专题反比例函数与三角形四边形地面积等.docx
《专题反比例函数与三角形四边形地面积等.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题反比例函数与三角形四边形地面积等.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
专题反比例函数与三角形四边形地面积等
反比例函数比例系数k与图形面积经典专题
知识点回顾
由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。
这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。
下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：
利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题
设P为双曲线上任意一点，过
点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|X|PN|=|y|X|x|=|xy|
•••xy=k故S=|k|从而得
结论1:
过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的园面积的结论为：
2
结论2:
在直角三角形ABO中，面积S=
结论3:
在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|
结论4:
在三角形AMB中，面积为S=|k|
类型之一k与三角形的面积
k
^1、如图，已知双曲线y=-（k>0）经过直角三角形OAB斜边0B的中点D,
x
则k=
最佳答案
过D点作DE丄x轴，垂足为E,
1由双曲线上点的性质，得S△AOC=SA）OE=丄k,
2
VDE丄x车由，AB丄x车由，
•••DE//AB，
/•JOABs8ed，
又vOB=2OD，
••SJOAB=4SJDOE=2k，
由SJOAB-SJOAC=SJOBC，
得2k--k=6，
2
解得：
k=4.
故答案为：
4.
2018
2、如图1-ZT-1,分别过反比例函数y——（x>0）的图象上任意两点A、B作x
x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别
是Si、S2,，比较它们的大小，可得
A.Si>S2B.Si=S2C.SivS2D.Si、S2大小不
确定。
3、在下列图形中，阴影部分面积最大的是（C）
k
4、如图1-ZT-3，在平面直角坐标系中，点A是函数y=-（xV0）图象上的
x
点，过点A作y轴的垂线交y轴于点B,点C在x轴上，若△ABC的面积为1,
则k的值为。
5、探如图，在平面直角坐标系中，点A在函数'工（kv0,xv0）的图象上，
过点A作AB//y轴交x轴于点B，点C在y轴上，连结AC、BC•若△ABC的面积是3，则k=.
1
C
3
+A
试题分析；设点啲坐标再5主厂由点必的坐标结合dlEC的面积即可得
m
0礙X（=3；解得防-氣
2m
6、如图1-ZT-4，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，/ACO=/ADB=90
k
反比例函数y=-在第一象限的图象经过点B，若OA2-AB2=8，则k的值为
x
类型之二k与平行四边形的面积
k
7、孤如图，在平面直角坐标系中，点A是函数y=-（k<0,x<0）图象上的点，过点
x
A与y轴垂直的直线交y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC//AD•若四边形ABCD的
E0
••AB丄y轴,
VBC//AD,
•••四边形ABCD是平行四边形，
•••四边形AEOB的面积=AB?
0E,
VS平行四边形ABCD=AB?
CD=3,
•••四边形AEOB的面积=3,
•••|k|=3,
••<0,
•'k=-3,
故答案为：
-3.
8、如图，菱形OABC的顶点的坐标为（3,4），顶点A在x轴的正半轴上，反
k
比例函数y=（x>0）的图象经过顶点B,则k的值为（）。
x
A.12B.20C.24D.32
答案:
•・CD=4,0D=3,
••CB//AO,
•••B的纵坐标是4,
•••OC=.CD2OD2=5,
••AO=OC=5,
••四边形COAB是菱形，
•••B的横坐标是8,
•k=8X4=32,
故选D.
4一
9、如图1-ZT-6，函数y=-x与y=-—的图象相交于A、B两点，分别过A、Bx
两点作y轴的垂线，垂足分别为C、D，贝U四边形ACBD的面积为（）。
A.2B.4C.6D.8
分析：
首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向
1
坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=-|k|，得出SZAO
2
c=SZODB=2，再根据反比例函数的对称性可知：
OC=OD，AC=BD，即
可求出四边形ACBD的面积.
解答：
解：
•过函数y
=--的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别x
为点C，D，
•'•SAAOC=SZODB=
1
：
尹1=2，
又TOC=OD，AC=BD，
•'•Szaoc=S△ODA=SZODB=S△OBC=2，
•••四边形ABCD的面积为：
Szaoc+Szoda+Szodb+Szobc=4X2=8.
故选D.
k
点评：
本题主要考查了反比例函数y=△中k的几何意义，即过双曲线
x
上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|;图象上的点与原点
所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关
1
系即s=丄|k|，是经常考查的一个知识点；同时考查了反比例函数图象
2
的对称性.
2
10、如图1-ZT-7，点A是反比例函数y—（x>0）的图象上任意一点，
x
3
AB//x轴交反比例函数y=-的图象于点B,以AB为边作6BCD,其
x
中点C、D在x轴上，则DKBCD的面积未（）。
A.2B.3C.4D.5
k
11、如图、1-ZT-8，在DKBOC中，两条对角线交于点E,双曲线y=（kv0）
x
的一支经过C、E两点，若CABOC的面积为10,则k的值是（）
A.--B.-10C.-4D.-5
23
类型之三k与矩形的面积
4
12、如图1-ZT-9,A、B两点在双曲线y二—上，分别过A、B两点向坐标轴作
x
垂线段，已知Si+S2=6，则S阴影=（）。
A.4B.2C.1D.无法确定
13、如图1-ZT-10，反比例函数y=（x>0）的图象经过矩形OABC对角线
的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E,若四边形ODBE的面积为9，则k的值为（）。
A.1B.2C.3D.4
考
占：
八、、•
反比例函数系数k的几何意义.
专
题：
数形结合.
分
析：
本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手，分别找出AOCE、△OAD、
矩形OABC的面积与|k|的关系，列出等式求出k值.
解
答：
解：
由题意得：
E、M、D位于反比例函数图象上，贝US8CE=，SA
OAD=，
过点M作MG丄y轴于点G,作MN丄x轴于点N，则SHNMG=|k|，
又VM为矩形ABCO对角线的交点，
••S矩形ABCO=4SHNMG=4|k|，
由于函数图象在第一象限，k>0，贝U++9=4k，
解得：
k=3.
故选C.
占
八、、
评：
本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注.
14、如图1-ZT-11，反比例函数y=（,k>0）的图象与矩形ABCO的两边相
交于E、F两点，若E是AB的中点，Szbef=2，则k的值为。
kkk
BF=—-—=；—，所以F也为中点，a2a2a
Szbef=2=k，k=8.
点评：
本题考查了反比例函数的性质,
正确表示出BF的长度是关键.
4
-
15、如图1-ZT-12，点P、Q是反比例函数y=x图象上的两点，PA丄y轴于
点A，QN丄x轴于点N，PM丄x轴于点M,QBy轴于点B,连接PB、QM，△
ABP的面积记为S1,AQMN的面积记为S2，贝US12（填
或“二”）。
16、如图1-ZT-13,在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，矩形OABC的边
占
0A、0C分别在x轴和y轴上，其中0A=6，0C=3，已知反比例函数\y=（,k
>0）的图象经过BC边的中点D,交AB于点E。
（1）k的值为；
（2）猜想△的面积与△的面积之间的关系，并说明理由。
答案：
（1）9;
（2）S8CD=S△DBE，理由见解析.【解析】试题分析：
（1）根据题意得出点D的坐标，从而可得出k的值：
••0A=6，0C=3，点D为BC的中点，.9（3,3）.•••反比例函数（x>0）的图象经过点D,.*=3X3=9.
（2）根据三角形的面积公式和点D，E在函数的图象上，可得出S8CD=S△DAE，再由点D为BC的中点，可得出S8CD=S8B...
类型之四k与多边形的面积17、如图1-ZT-14所示，过点A（2,-1）分别作y轴、x轴的平行线交双曲线
k
y=于点B、C,过点C作CE丄x轴于点E,过点B作BD丄y轴于点D，连接
x
ED,若五边形ABDEC的面积为34，则k的值为。
18、如图1-ZT-14,点P是反比例函数y=k1（ki>0,x>0）图象上的一动点，x
过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交反比例函数y=理
x
（k2V0，且|k2|vki）的图象于E、F两点。
（1）图1中，四边形PEOF的面积Si=（用含ki、k2的式子表示）；
（2）图2中，设P点坐标为（2,3），①点E的坐标是（,）,
点F的坐标是（,）（用含k2的式子表示）；
（3）②若△OEF的面积为—，求反比例函数y=—2的解析式.
3x
解答：
（1）vp是点P是反比例函数y=kl（k
x
>0,x>0）图象上一动点，二S=ki
'•'E>F分别是反比例函数y=k2（k2<0且|k2|vki）的图象上两点，
x
1
••S8BF=SA\OE=-|k2|,
2
•••四边形PEOF的面积Si=S矩形pboa+Szobf+SzAOE=ki+|k2|,
••k2<0,
•••四边形PEOF的面积Si=S矩形pboa+Szobf+Sz\0E=ki+|k2|=ki-k2.
（2）①VPE±x轴，PF丄y轴可知，P、E两点的横坐标相同，P、F两点的纵坐标相同，
•'•E>F两点的坐标分别为E（2，邑），F（—2，3）;
23
②TP（2，3）在函数y='的图象上，
x
•°ki=6,七F两点的坐标分别为E（2,k2）,F（|,3）;
••PE=3-》,PF=2-；2,•S^?
EF=1（3-k2）（2-k2）
=（6k2）2=12，
223
•°k2=2••k2<0,
•'k2=-2.•••『=—-
=（6-k2）-（6切2-36k2
12
8
123，
x
题型之五：
k与面积综合
12
16、如图1，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，P是反比例函数y=（x
x
>0）图像上任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于A、B。
（1）求证：
线段AB为。
P的直径；
（2）求AAOB的面积。
12
（3）如图2，Q是反比例函数y=M（x>0）图像上异于点P的另一点，以Q
x
为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D。
求证：
DOOC=BO0A。
（1）证明：
二乙心氏加爲且ZAOB是0F中弦AB所对的圆周氤「•AB罡0P的直径.
门〉解：
设点F坐标为nJ0,n>0>；
丁点p是反比例雪数尸整（QO）图象上一点，二皿七・
x
如答團』过点F作PXLL屛肝点M,PN丄y*肝点弘则OWisQNf由垂径定理可知，点M为OA中点，点N为OE中点，
.\OA=2OM=2m,OB=2ON-2n,
x2m-2mn=2*12-24
/.S_aob~-^SO*OA--^x2n
22
（3）证明；若点Q为反比例跚心5>0〉團象上异于点P的另一点‘參照⑵』同理可得；S-cod=-DO*CO24j
2
则有：
SiOOD"SAOB-34fST—BO*OA--1dO*COi
；.DO*OC=BO*OA.
22
反比例函数相关练习题
1•如图，直线y=-x上有一长为@动线段MN，作MH、NP都平行y轴交在条
k
件
（2）下，第一象限内的双曲线y=于点H、P,问四边形MHPN能否为平
x
行四边形（如图3）?
若能，请求出点M的坐标；若不能，请说明理由.
Pi、P2都在函数y=
2•如图，已知△PiOAi,4^AiA2都是等腰直角三角形，点
（x>0）的图象上，斜边OAi、A1A2都在x轴上.则点A2的坐标为
k
3.如图，A是反比例函数yk（k
x
0）图象上一点，过A作AB丄X轴于B,P在丫
轴上，△ABP面积为3，贝Uk=
4.如图，在x轴的正半轴上依次截取OAiHAA2A3A3A4A4A5，过点
2
A、A?
、AA4、A分别作x轴的垂线与反比例函数y-x0的图象相交于点
x
R、F2、巳、P4、P5，得直角三角形ORAi、ARA2、A2PA、A3P4A4、A4F5A5,并设其
面积分别为S,、S2、存S4、S5,则S5的值为..
1
5.如图，。
A和。
B都与x轴和y轴相切，A和B都在反比例函数y-的图象
x
上，则图中阴影部分的面积等于.
2
6.如图，正方形A1B1P1P2的顶点Pi、P2在反比例函数y-（x>0）的图像上，
x
顶点A1、B1分别在x轴和y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶
2
点P3在反比例函数y-（x>0）的图象上，顶点A3在x轴的正半轴上，则点
x
P3的坐标为
7•如图，已知A（—4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数
ym的图象的两个交点.
x
则△AOB的面积是;
升级会员 