科普向教你观察和想象四维空间树桑的日志.docx

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科普向教你观察和想象四维空间树桑的日志

【科普向】教你观察和想象四维空间-树桑的日志-网易博客

【科普向】教你观察和想象四维空间爱因斯坦说：

四维？

有啊，时间就是第四维

扯他的蛋去吧。

我这里将要说的四维空间，是指纯几何意义上的思维。

在两百年以前，人们普遍认为数学是一种工具，是要为现实服务的。

然而有一天，人们突然发现，数学可以仅仅是数学，数学可以超越现实。

在这之后的一项伟大成就之一，就是用几何和推理，推导出了四维空间中物体的几何性质。

下面要开始咯~

在开始想象四维世界的物体之前，我们可以先考虑以下的这个问题：

身为三维世界一员的你，如何向二维平面上的生物描述我们的这个世界呢？

其中一种切实可行的方法是投影法。

首先是最基本的图形：

球。

球在二维平面的投影就是圆。

因此，你可以指着一个圆对二维生物说，看，这就是球。

显然二维生物无法很好的区别圆和球的不同~

为了让二维生物能对球产生一个直观的了解，我决定让这个球穿过他们所在的二维平面

同样地，我们可以作出立方体的投影。

为了方便观察，我们的立方体是空心的。

二维生物A：

这东西就是立方？

看起来和方没什么不同啊？

看上去是没什么不同，因为这只是立方的正投影。

但当我们开始旋转立方体时，令二维生物无法理解的事情就出现了

二维生物A:

这东西到底有几条边啊？

二维生物B：

天啊，这些边可以互相穿过对方！

以下的这几张图都可以看做是立方体在二维平面上的投影

因此，在二维生物看来，这些都是立方体

然而正如我们无法理解一个人可以穿过一堵墙一样

二维生物无法理解为什么一条边可以毫无阻拦的穿过另一条边

除了圆和立方体以外，你可以想象有一盘国际象棋从桌上跌落，于此同时穿过了一个二维平面：

那么在那个二维平面上的生物就会看到许多奇形怪状的阴影先是出现，然后是变大，然后是变小，最后消失在他们的世界。

事实上，二维生物能看见的只是三维物体的一层层切面

如果二维物体能将这些切面全部堆叠在一起的话，他们就能还原一个真实的三维物体

可惜的是二维物体无法感知第三维，因此他们不能完成“堆叠”这个操作

因此他们永远无法看到真实的三维物体

虽然说，身为三维生物的我们无法直接看到四维物体，但我们依然能看见四维物体的三维投影。

正如二维生物能看见三维物体的二维投影一般。

首先从最简单的超球开始，也就是四维空间中的球体。

毫无疑问它在三维空间中的投影就是一个球。

正如让一个三维的球穿越一个二维平面一般，我们假设有一个四维超球正在穿越我们的三维空间

此时我们会看到什么样的情景呢？

首先你会看见一个点，这个点慢慢膨胀成一个球。

当这个球膨胀到最大时也就意味着那就是是超球的直径。

然后这个球慢慢变小，超球正在穿出我们的空间，以致完全消失。

虽然说这只是个投影，但你能看见它的纹路！

你甚至能从不同的角度欣赏它！

下面是超立方体。

但正如一个三维的立方体能在二维平面上投下千奇百怪的投影一般，我们很难直接想象出超立方体的特性。

在这里我们就要用到类比推理。

0D：

零维，既点。

1D：

一维，线。

我可以把一维看做是由两个端点（零维）构成的。

2D：

二维，面。

我们可以看到二维中的正方形是由四条线（一维）构成的。

3D：

三维，体。

一个立方体由六个面（二维）构成。

上图中的右图是正方体的二维投影，你能从中数出六个正方形出来么？

除去中间的那个以及环绕着它的四个，最外面的大正方形也算一个面。

通过上面的几步推导，我们可以用归纳法得出超立方体的性质。

4D：

四维。

四维中的超立方体是由八个正方体（三维）构成的。

上图就是超立方体在三维空间中的投影，从这幅图里面我们可以数出8个正方体来。

首先是最中间的一个，然后是环绕着它的六个凹进去的部分，最后是最外面的一个大正方体。

当四维空间中的超立方体开始旋转时，它在我们世界里的这个投影也会开始变化

这个投影以令人费解的姿态变幻着，它能够自己从里到外翻转过来，畅通无阻地穿透其他平面。

正如前面我们让一个正方体穿越二维平面一样，我们尝试着想象让超立方体穿越我们这个空间，看看会发生什么。

下面是一个超立方体这在穿过我们所在的空间

事实上，当这个超立方体以不同角度切入我们的空间时，我们所看到的图形也是不同的。

如果我们让一个立方体的一面和二维平面平行，并将它“按”入二维平面

那在二维上将会看见一个突然出现的正方形

同样的，如果我们让超立方体的一个“体”对准我们这个空间

那当它穿越我们这个三维世界的时候，我们是否会看见一个突然出现的立方体呢？

（我不知道，我神马都不知道~）

出了通过投影法来描述四维空间中的物体外，我们还可以通过展开图来描绘他们

对于三维平面中的立方体，我们可以将它如下展开成六个小正方形

于是我们有理由相信，对于四维中的超立方体，我们可以把它展开成八个小立方体

然而，无论我们如何摆放这八个立方体，我们都不能得到一个真正的超立方体

四维可不仅仅只是多一条边那么简单！

下面总结一下四维空间的特性：

要确定四维空间中的一点的坐标，我们必须要用到四个参数（x,y,z,a）。

我们无法感知到四维中多出来的那一个维度，但是我们能看见四维物体的投影。

当四维物体穿过我们的世界时，我们会看到不断变幻的三维投影，而这些正是四维物体的无数份切片。

如果我们把这些切片在另一个维度上堆叠起来，他们就会被还原成一个真正的四维物体。

四维空间中存在着三维空间中找不到原型的几何体（24胞体）。

接下来就是科幻的部分了：

如果身处三维世界的我们不慎进入了四维空间，会看见什么？

即使是封闭得最严密的保险柜，你依然可以从一个“侧面”看见里面的全部内容。

不仅如此，你甚至能看见里面每一颗螺钉的耦合方式。

你能看见自己的肌肉，自己的骨骼，以及血管里面流动着的血液，就好像你自己被解剖了一样

然而很奇怪，虽然血液就在你的眼前流动，但它们不会洒出来。

世界上所有的墙对你来说都是形同虚设，因为只要你愿意，你完全可以从另一个“侧面”绕过它。

当你从四维空间回到三维世界，你在三维世界里面的朋友会看到什么呢？

这取决于你以什么角度，用身体的哪个部分首先跨越回三维空间。

比如你是先把脚伸进来，那么你朋友看到的将是在空气中凭空出现的一双鞋，这双鞋慢慢往上张出了一双小腿

然而当你朋友转到另一个角度看你时，他必然会惊讶得说不出话来

因为他将会看见在你小腿和空气的交界面是两个整齐的圆形断面，就像切开的午餐肉一样

他可以看见你的骨骼，你的肌肉，你的血液

它们正随着你的小腿的出现而不断地生长！

或者说不断地出现！

如果你朋友有胆量用手去摸你的小腿的断面，他甚至能感觉到不断出现的断面将他的手慢慢的顶起来

他这样抚摸着你的“断腿”，并不会对你造成伤害，除非他用尖锐的物体扎它。

因为你只是从另一个维度跨入这个空间而已，这样做只会把这空间里原本存在的事物推开

就好像掉进水里的石头把水排开一样。

如果对四维空间感兴趣的，可以看看这个视频：

这个是超立方体的XX百科：

这个是正多胞体，也就是四维空间中的几何体的介绍：