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DVD在线租赁
DVD在线租赁
摘要
在DVD在线租赁的问题背景下，本文对满足一定人数需求下管理者DVD数量问题，针对订单和满意度要求，分配DVD及需求预测问题进行了模型建立和研相关研究。
针对问题一，基于假设，构造出DVD在一月内的两级流通图，设定租赁两次的会员为A，租一次的会员为B，流向A,B的比例为FA、FB，网站和需求人群简化为DVD流经的仓室。
而整个图中流入需求人数仓室的流量即为观看过该DVD的人数。
再根据一月内需满足人群的比例要求就可得到需准备的DVD数。
由于每月DVD的流通是相互独立的，也可得到多个月范围内的情况。
依据两级流通图，分别对多级流通和FA、FB进行讨论，对模型进行优化并提出相关建议。
针对问题二，首先对偏爱系数B（i，j）进行处理，使成为其落在1到10之间，并且是正相关的系数B‘（i，j）根据经验，定义当需求者得到偏爱系数为10、9、8的三张DVD时，其满意度U（i，j）为1。
所以将B‘（i，j）除以27后对以每行求和就得到了单个需求者的标准满意度。
Q（i，j）=0，1表示是否分配，对于所有订单的分配情况就转换成了（0,1）矩阵。
对所有个体个满意度求和得到总体满意系数，对其进行规划，使其最小，得到（0,1）分配矩阵。
针对问题三，利用模型2建立最小DVD购买量和最大总体满意度的双目标规划。
同时为实现一个月内95%的会员得到他想看的DVD这一目的，需使95%会员每次租赁时都会得到订单中的3张。
而鉴于A会员每月会租赁两次，所以就相当于A会员一月内得到六张，B会员得到3张。
所以我们把两次租赁合为一次处理，对A会员给6张，B会员给予3张。
基于第一次租赁中A、B会员所占比例未知，令其为FA、FB。
由于二次租赁1张DVD相当（1+FA）张。
由此得到一月内所需DVD总数关于FA、FB目标函数，通过最优化得到最小总数，并作为如前所述，双目标规划的约束条件。
再次利用最优化接触（0,1）分配矩阵，进而得到各类DVD购买量。
针对问题四，依据第一问的优化模型，讨论通过会员评级区分A、B类会员，设立享有高满意度比重的VIP制度，及邮费对分配的影响等问题。
关键词：
两级流通图标准满意度最优化0，1矩阵
一问题重述
随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。
许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。
例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。
这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。
考虑如下的在线DVD租赁问题。
顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。
会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。
网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。
请考虑以下问题：
1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？
如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？
2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从
3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。
如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？
4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？
请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。
二、问题分析
问题一中要求单张光碟满足50%的需求者，而该DVD光碟在一月内存在两次发放和收回，所以研究的为DVD在两个群体（网站和需求者）间的流动，所以只要找到DVD具体流动过程，得到DVD流到需求者群体的张数，得到了一定量DVD与一月内可满足的人次之间的关系，继而根据要求可求得需要的该类DVD数量。
问题二中实际是一个寻求满意度最优化问题，所以首先要明确满意度的定义，鉴于题中只给出了与偏爱程度负相关的系数B（i，j），所以需要围绕系数B（i，j）给出满意度的定义，构建关于满意度的目标函数，进行最优化求解。
问题三看似是问题一与问题二的结合，实际上还是有很大区别。
本问中主要提出三个要求：
最小DVD购买量、最大总体满意度、使一个月内95%的会员得到他想看的DVD。
所以需要建立一个双目标规划，并将第三个要求转化为约束条件进行最优化求解。
三．模型假设
1．每张DVD的价格相同
2．订DVD的次数是随机的
3.问卷调查所得数据符合统计规律
4．不同会员对某种DVD的偏好指数是相互独立的。
同⋯会员对不同种DVD的偏好
指数也是相互独立的。
5．设DVD碟一经归还，立即租出。
7.一个会员在一个周期内租赁到自己想看的DVD的时间不影响他的满意度：
8.每个会员同一种DVD只租赁一次；
9.DVD在租赁过程中无损坏。
10.每月按30天计算
11.A为租赁两次的会员，B为租赁一次的会员
四、符号说明
Pi----------------愿意观看DVDi的人数的概率（i=1，2，3，4，5）
m---------平均邮寄天数
n----------DVD的重复邮寄次数
D---------为总会员数
di---------为愿意看到DVDi的会员数
Zi---------DVDi的数量
Q（i，j）——0-1变量，第j位会员能否得到第i种DVD
U（i，j）——单个需求者的标准化满意度
B（i，j）—————偏爱系数
五模型建立与求解
5．1.模型一
问题一是根据概率估计所需DVD的最少数量，在建立模型时，不考虑喜爱度的影响。
假设A类会员，第1次，月初借，月中还；第二次，月中借，月末还。
B类会员，月初借，月末还。
根据表1易得愿意观看五种DVD的人数所占比例如下表:
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
Pi
1/5
1/10
1/20
1/40
1/100
F2A
F2B
F1A
F1B
其中Z为DVD数量，FA为分发给A类会员的比例，FB为分发给B类会员的比例，WjA为A会员持有的DVD数量，WjB为B会员持有的DVD数量。
（1）第一问
由所建立的模型，可得
di=20000
整理得
式1.1
理想情况：
F1A=0.6，解得Z=6250
极端情况：
F1A=0.2,解得Z=8333
F1A=1,解得Z=5000
模型优化
（1）由于DVD归还时间的不确定性，由式1.1可得，流通图级数越多，DVD利用率越高，则所需Z的最小值越小，由此，建立优化后的目标函数为：
式—1.2
其中
n为流通级数
d为应满足人群
（2）由式1.1可知，当n固定时，F1A越大，所需z越小，所以第一次分配应尽量满足A类会员。
（2）第二问
此处只考虑模型一中的理想情况。
根据假设，所有DVD在月底全部归还，则每月内DVD的流通情况是相互独立的。
所以要保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD，则在第一问优化模型的基础上，确定目标函数为
3
1.6Z
0.95d
求得
Z=3958
5．2.模型二
根据题意建立模型二
由于偏爱系数B（i，j）越小，其偏爱程度越大，所以需要将其变为落在1到10之间，并且是正相关的系数B‘（i，j）。
11-B（i，j）B（i，j）
0
B‘（i，j）=
0B（i，j）=0
根据经验，定义当需求者得到偏爱系数为10、9、8的三张DVD时，其满意度U（i，j）为1。
，由此可以得到第i个会员的标准化满意度为：
U（i，j）=
=
i=1,2…….100
为了会员获得最大的满意度，可以使他们的满意度和达到最大，由此得到目标函数为：
Max
i=1,2…100
s.t.
j=1,2…1000
Q（j,i）为0-1矩阵i=1,2…100j=1,2…1000
根据上述模型，我们使用Lingo软件进行求解，结果如下：
目标函数的最大值为916，1000张订单的总体满意度为91.6%；没有得到DVD人数为0；得到1张DVD人数为2；得到2张DVD人数为26；得到3张DVD人数为972：
会员
会员获得的3张DVD
会员
会员获得的3张DVD
C001
8
41
98
C016
10
84
97
C002
6
44
62
C017
47
51
67
C003
32
50
80
C018
41
60
78
C004
7
18
41
C019
66
84
86
C005
11
66
68
C020
45
61
89
C006
19
53
66
C021
45
50
53
C007
26
66
81
C022
38
55
57
C008
31
35
71
C023
29
81
95
C009
53
78
100
C024
37
41
76
C010
41
55
85
C025
9
69
81
C011
59
63
66
C026
22
68
95
C012
2
31
41
C027
78
58
50
C013
21
78
96
C028
8
34
82
C014
23
52
89
C029
26
30
55
C015
13
52
85
C030
37
62
98
表4：
前30位会员获得DVD的情况
经计算，前30位会员的标准满意度为92．0％，获得3张DVD的比率为97.2%，也就是97.2%的会员能够得到他想看的DVD
.5.3.模型三
此问要求实现:
在使得95％的会员看到想看的DVD的前提下，使得所有会员对其租赁到的DVD的总体满意度最大。
鉴于第二问中已经对标准满意度给出定义，此处继续沿用该定义（若某会员仅租赁到一种DVD，虽然他并不满意，但他对该DVD的偏爱度仍然被计算在整个分配方案的满意度内）。
同时作为网站的管理者应该兼顾高会员满意度和低购DVD成本（假设每种DVD单价一样，那么DVD的总张数最小表示成本）基于这种考虑下，此模型的建立原则应为：
寻求一种分配方案，使得95％的人满意，总体满意度最大，并实现每种DVD最小的购买量。
由于该问题需要考虑存在A会员租赁两次的情况，而哪些会员会租赁两次是未知的，因此，我们所要求的是在平均情况下，并且成本最低。
对于问题三，首先定义：
若某个会员在一个月中只租赁一次，并且租赁到了他想看得DVD中的三种；或者他在一个月中租赁了两次，每次都看到了想看的DVD中的三种，那么则称这个会员满意。
而鉴于A会员每月会租赁两次，所以就相当于A会员一月内得到六张，B会员得到3张。
所以我们把两次租赁合为一次处理，对A会员给6张，B会员给予3张。
基于第一次租赁中A、B会员所占比例未知，令其为FA、FB。
由于二次租赁1张DVD相当（1+FA）张。
由此得到一月内所需DVD总数关于FA、FB目标函数
s.t.
解得最优解
Z=2904
FA=0.55
FB=0.4
为确定分配方案，在模型二的基础上，建立双目标规划函数Max
Min
>2903
i=1,2…100
s.t.
j=1,2…1000
Q（j,i）为0-1变量i=1,2…100j=1,2…1000
利用LINGO求解各DVD的购买量如下表：
DVD
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
数量
20
33
26
36
19
27
29
31
32
24
DVD
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
数量
28
30
26
31
25
37
28
24
29
38
DVD
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
数量
31
27
34
22
29
29
25
19
25
41
DVD
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
数量
28
35
30
29
38
35
20
29
26
28
DVD
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
数量
51
34
25
34
34
23
31
24
32
33
DVD
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
数量
38
25
33
26
31
32
30
28
33
36
DVD
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
数量
26
29
32
33
31
28
28
33
33
29
DVD
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
数量
35
34
25
28
27
24
20
28
28
28
DVD
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
数量
27
17
21
19
30
21
34
24
24
27
DVD
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
数量
39
28
23
22
39
24
36
31
17
35
DVD购买量表
5.4、在需求预测、购买和分配中值得研究的一些重要问题
（1）统计租赁次数，找出租赁规律
由式1.1可以得到，FA越大，即租赁给A类会员的比例越大，Z的值越小，所以可以对模型进行进一步的优化若能根据历史租赁记录，通过等级会员确定出每月租赁两次的会员名单和租赁一次的会员名单，则在租赁时，优先考虑租给租赁两次的会员，这样可以增加DVD的重复租赁次数，减少所需的最少DVD数量。
引入到模型一中，易得此时每种DVD所需的最少数量
Z=
2）引入VIP机制
在分配过程中，按VIP等级，不同会员给与不同的权重，重新考虑问题二，此时的目标函数变为普通会员的满意度与VIP的满意度之和，假设有300名VIP，700名普通会员，则此时目标函数为：
MAX=
+
i=1,2…100
s.t.
j=1,2…1000
Q（j,i）为0-1变量i=1,2…100j=1,2…1000
然后求解Z
（3）邮费对于分配的影响
根据题意可知，DVD来回的邮寄费用由网站支付，所以当邮费超过DVD价格时，多级流通模型便失去了意义。
所以网站分配时应考虑邮费大花销，适当放弃一定满意度，来节约成本。
六、模型评价
优点：
1．确定规划和随机模拟相结合。
本模型着眼于更贴近实际地解决问题，兼顾求解的复杂
程度，将确定性与随机性因素统一考虑，二者互为补充，互相印证。
2．可拓展性强。
由于本模型充分考虑了租赁规则、商家目标以及会员感受，任一条件的
改动都会灵敏地反映在模型中，从而影响规划结果，为商家决策提供指南。
缺点：
囿于商业运作知识的缺乏，对一些因素（比如满意度）的把握可能欠妥当。
参考文献
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