9fb884d174eeaeaad1f34693daef5ef7ba0d1216.docx
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信息论与编码陈运主编无水印完整版答案
2.1试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？
解：
四进制脉冲可以表示4个不同的消息，例如：
{0,1,2,3}八进制脉冲可以表示8个不同的消息，例如：
{0,1,2,3,4,5,6,7}二进制脉冲可以表示2个不同的消息，例如：
{0,1}假设每个消息的发出都是等概率的，则：
四进制脉冲的平均信息量H（X1）=logn=log4=2bit/symbol
八进制脉冲的平均信息量H（X2）=logn=log8=3bit/symbol
二进制脉冲的平均信息量H（X0）=logn=log2=1bit/symbol
所以：
四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的2倍和3倍。
2.2居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。
假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？
解：
设随机变量X代表女孩子学历
X
x1（是大学生）
x2（不是大学生）
P（X）
0.25
0.75
设随机变量Y代表女孩子身高
Y
y1（身高>160cm）
y2（身高<160cm）
P（Y）
0.5
0.5
已知：
在女大学生中有75%是身高160厘米以上的
即：
p（y1/x1）=0.75bit
求：
身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量
即：
I（x
/y）=−logp（x
/y）=−logp（x1）p（y1/x1）=−log0.25×0.75=1.415bit
1111
p（y1）
0.5
2.3一副充分洗乱了的牌（含52张牌），试问
（1）任一特定排列所给出的信息量是多少？
（2）若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同能得到多少信息量？
解：
（1）52张牌共有52！
种排列方式，假设每种排列方式出现是等概率的则所给出的信息量是：
p（xi）=
1
52!
I（xi）=−logp（xi）=log52!
=225.581bit
（2）52张牌共有4种花色、13种点数，抽取13张点数不同的牌的概率如下：
p（xi）=
413
C
13
52
13
413
I（xi）=−logp（xi）=−log
=13.208bit
C
52
⎡X⎤
⎧x=0
x=1x=2
x=3⎫
2.4设离散无记忆信源⎢
⎥=⎨123
4⎬，其发出的信息为
⎣P（X）⎦
⎩3/8
1/4
1/4
1/8⎭
（202120130213001203210110321010021032011223210），求
（1）此消息的自信息量是多少？
（2）此消息中平均每符号携带的信息量是多少？
解：
（1）此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3，因此此消息发出的概率是：
1
1425
3
⎛⎞⎛⎞
6
⎛1⎞
p=⎜
⎟×⎜
⎟×⎜⎟
⎝8⎠
⎝4⎠
⎝8⎠
此消息的信息量是：
I=−logp=87.811bit
（2）此消息中平均每符号携带的信息量是：
I/n=87.811/45=1.951bit
2.5从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7%，女性发病率为0.5%，如果你问一
位男士：
“你是否是色盲？
”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这两个回答中各含多少
信息量，平均每个回答中含有多少信息量？
如果问一位女士，则答案中含有的平均自信息量
是多少？
解：
男士：
p（xY）=7%
I（xY）=−logp（xY）=−log0.07=3.837
p（xN）=93%
bit
I（xN）=−logp（xN）=−log0.93=0.105bit
2
H（X）=−∑p（xi）logp（xi）=−（0.07log0.07+0.93log0.93）=0.366bit/symbol
i
女士：
2
H（X）=−∑p（xi）logp（xi）=−（0.005log0.005+0.995log0.995）=0.045bit/symbol
i
⎡X⎤⎧xxxxxx⎫
2.6设信源⎢
⎥=⎨12345
6⎬，求这个信源的熵，并解释为什么
⎣P（X）⎦
⎩0.2
0.19
0.18
0.17
0.16
0.17⎭
H（X）>log6不满足信源熵的极值性。
解：
6
H（X）=−∑p（xi）logp（xi）
i
=−（0.2log0.2+0.19log0.19+0.18log0.18+0.17log0.17+0.16log0.16+0.17log0.17）
=2.657bit/symbol
H（X）>log26=2.585
6
不满足极值性的原因是∑p（xi）=1.07>1。
i
2.7证明：
H（X3/X1X2）≤H（X3/X1），并说明当X1,X2,X3是马氏链时等式成立。
证明：
H（X3/X1X2）−H（X3/X1）
=−∑∑∑p（xi1xi2xi3）logp（xi3/xi1xi2）+∑∑p（xi1xi3）logp（xi3/xi1）
i1i2i3
i1i3
=−∑∑∑p（xi1xi2xi3）logp（xi3/xi1xi2）+∑∑∑p（xi1xi2xi3）logp（xi3/xi1）
i1i2
=
i3
p（xx
x）log
p（xi3/xi1）
i1i2i3
∑∑∑
i1i2i3
i1i2i3
p（xi3/xi1xi2）
≤∑∑∑
p（xi1
xi2
⎛
xi3）⎜
p（xi3/
xi1）
⎞
−1⎟log2e
i1i2i3
⎛
⎜⎟
p（x/xx）
⎝i3i1i2⎠
⎞
=⎜∑∑∑p（xi1xi2）p（xi3/xi1）−∑∑∑p（xi1xi2xi3）⎟log2e
⎝i1i2i3
⎛⎡
i1i2i3⎠
⎤⎞
=⎜∑∑p（xi1xi2）⎢∑p（xi3/xi1）⎥−1⎟log2e
⎝i1i2
=0
⎣i3⎦⎠
∴H（X3/X1X2）≤H（X3/X1）
当p（xi3/xi1）
p（xi3/xi1xi2）
−1=0时等式等等
⇒p（xi3/xi1）=p（xi3/xi1xi2）
⇒p（xi1xi2）p（xi3/xi1）=p（xi3/xi1xi2）p（xi1xi2）
⇒p（xi1）p（xi2/xi1）p（xi3/xi1）=p（xi1xi2xi3）
⇒p（xi2/xi1）p（xi3/xi1）=p（xi2xi3/xi1）
∴等式等等的等等是X1,X2,X3是马_氏链
2.8证明：
H（X1X2。
。
。
Xn）≤H（X1）+H（X2）+…+H（Xn）。
证明：
H（X1X2...Xn）=H（X1）+H（X2/X1）+H（X3/X1X2）+...+H（Xn/X1X2...Xn−1）
I（X2;X1）≥0
I（X3;X1X2）≥0
...
⇒H（X2）≥H（X2/X1）
⇒H（X3）≥H（X3/X1X2）
I（XN;X1X2...Xn−1）≥0
⇒H（XN）≥H（XN/X1X2...Xn−1）
∴H（X1X2...Xn）≤H（X1）+H（X2）+H（X3）+...+H（Xn）
2.9设有一个信源，它产生0，1序列的信息。
它在任意时间而且不论以前发生过什么符号，
均按P（0）=0.4，P
（1）=0.6的概率发出符号。
（1）试问这个信源是否是平稳的？
（2）试计算H（X2）,H（X/XX）及H；
312∞
（3）试计算H（X4）并写出X4信源中可能有的所有符号。
解：
（1）
这个信源是平稳无记忆信源。
因为有这些词语：
“它在任．意．时．间．而且不．论．以．前．发．生．过．什．么．符．号．……”
（2）
H（X2）=2H（X）=−2×（0.4log0.4+0.6log0.6）=1.942bit/symbol
H（X3/X1X2）=H（X3）=−∑p（xi）logp（xi）=−（0.4log0.4+0.6log0.6）=0.971bit/symbol
i
H∞=limH（XN/X1X2...XN−1）=H（XN）=0.971bit/symbol
N−>∞
（3）
H（X4）=4H（X）=−4×（0.4log0.4+0.6log0.6）=3.884bit/symbol
X4的所有符号：
0000
0100
1000
1100
0001
0101
1001
1101
0010
0110
1010
1110
0011
0111
1011
1111
2.10一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示。
信源X的符号集为{0,1,2}。
（1）求平稳后信源的概率分布；
（2）求信源的熵H∞。
解：
（1）
⎧p（e1）=p（e1）p（e1/e1）+p（e2）p（e1/e2）
⎪
⎪
⎨p（e2）=p（e2）p（e2/e2）+p（e3）p（e2/e3）
⎩p（e3）=p（e3）p（e3/e3）+p（e1）p（e3/e1）
⎧p（e1）=p⋅p（e1）+p⋅p（e2）
⎪
⎨p（e2）=p⋅p（e2）+p⋅p（e3）
⎪
⎪⎩p（e3）=p⋅p（e3）+p⋅p（e1）
⎧p（e1）=p（e2）=p（e3）
⎨
⎩p（e1）+p（e2）+p（e3）=1
⎧p（e1）=1/3
⎪
⎪
⎨p（e2）=1/3
⎩p（e3）=1/3
⎧p（x1）=p（e1）p（x1/e1）+p（e2）p（x1/e2）=p⋅p（e1）+p⋅p（e2）=（p+p）/3=1/3
⎪
⎨p（x2）=p（e2）p（x2/e2）+p（e3）p（x2/e3）=p⋅p（e2）+p⋅p（e3）=（p+p）/3=1/3
⎪
p（x3）=p（e3）p（x3/e3）+p（e1）p（x3/e1）=p⋅p（e3）+p⋅p（e1）=（p+p）/3=1/3
⎡X⎤⎧012⎫
⎢⎥=⎨⎬
⎣P（X）⎦
（2）
⎩1/3
1/3
1/3⎭
33
H∞=−∑∑p（ei）p（ej/ei）logp（ej/ei）
ij
=−⎡1p（e
/e）logp（e
/e）+1p（e
/e）logp（e
/e）+1p（e
/e）logp（e
/e）
311
11321
2133131
+1p（e
/e）logp（e
/e）+1p（e
/e）logp（e
/e）+1p（e
/e）logp（e
/e）
312
12322
2233232
+1p（e
/e）logp（e
/e）+1p（e
/e）logp（e
/e）+1p（e
/e）logp（e
/e）⎤
313
13323
2333333
=−⎡1⋅p⋅logp+1⋅plogp+1⋅p⋅logp+1⋅p⋅logp+1⋅p⋅logp+1⋅p⋅logp⎤
333
333
=−（p⋅logp+p⋅logp）bit/symbol
2.11黑白气象传真图的消息只有黑色和白色两种，即信源X={黑，白}。
设黑色出现的概率为
P（黑）=0.3，白色出现的概率为P（白）=0.7。
（1）假设图上黑白消息出现前后没有关联，求熵H（X）；
（2）假设消息前后有关联，其依赖关系为P（白/白）=0.9，P（黑/白）=0.1，P（白/黑）=0.2，
P（黑/黑）=0.8，求此一阶马尔可夫信源的熵H2（X）;
（3）分别求上述两种信源的剩余度，比较H（X）和H2（X）的大小，并说明其物理含义。
解：
（1）
H（X）=−∑p（xi）logp（xi）=−（0.3log0.3+0.7log0.7）=0.881bit/symbol
i
（2）
⎧p（e1）=p（e1）p（e1/e1）+p（e2）p（e1/e2）
⎨
⎩p（e2）=p（e2）p（e2/e2）+p（e1）p（e2/e1）
⎧p（e1）=0.8p（e1）+0.1p（e2）
⎨
⎩p（e2）=0.9p（e2）+0.2p（e1）
⎧p（e2）=2p（e1）
⎨
⎩p（e1）+p（e2）=1
⎧p（e1）=1/3
⎨
⎩p（e2）=2/3
H∞=−∑∑p（ei）p（ej/ei）logp（ej/ei）
ij
=−⎜1×0.8log0.8+1×0.2log0.2+2×0.1log0.1+2×0.9log0.9⎟
⎛
⎝33
=0.553bit/symbol
⎞
33⎠
（3）
η1
η1
=H0−H∞
H0
=H0−H∞
H0
=log2−0.881=11.9%
log2
=log2−0.553=44.7%
log2
H（X）>H2（X）表示的物理含义是：
无记忆信源的不确定度大与有记忆信源的不确定度，有记忆信源的结构化信息较多，能够进行较大程度的压缩。
2.12同时掷出两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都为1/6，求：
（1）“3和5同时出现”这事件的自信息；
（2）“两个1同时出现”这事件的自信息；
（3）两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量；
（4）两个点数之和（即2,3,…,12构成的子集）的熵；
（5）两个点数中至少有一个是1的自信息量。
解：
（1）
（）=1×1+1×1=1
pxi
666618
1
I（xi）=−logp（xi）=−log
18
=4.170bit
（2）
（
）=1×1=1
pxi
6636
1
I（xi）=−logp（xi）=−log
36
=5.170bit
（3）
两个点数的排列如下：
21
22
23
24
25
26
31
32
33
34
35
36
41
42
43
44
45
46
51
52
53
54
55
56
61
62
63
64
65
66
共有21种组合：
其中11，22，33，44，55，66的概率是
1×1=1
6636
其他15个组合的概率是2×
1×1=1
6618
⎛11
11⎞
H（X）=−∑p（xi）logp（xi）=−⎜6×
log
+15×
log
⎟=4.337
bit/symbol
i⎝3636
1818⎠
（4）
参考上面的两个点数的排列，可以得出两个点数求和的概率分布如下：
⎡X⎤⎧⎪2
=1
34567
11151
8910
511
1112⎫
11
⎪
⎢⎥⎨⎬
⎣P（X）⎦
361812
936
636
9121836
H（X）=−∑p（xi）logp（xi）
i
⎛
=−⎜2×
1log1
+2×1log1
+2×1log1
+2×1log1+2×
5log5
+1log1⎟
⎝3636
1818
121299
363666⎠
=3.274bit/symbol
（5）
（
）=1×1×
=11
pxi
11
6636
11
I（xi）=−logp（xi）=−log
36
=1.710bit
2.13某一无记忆信源的符号集为{0,1}，已知P（0）=1/4，P
（1）=3/4。
（1）求符号的平均熵；
（2）有100个符号构成的序列，求某一特定序列（例如有m个“0”和（100-m）个“1”）
的自信息量的表达式；
（3）计算
（2）中序列的熵。
解：
（1）
ii⎜
H（X）=−∑p（x）logp（x）=−⎛1
log1+
3log
3⎞
⎞
⎟=0.811bit/symbol
i⎝4444⎠
（2）
m
⎛1⎞
100−m
3
⎛⎞
3100−m
p（xi）=⎜
⎟×⎜⎟
=
100
⎝4⎠
⎝4⎠
4
3100−m
I（xi）=−logp（xi）=−log
4100
=41.5+1.585m
bit
（3）
H（X100）=100H（X）=100×0.811=81.1bit/symbol
2.14对某城市进行交通忙闲的调查，并把天气分成晴雨两种状态，气温分成冷暖两个状态，
调查结果得联合出现的相对频度如下：
若把这些频度看作概率测度，求：
（1）忙闲的无条件熵；
（2）天气状态和气温状态已知时忙闲的条件熵；
（3）从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息。
解：
（1）
根据忙闲的频率，得到忙闲的概率分布如下：
⎡X⎤
⎧x1忙
x2闲⎫
⎬
⎢P（X）
⎪
⎥=⎨63
40⎪
⎣⎦103
2
103
⎛63
6340
40⎞
H（X）=−∑p（xi）logp（xi）=−⎜103log103+103log103⎟=0.964bit/symbol
i⎝⎠
（2）
设忙闲为随机变量X，天气状态为随机变量Y，气温状态为随机变量Z
H（XYZ）=−∑∑∑p（xiyjzk）logp（xiyjzk）
ijk
⎛
=−⎜12log12+
8log8
+27log27
⎞
+16log16
⎝103
103
103
103
103
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