽绒服;
(4)王欢与李乐组成一个小组;
(5)李欣与李末是兄弟;
(6)王强与刘威都学过法语;
(7)他一面吃饭,一面听音乐;
(8)如果天下大雨,他就乘班车上班;
(9)只有天下大雨,他才乘班车上班;
(10)除非天下大雨,否则他不乘班车上班;
(11)下雪路滑,他迟到了;
(12)2与4都是素数,这是不对的;
(13)“2或4是素数,这是不对的”是不对的.
答:
命题1
命题2
命题3
符号化
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
p:
刘晓月跑得快
q:
刘晓月跳得高
-
p:
老王是山东人
p:
天气冷
q:
老王是河北人
-
-
-
-
q:
我穿羽绒服
p:
王欢与李乐组成
p:
王欢与李乐组成一个
-
-
一个小组
小组
p:
李辛与李末是兄
p:
李辛与李末是兄弟
弟
(6)
(7)
p:
王强学过法语
p:
他吃饭
q:
刘威学过法语
q:
他听音乐
q:
他乘车上班
q:
他乘车上班
q:
他乘车上班
q:
路滑
-
-
(8)
p:
天下大雨
p:
天下大雨
p:
天下大雨
p:
下雪
-
(9)
-
(10)
(11)
(12)
(13)
-
r:
他迟到了
p:
2是素数
p:
2是素数
q:
4是素数
-
-
q:
4是素数
15.设p:
2+3=5.
q:
大熊猫产在中国.
r:
太阳从西方升起.求下列符合命题的真值:
(1)
(2)
(3)
(4)
解:
p真值为1,q真值为1,r真值为0.
(1)0,
(2)0,(3)0,(4)1
16.当p,q的真值为0,r,s的真值为1时,求下列各命题公式的真值:
(1)
(2)
(3)
(4)
解:
(1)0,
(2)0,(3)0,(4)1
17.判断下面一段论述是否为真:
“是无理数.并且,如果3是无理数,则
外,只有6能被2整除,6才能被4整除.”
也是无理数.另
解:
p:
是无理数q:
3是无理数r:
是无理数s:
6能被2整除t:
6能被4整除
符号化为:
,该式为重言式,所以论述为真。
18.在什么情况下,下面一段论述是真的:
“说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的,而说如
果小王会唱歌,小李就会跳舞是不正确的.”解:
p:
小王会唱歌。
q:
小李会跳舞。
真值为1.
真值为0.可得,p真值为1,q真值为0.
所以,小王会唱歌,小李不会跳舞。
19.用真值表判断下列公式的类型:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
p
.
解:
(1)
p
q
r
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
此式为重言式
(2)
p
q
(p
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
此式为可满足式
(3)
q
r
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
此式为矛盾式
(4)
p
q
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
此式为重言式
(5)
p
q
r
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
此式为可满足式
(6)
p
q
r
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
此式为重言式
(7)
p
q
r
s
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
此式为可满足式
20.求下列公式的成真赋值:
(1)
(2)
(3)
(4)
解:
p
q
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
由真值表得:
(1)的成真赋值是01,10,11
(2)的成真赋值是00,10,11
(3)的成真赋值是00,01,10(4)的成真赋值是01,10,11
21.求下列各公式的成假赋值:
(1)
(2)
(3)
解:
p
q
r
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
由真值表得:
(1)的成假赋值是011
(2)的成假赋值是010,110
(3)的成假赋值是100,101
22.已知公式
是矛盾式,求公式
成真和成假赋值.
解:
∵
是矛盾式∴
也是矛盾式。
由此可得:
该式无成真赋值。
而成假赋值为:
000,001,010,011,100,101,110,111
23.已知公式
是重言式,求公式
的成真和成假赋值.
解:
∵
是重言式,∴
也是重言式。
由此可得:
该式无成假赋值。
而成真赋值为:
000,001,010,011,100,101,110,111
24.已知
是重言式,试判断公式
及
的类型.
解:
∵
是重言式,而要使该式为重言式,其成真赋值只有
都是重言式。
11,∴
25.已知
是矛盾式,试判断公式
及
的类型.
解:
∵
是矛盾式,而要使该式为矛盾式,其成假赋值
都是重言式。
只有00,∴
26.已知
是重言式,
是矛盾式,试判断
及
的类型.
解:
是矛盾式。
是重言式。
27.设A、B都是含命题变量项p1,p2,…,pn的公式,证明:
重言式.
是重言式当且仅当A和B都是
解:
A
B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
由真值表可得,当且仅当A和B都是重言式时,
是重言式。
28.设A、B都是含命题变量项p1,p2,…,pn的公式,已知
是矛盾式,能得出A和B都是
矛盾式的结论吗?
为什么?
解:
A
B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
同样由真值表可得,
的成假赋值有00,01,10.所以无法得到A和B都是矛盾式。
29.设A、B都是含命题变量项p1,p2,…,pn的公式,证明:
是矛盾式当且仅当A和B都
是矛盾式.
解:
A
B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
由真值表可得,当且仅当A和B都是矛盾式时,
是矛盾式。
30.设A、B都是含命题变量项p1,p2,…,pn的公式,已知
重言式的结论吗?
是重言式,能得出A和B都是
解:
A
B
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
由真值表可得
的成真赋值有01,10,11.所以无法得到A和B都是重言式。
习题二
1.设公式Apq=→,Bpq=∧¬,用真值表验证公式A和B适合德摩根律:
¬∨⇔¬∧¬(AB)
AB
p
q
A
B
¬∧¬AB
¬∨(AB)
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
2.公式A和B同题
(1),用真值表验证公式A和B适合蕴涵等值式.
AB→⇔¬∨AB
p
q
A
B
AB→
¬∨AB
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
3.用等值演算法判断下列公式的类型,对不是重言式的可满足式,再用真值表法求出
成真赋值.
(1)¬∧→(pqq)
答:
原式=¬¬∧∨((pqq)
=¬¬∨¬∨(pqq)
)
=0是矛盾式.
4.用等值演算法证明下面等值式.
(1)
p⇔∧∨∧¬(pqpq)(
)答:
右式=pqq∧∨¬()=p∧1=p
((pq→∧→⇔→∧)(pr))(p(qr))
(2)
答:
右式=¬∨∧pqr()=(¬∨∧¬∨pq)(p
r)=(pqpr→∧→)())=左式
(3)
¬↔⇔∨∧¬∧(pq)(pq)(pq)答:
左式=¬¬∨∨¬∨¬(pq)(pq)
=(p∨¬∧∧¬∨¬∧(pq))(q(pq))
=(pq∨∧¬∧)(pq)
(4)
(pq∧¬∨¬∧⇔∨∧¬∧)(pq)(p
q)(pq)答:
左式=(p∨¬∧∧¬∨¬∧(pq))
(q(pq))
=(pq∨∧¬∧)(pq)
5.求下列公式的主析取范式,并求成真赋值:
(1)(¬p→q)→(¬q∨p)
答:
(¬→→¬∨=∨→¬∨=¬∨∨¬∨pq)
(qp)(pq)
(pqq()
(qp)(pq)(qp)
=(¬∧¬∨¬∧∨¬∨∧∨¬pq)(qpp(
))
=(pq∧∨∨¬∨¬∧¬=∨∨)(pp)
(pqmmm)0
2
3
成真赋值为00,10,11.
(2)¬(p→q)∧q∧r答:
¬→∧∧=¬¬∨∧∧=∧¬∧∧=(pqqr)(pqqrpq
q)
0
所以为矛盾式。
(3)(pqr∨∧→∨∨(
))
(pqr)
答
(pqr∨∧→∨∨=¬∨∧∨∨∨=¬∧¬∧∨∨∨(
))
(pqr)(pqr())
(pqr)(p(qr))
(pqr)
=(¬∧¬∨¬∨∨∨=¬∧¬∨¬∧¬∨∨∨p(qr))
(pqr)(pq)(pr)(pqr)
=(¬∧¬∧∨¬∨¬∧∨¬∧¬∨∧∨¬∧∨¬pqrr()(pqq(
)r)(pqqrr(
)
(
))
∨∨¬∧∧∨¬∨((ppqrr)
(
))((ppqqr∨¬∧∨¬∧)(
)
)
=(¬∧¬∧∨¬∧¬pqr)(pqr∧¬∨¬∧∧¬∨∧∧∨∧¬∧∨)(pqr)(pqr)(pqr)
(pqr∧∧¬∨∧¬∧¬∨¬∧∧=∨∨∨∨∨∨∨)(pqr)(pqrmmmmmm
mm)
7所以是重言式,真值为
0
1
2
3
4
5
6
000,001,010,011,100,101,110,111.
6.求下列公式的主析取范式,并求成真赋值:
(1)
¬(q→¬p)∧¬p答:
¬→¬∧¬=¬¬∨¬∧¬=∧∧¬=(qp)p(qp)pq
pp0,是矛盾式,所有赋值均为成真赋值。
(2)
(p∧q)∨(¬p∨r)答:
(pq∧∨¬∨=∨¬∨∧∨¬∨=¬∨∨=)(p
r)(pprqpr)(
)
(pqrM)4,成假赋值为100.
(3)
(p→(p∨q))∨r答:
(p→∨∨=¬∨∨∨=¬∨∨∨=(pqr))(ppq
r())(ppqr1,所以为重言式。
所
有赋值均为成真赋值。
7.求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求主合取范式:
(1)(p∧q)∨r答:
(pqrpqrr∧∨=∧∧∨¬∨)(
((ppqqr∨¬∧∨¬∧)(
=(pqrr∧∧∨¬∨())((ppqqr∨¬∧∨¬∧)
(
))
(
)
)
)
)
=(pqr∧∧∨∧∧¬∨∧¬∧∨¬∧∧∨¬∧¬∧)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
=mmmmmMMM1∨∨∨∨3
7=0∧2∧4
5
6
(2)(p→q)∧(q→r)
答:
(pqqr→∧→=¬∨∧¬∨=¬∧¬∨¬∧∨∧¬∨∧)
qqqr)
=(¬∧¬∧∨¬∨¬∧∨¬∧∨pqrr())
(
)(pq)(qr)(pq)(pr
(
)
(
)
(pqqr(
))((ppqr∨¬∧∧)
)
=(¬∧¬∧∨¬∧¬∧¬∨¬∧∧∨∧∧pqr)(pqr)(pqr)(pqr)
=mmmmMMMM0∨∨∨137=2∨4∨5∨6
8.求下列公式的主合取范式,再用主合取范式求主析取范式:
(1)
(p∧q)→q答:
(pq∧→=¬∧∨=¬∨¬∨==∨∨∨)q
(pqqpqq)1mmmm01
2
3
为重言式。
(2)
(pq↔→)r答:
(pq↔→=¬∧∨¬∧¬∨=¬∧∧¬¬
∧¬∨)r((pq)(pqr))((pq)(pqr))
=((¬∨¬∧∨∨=¬∨¬∨∧∨∨pq)
(pqr))(pqr)(pqrMM)=0
∧6
=mmmmmm1∨∨∨∨∨2
3
4
5
7
(3)
¬→∧∧(rp