勾股定理综合性难题.docx
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勾股定理综合性难题
勾股定理复习
1、直角三角形的面积为
S，斜边上的中线长为d，则这个三角形周长为（）
（A）d2S2d
（b）d2Sd（c）2d2S2d（d）2d2Sd
2.如图，A、B两个村子在河CD的同侧，AB两村到河的距离分别为AC=1kmBD=3kmCD=3km现
在河边CD上建一水厂向AB两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在CD选择水
厂位置Q使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F
B
C
D
.2.22
3.△ABC中，BCa,ACb,ABc,若/C=90°,如图
（1）,根据勾股定理，则abc，若
222
△ABC不是直角三角形，如图
（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想ab与c的关系，并证
4.如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处，以107千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动，距台风中心200?
千米范围内是受台风影响的区域.
（1）A市是否会受到台风的影响？
写出你的结论并给予说明；
⑵如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长?
课堂练习:
外面的长度为hem则h的取值范围是（）.
3已知：
如图，/B=ZD=90，/A=60°,AB=4,CD=2求：
四边形ABCD勺面积
4.一辆装满货物的卡车，其外形高米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否
通过该工厂的厂门？
rr
—绑一T
【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如
5、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且/QPN=30。
，点A处有一所中学，AP=160m。
假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是
否会受到噪声影响？
请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间
为多少秒?
思路点拨：
（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m,
小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。
（2）要求出学校受影响
的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。
因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响
学校，行至哪一点后结束影响学校。
解析：
作AB丄MN垂足为B。
在RtAABP中，ABP=90°,/APB=30°,AP=160,
2
AB=二AP=80。
（在直角三角形中，30。
所对的直角边等于斜边的一半）
•••点A到直线MN的距离小于100m,
•••这所中学会受到噪声的影响。
如图，假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC=
100（m）,
222
由勾股定理得：
BC=100-80=3600,•BC=60。
同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD=100（m）,BD=60（m）,
•CD=120（m）。
拖拉机行驶的速度为：
18km/h=5m/st=120nr^5m/s=24s。
答：
拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。
6、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=ACD是斜边BC的中点，E、F分别是ABAC边上的点,
且DEIDF,若BE=12CF=5求线段EF的长
思路点拨：
现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化,根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD.
解：
连接AD
因为/BAC=90,AB=AC又因为ABC的中线,
所以AD=DC=D.BAD丄BC.
且/BAD/C=45°.
因为/EDA/ADF=90.又因为/CDF/ADF=9C°.
所以/EDA/CDF所以△AED^ACFD（ASA）.
所以AE=FC=5
同理：
AF=BE=12
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：
】1-；一；，所以EF=13
总结升华：
此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。
通过此题，我们可以了解：
当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。
7如图，在等腰厶ABC中,/ACB=9C,DE为斜边AB上的点，且/DCE=45。
求证：
dE=aD+bE。
分析：
利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角
三角形。
8如图，长方形ABCD中，AB=8BC=4将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，则重叠部分△AFC的面积是。
设EF=x，那么AF=CF=8-x，AEA2+EFA2=AFA2,所以
4A2+xA2=（8-x）A2,解得x=3.
S=4*8/2-3*4/2=10
答案：
10
9.一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点
C1处，如图，已知长方形长6cm,宽5cm，高3cm。
蜘蛛因急于捉到苍蝇，沿着长方形
的表面向上爬，它要从A点爬到C1点，有很多路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着
C1
怎样的路线爬上去，所走的距离最短？
你能帮蜘蛛求出最短距离吗?
10.已知△ABC的三边a、b、c,且a+b=17,ab=60,c=13,△ABC是否是直角三角形？
你能说明理由
吗？
222
答案：
是直角三角形。
（平方差公式的灵活运用）ab（ab）2ab
=172260169c2。
家庭作业:
、选择题
1.下列说法正确的有（）
①厶ABC是直角三角形，/C=90，贝Ua2+b2=c2.②厶ABC中，a2+b2工£则厶ABC不是直角三角形.③若
△ABC中,a2-b2=c2，则△ABC是直角三角形.④若△ABC是直角三角形，则（a+b）（a-b）=c2.个个个
2.已知Rt△ABC中，/C=90，若a+b=14cmc=10cm贝URt△ABC的面积是（）
9.如图是一块地，已知AB=8mBC=6rpZB=90°,AD=26mCD=24m求这块地的面积
10.如图，将一根30cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和24cm的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少?
11.如图，铁路上AB两点相距25km,C、D为两村庄，DALAB于A,CBLAB于B,若
DA=10km,CB=15k，现要在AB上建一个周转站E,使得CD两村到E站的距离相等，则周转站E应建在距A点多
远处?
12.如图，折叠矩形纸片ABCD先折岀折痕（对角线）AC,再折叠使AB边与AC重合，得折痕AE若AB=3AD=4求
BE的长.
13.如图，A、B两个小镇在河流CD的同侧，到河流的距离分别为AC=10kmBD=30km且CD=30krp现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每km3万元，请你在河流CD上选择建水厂的位置M使铺设水管的费用最节省，并求岀总费用是多少？
1
5
TT
■R-C（
14.“交通管理条例”规定：
小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路
上直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪所在位置A处正前方30米的C处，过了2秒后，测得小汽车所在位
置B处与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？
附加题（10分不计入总分）
或388cm
三、9.解：
连接AC.……1分
在厶ABC中，JAB=8m,BC=6n^B=90°,
•••由勾股定理，aC=aB+bC=82+62=100,AC=10.……3分
z,22222
在厶ACD中,AC+CD=10+24=676,AD=676,
222
•AC+CD=AD.•••△ACD是直角三角形.……6分
-ACxGD--xABxEC=丄xlCx24--xSx6=96m2
2222……8分
答：
求这块地的面积是96m.……io分
10.解：
由勾股定理，82+62=102,……3分
102+242=262.……6分
•30-26=4.……8分
答：
细木棒露在盒外面的最短长度是4cm.10分
11.解：
设E点建在距A点xkm处1分
如图，则AE长xkm,BE长（25-x）km.……2分
•/DAIAB•••△DAE是直角三角形.
由勾股定理，dE=aD+aE=102+x2.……5分
同理，在Rt△CBE中，cB+bE=152+（25-x）2.……7分
2222
依题意，10+x=15+（25-x）,……9分
解得，x=15.11分
答：
E应建在距A15km处.……12分
12.解：
在AC上截取AF=AB连接EF.……1分
依题意，AB=AF,BE=EF,/B=ZAFE=90.……3分
在Rt△ABC中,AB=3BC=AD=4,
•••AC=32+42=25,AC=5.•••CF=AC-AF=5-3=2.……5分
设BE长为x,贝UEF=x,CE=4-x.……7分
在Rt△CFE中，CE=EF+CF\即（4-x）2=x2+22.……9分
3
解得，x=°.11分
3
答：
BE的长为上.12分
13.解：
作点A关于CD的对称点E,连接EB交CD于M.则AC=CE=1（公里.
过点A作AF丄BD,垂足为F.
过点B作CD的平行线交EA延长线于G得矩形CDBG-.••…4分
则CG=BD=3公里，BG=CD=3公里，EG=CG+CE=30+10=4S.……7分
在Rt△BGE中，由勾股定理，BW=BG+EG=302+402,BE=50km……9分
•••3X50=150（万元）.……11分
答：
铺设水管的总费用最少为150万元.……12分
14.解：
依题意，在Rt△ACB中，AC=30米，AB=50米,
由勾股定理，BC=AB-AC2=502-302,BC=40米.……3分
•••小汽车由C到B的速度为40-2=20米/秒.……5分
•/20米/秒=72千米/小时，……8分
72>70，……10分
因此，这辆小汽车超速了.……12分
附加题解：
过点P作MN/AD交AB于点M
交CD于点N,
贝UAM=DNBM=CN.••…2分
•••/PMAhPMB=90，
•p^-pm^aM，PB-PM?
=bM.……4分
•pa^pbLa^bM.……5分
同理，pD-pc2=dN-cn\……7分
•PA2-PB2=PD）-PC2.又PA=1,PB=5,PC=7……8分
•PD2=PA2-PB2+pC=12-52+7，PD=5.10分
初二数学实数单元复习导学案
目标认知陋
一、知识网络：
卜叮
算术平方根
、重难点聚焦：
怎i
教学重点：
算术平方根和平方根的概念及其求法;
教学难点：
平方根和实数的概念.
三、知识要点回顾：
危
I无理数；无限不循环小数
4、实数的三个非负性:
（a>0,b>0）；
5、实数的运算：
⑴加减法：
类比合并同类项；⑵乘法:
⑶除法:
6、算术平方根与平方根的区别与联系.
区别：
①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④取值范围不同.
联系：
①具有包含关系；②存在条件相同；③0的算术平方根与平方根都是0.
提示
1.正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；零的平方根和算术平方根都是零；负数没有平方根.
2.实数都有立方根，且一个数的立方根只有一个，它的符号与被开方数的符号相同.
3.所有的实数分成三类：
有限小数，无限循环小数，无限不循环小数•其中有限小数和无限循环小数
统称有理数，无限不循环小数叫做无理数.
数，如…
5.有理数和无理数统称实数，实数和数轴上的点对应.
6.实数的运算：
实数运算的基础是有理数运算，有理数的一切运算性质和运算律都适用于实数运算.正确地确定运算结果的符号和灵活运用各种运算律来进行运算是掌握好实数运算的关键.
规律方法整合国
1有关概念的识别皆
_3送
1下面几个数：
，…，「…叮，3n,r,「，其中，无理数的个数有（）繭
A1B、2C、3D、4
解析：
本题主要考察对无理数概念的理解和应用，其中，…，3n，是无理数
故选C
【变式1】下列说法中正确的是（）
【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，•••"'=9，9的平方根是士3,二A正确.
•/1的立方根是1,T=1,一■亠是5的平方根，•••BC、D都不正确.
【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧,
义矢知|A0|=；，A表示数为'，故选C.
2.计算类型题|和
ey.设‘丿，则下列结论正确的是（）血
a.A.5解析：
（估算）因为■''，所以选B
【变式1】1）的算术平方根是;平方根是）-27立方根是
土皿=-需二?
-
忑+753_2
【答案】1）二；-.2）-3.3）二，-•匚，-
【变式2】求下列各式中的
（1）J23
（2）「「一（3）<■-
【答案】
（1）2二
（2）x=4或x=-2（3）x=-4
3．数形结合
1）错在对算术平方根的理解有误,算术平方根是非负数.故
2）表示225的算术平方根,即=15.实际上,本题是求15的平方根,故的平方根
是.
3）注意到,当x=0时,=,显然此式无意义,发生错误的原因是忽视了“负数
没有平方根"，故x丰0,所以当x=2时，x=0.
学习成果测评：
A组（基础）右
一、纟田心选一选
1下列各式中正确的是（）
A.灰亠B「妬"C.口=3D.^9=53
2.的平方根是（）
A.4B.±4C.2D.=-
3.下列说法中
①无限小数都是无理数
②无理数都是无限小数③-2是4的平方根
其中正确的说法有（
）
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
④带根号的数都是无理数
4.
和数轴上的点对应的是（）
5•对于厂来说（）
A.有平方根B.只有算术平方根
C.没有平方根D.不能确定
—303-370OOt—310W0100CV
1个“0”）中，无理数的个
6•在--（两个“1'之间依次多
数有（）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
7•面积为11的正方形边长为x，则x的范围是（）
9.-8的立方根与4的平方根之和是（）
A.0B.4C.0或-4D.0或4
10•已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（）
B.
、耐心填一填
11.一虑的相反数是，绝对值等于忑的数是
12.、的算术平方根是
13.的平方根等于它本身，的立方根等于它本身，的算术平方根等于它本身。
14.已知IxI的算术平方根是8,那么x的立方根是
16•大于—J㊁，小于航的整数有个
17.若I2a-5I与①+2互为相反数，贝0a=，b=。
18.若IaI=6，对&=3，且ab^O，贝Ua-b=
19•数轴上点A,点B分别表示实数芒则ab两点间的距离为<
20.一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，贝Ua=，x=
⑷II+I-二I⑸
的相反数按从小到大的顺序排列，用“•"号
⑹4X[9+2X（广）]（结果保留3个有效数字）
22•在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们连接：
I」，「、I-
参考答案：
宓
:
1、B2、D3、B4、D5、C6、A7、B8、C9、C10、D
11、、!
n-3
12、
3,
13、0,0、±1,0、1
14、±-
15、答案不唯一女口：
匸…」
16、5
17、
18、-15
19、220、1,9
21、⑴王II⑵-17⑶-9⑷2⑸-36⑹
22、
-4-3-2-10123
—真<^2<^1.5<■^2<0B组（提高）一
一、选择题：
D.±0.014
1.「的算术平方根是（）
A.0.14C.±-1丄
2.•-的平方根是（）
A.—6
C.士6
3•下列计算或判断：
①士
3都是27的立方根;
③「的立方根是
，其中正
确的个数有（）
4、在下列各式中，正确的是（）
5、下列说法正确的是
（）
A.有理数只是有限小数
B.无理数是无限小数
C.无限小数是无理数
7T
D」是分数
6、下列说法错误的是
（）
A."」
b.VhF-i
的平方根是人D.-'：
'：
：
'-
7•若'一■'―一’，且•匚—，则2的值为（）
A.—二B.二］C,D._-
或-6或6
10•下列计算结果正确的是（）
b^^3QcJ2^6静604D阪五岛96
•填空题：
13.算术平方根等于它本身的数是;立方根等于它本身的数是
14.J-/的相反数是;绝对值等于"庁的数是
15.一个正方体的体积变为原来的27倍，则它的棱长变为原来的倍.
三、解答题:
16•计算或化简:
17.已知--'，且x是正数，求代数式」1匚的值
⑴图中阴影部分的面积是多少？
边长是多少?
⑵估计边长的值在哪两个整数之间
⑶把边长在数轴上表示出来。
参考答案：
宓
一、选择题:
二•填空题：
±23
11、①②⑤⑥⑧；③④⑦.12、-;.13、';'丄I14、寸'•，丄心•15、3.
三、解答题：
16、计算或化简:
（1）
2
17、解：
25x=144
又•••x是正数
12
18、解：
①图中阴影部分的面积17,边长是一-'
②边长的值在4与5之间
1
II1111[
眉？
lT1
■
③
-2-1012：
3
4门
■
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