九年级数学上册专题突破讲练四点共圆问题大盘点试题新版青岛版.docx

九年级数学上册专题突破讲练四点共圆问题大盘点试题新版青岛版.docx

《九年级数学上册专题突破讲练四点共圆问题大盘点试题新版青岛版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《九年级数学上册专题突破讲练四点共圆问题大盘点试题新版青岛版.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

九年级数学上册专题突破讲练四点共圆问题大盘点试题新版青岛版

四点共圆问题大盘点

1.四点共圆的性质：

（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角度数相等；

（2）圆内接四边形的对角互补；

（3）圆内接四边形的外角等于内对角。

2.四点共圆常用的判定方法：

判定1：

到定点的距离等于定长的点在同一圆上。

如果：

OA=OB=OC=OD，则A、B、C、D四点共圆。

判定2：

若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径。

如果：

△ABD和△BCD是直角三角形，则A、B、C、D四点共圆。

判定3：

共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆。

如果：

A、D在公共边BC同侧，且∠A=∠D，则A、B、C、D四点共圆。

判定4：

对于凸四边形ABCD，若对角互补或一个外角等于其邻补角的内对角，则A、B、C、D四点共圆。

如果：

∠1+∠2=180°或∠1=∠3，则A、B、C、D四点共圆。

判定5：

对于凸四边形ABCD其对角线AC、BD交于点P，若PA·PC=PB·PD，则A、B、C、D四点共圆。

（相交弦定理的逆定理）

例题（郑州模拟）如图，在正△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，且AD=AC，AE=AB，BD，CE相交于点F。

（1）求证：

A、E、F、D四点共圆；

（2）若正△ABC的边长为2，求A、E、F、D所在圆的半径。

解析：

（1）依题意，可证得△BAD≌△CBE，从而得到∠ADB=∠BEC⇒∠ADF+∠AEF=180°，即可证得A，E，F，D四点共圆；

（2）取AE的中点G，连接GD，可证得△AGD为正三角形，GA=GE=GD=，即点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为。

答案：

（1）证明：

∵AE=AB，

∴BE=AB，

∵在正△ABC中，AD=AC，

∴AD=BE，

又∵AB=BC，∠BAD=∠CBE，

∴△BAD≌△CBE，

∴∠ADB=∠BEC，

即∠ADF+∠AEF=180°，所以A，E，F，D四点共圆。

（2）解：

如图，

取AE的中点G，连接GD，则AG=GE=AE，

∵AE=AB，

∴AG=GE=AB=，

∵AD=AC=，∠DAE=60°，AB=AC

∴△AGD为正三角形，

∴GD=AG=AD=，即GA=GE=GD=，

所以点G是△AED外接圆的圆心，且圆G的半径为，

由于A，E，F，D四点共圆，即A，E，F，D四点共圆G，其半径为。

点拨：

本题着重考查全等三角形的证明与四点共圆的证明，突出推理能力与分析运算能力的考查，属于难题。

【方法定位】

将已知条件、欲求的结论以及所给图形的特点三个方面认真分析、思考，即可发现，适当利用四点共圆的有关性质以及定理，就能巧妙地找到解决问题的途径。

也就是说，四点共圆有时在解（证）题中起着“搭桥铺路”的作用。

例题（河南模拟）如图：

AB是⊙O的直径，G是AB延长线上的一点，GCD是⊙O的割线，过点G作AG的垂线，交直线AC于点E，交直线AD于点F，过点G作⊙O的切线，切点为H。

（1）求证：

C，D，E，F四点共圆；

（2）若GH=6，GE=4，求EF的长。

解析：

（1）连接DB，利用AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，又同弧所对的圆周角相等可得∠ACD=∠ABD，进而得到∠ACD=∠AFE即可证明四点共圆；

（2）由C，D，E，F四点共圆，利用共线定理可得GE·GF=GC·GD。

由GH是⊙O的切线，利用切割线定理可得GH2=GC·GD，进而得到GH2=GE·GF。

即可

答案：

证明：

（1）连接DB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，

在Rt△ABD和Rt△AFG中，∠ABD=∠AFE，

又∵∠ABD=∠ACD，∴∠ACD=∠AFE。

∴C，D，E，F四点共圆；

（2）∵C，D，E，F四点共圆，∴GE·GF=GC·GD。

∵GH是⊙O的切线，∴GH2=GC·GD，∴GH2=GE·GF。

又因为GH=6，GE=4，所以GF=9。

∴EF=GF－GE=9－4=5。

点拨：

熟练掌握圆的切线的性质、同弧所对的圆周角相等、四点共圆的判定方法、切割线定理等是解题的关键。

此题综合性较强，涉及知识点较全面。

（答题时间：

30分钟）

一、选择题

1.锐角△ABC的三条高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七个点中。

能组成四点共圆的组数是（　　）

A.4组B.5组C.6组D.7组

2.如图，在四边形ABCD中，AC、BD为对角线，点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，下列说法：

①当AC=BD时，M、E、N、F四点共圆。

②当AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆。

③当AC=BD且AC⊥BD时，M、E、N、F四点共圆。

其中正确的是（　　）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

3.如图，A，B，C，D是圆上四点，AD，BC的延长线交于点P，弧AB、弧CD分别为100°、40°，则∠P的度数为（　　）

A.40°B.35°C.60°D.30°

4.（高青县模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CM切⊙O于点C，∠BCM=60°，则∠B的正切值是（　　）

A.B.C.D.

5.已知Pi（i=1，2，3，4）是抛物线y=x2+bx+1上共圆的四点，它们的横坐标分别为xi（i=1，2，3，4），又xi（i=1，2，3，4）是方程（x2－4x+m）（x2－4x+n）=0的根，则二次函数y=x2+bx+1的最小值为（　　）

A.－1B.－2C.－3D.－4

二、填空题

6.如图，在△ABC中，AD，BE分别是∠A，∠B的角平分线，O是AD与BE的交点，若C，D，O，E四点共圆，DE=3，则△ODE的内切圆半径为。

7.（济宁）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD=　　度。

8.已知△ABC的中线AD、BE交于K，AB=，且K，D，C，E四点共圆，则CK=。

**9.如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE=DC·AF，B，E，F，C四点共圆。

若DB=BE=EA，则过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为。

三、解答题

10.（太原模拟）如图，已知AB为半圆O的直径，BE、CD分别为半圆的切线，切点分别为B、C，DC的延长线交BE于F，AC的延长线交BE于E。

AD⊥DC，D为垂足。

（1）求证：

A、D、F、B四点共圆；

（2）求证：

EF=FB。

*11.（贵阳模拟）如图，AP是圆O的切线，A是切点，AD⊥OP于D点，过点P作圆O的割线与圆O相交于B，C两点。

（1）证明：

O、D、B、C四点共圆。

（2）设∠OPC=30°，∠ODC=40°，求∠DBC的大小。

*12.（长春模拟）如图，在△ABC中，∠C为钝角，点E，H分别是边AB上的点，点K和M分别是边AC和BC上的点，且AH=AC，EB=BC，AE=AK，BH=BM。

（1）求证：

E、H、M、K四点共圆；

（2）若KE=EH，CE=3，求线段KM的长。

一、选择题

1.C

解析：

如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），

以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），

以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），

以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），

以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），

以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），

共6组。

故选C。

2.C

解析：

连接EM、MF、FN、NE，连接EF、MN，交于点O，如图所示，

∵点M、E、N、F分别为AD、AB、BC、CD边的中点，

∴EM∥BD∥NF，EN∥AC∥MF，EM=NF=BD，EN=MF=AC，

∴四边形ENFM是平行四边形，

①当AC=BD时，

则有EM=EN，

所以平行四边形ENFM是菱形，

而菱形的四个顶点不一定共圆，

故①不一定正确；

②当AC⊥BD时，

由EM∥BD，EN∥AC可得：

EM⊥EN，即∠MEN=90°，

所以平行四边形ENFM是矩形，

则有OE=ON=OF=OM。

所以M、E、N、F四点共圆，

故②正确；

③当AC=BD且AC⊥BD时，

同理可得：

四边形ENFM是正方形。

则有OE=ON=OF=OM。

所以M、E、N、F四点共圆，

故③正确。

故选C。

3.D

解：

连接BD，

∵=100°，

∴∠ADB=100°×=50°，

又∵=40°，

∴∠B=20°，

在△DBP中，∠P=∠ADB－∠B=50°－20°=30°。

故选D。

4.B

解：

连接BD，

AB是直径，则∠ADB=90°，

∴∠CDB=∠BCM=60°，

∴∠CDA=∠CDB+∠ADB=150°，

∵∠CBA=180°－∠CDA=30°，

∴tan∠ABC=tan30°=，

故选B。

5.C

解：

抛物线与圆的四个交点，上下两组点的连线的中点位于抛物线的对称轴上。

所以由（x2－4x+m）（x2－4x+n）=0可知，该抛物线的对称轴为x=2。

则b=－4。

所以最小值为。

二、填空题

6.解：

作OF⊥ED于点F，

∵AD，BE分别是∠A，∠B的角平分线，

∴∠AOB=90°+∠C，CO平分∠ACB，

又∵∠DOE=∠AOB，∠DOE+∠C=180°，

∴∠C=60°，∠DOE=∠AOB=120°，

∴90°+∠C＋∠C=180°

在AB上截取AM=AE，可得△AOE△AOM

∴OE=OM，

∵∠DOE=120°，

∴∠EOA=∠AOM=∠DOB=∠BOM=60°，

∴△BOM△BOD

∴OD=OM，

∴OD=OE，

∴∠OED=∠ODE=30°，

∴FD=，

tan30°=，

∴FO=，OD=OE=，

∴△ODE的周长为：

2+3，

∴△ODE的面积为：

×3×=，

∴△ODE的内切圆半径为，

故答案为：

。

7.解：

∵AB=AC=AD，

∴点B，C，D可以看成是以点A为圆心，AB为半径的圆上的三个点，

∴∠CBD是弧CD所对的圆周角，∠CAD是弧CD所对的圆心角；

∵∠CAD=76°，

∴∠CBD=∠CAD=×76°=38°。

8.解：

作△ABC的外接圆，延长CK交圆于点H，交AB于F，则∵K，D，C，E四点共圆，DE∥BA

∴∠BHC=∠BAC=∠DEC=∠DKC，

∴AK∥HB，

∵D为BC的中点

∴点K是CH的中点，即CK=KH，

又K是重心，

∴FK=HF=CF，

由相交弦定理，得BF×FA=CF×FH，

∴·=CF2，

∴CF=，

∴CK==1，

故答案为1。

9.解：

如图所示，

连接EF。

∵DC是△ABC的外接圆的切线，∴∠DCB=∠EAF，

∵BC·AE=DC·AF，∴，

∴△BCD≌△FAE，

∴∠CBD=∠AFE，

∵B、E、F、C四点共圆，

∴∠AFE=∠CBE，

∴∠CBD=∠CBE，

又∵∠CBD+∠CBE=180°，∴∠CBE=90°，

∴AC是△ABC的外接圆的直径，CE是E，F，C四点所在圆的直径。

不妨设DB=1，则BE=EA=DB=1，

由切割线定理可得：

DC2=DB•DA=1×3，，

在△DCE中，由DB=BE