奇数和偶数相关练习精编版.docx
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奇数和偶数相关练习精编版
2、奇数和偶数
知识点：
1.奇数和偶数
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
2.奇数与偶数的运算性质
性质1：
偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数。
性质2：
偶数±奇数=奇数。
性质3：
偶数个奇数相加得偶数。
性质4：
奇数个奇数相加得奇数。
性质5：
偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。
利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题。
1、1+2+3+…+1993的和是奇数？
还是偶数？
2、一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？
3、元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？
为什么？
4、已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7。
求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。
5、任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于999。
6、桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：
无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。
7、假设n盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动（n-1）个开关，能否把所有的灯都关上？
请证明此结论，或给出一种关灯的办法。
8、在圆周上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红，1987次染蓝。
求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。
9、某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是：
答对一题给3分，答错一题倒扣1分.某题不答给1分，请说明该校六年级参赛学生得分总和一定是偶数。
10、某学校一年级一班共有25名同学，教室座位恰好排成5行，每行5个座位.把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的邻位.问：
让这25个学生都离开原座位坐到原座位的邻位，是否可行？
11、在中国象棋盘任意取定的一个位置上放置着一颗棋子“马”，按中国象棋的走法，当棋盘上没有其他棋子时，这只“马”跳了若干步后回到原处，问：
“马”所跳的步数是奇数还是偶数？
12、线段AB有两个端点，一个端点染红色，另一个端点染蓝色.在这个AB线段中间插入n个交点，或染红色，或染蓝色，得到n＋1条小线段（不重叠的线段）.试证：
两个端点不同色的小线段的条数一定是奇数。
13、有100个自然数，它们的和是偶数.在这100个自然数中，奇数的个数比偶数的个数多.问：
这些数中至多有多少个偶数？
14、有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问：
在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？
15、求证：
四个连续奇数的和一定是8的倍数。
16、把任意6个整数分别填入右图中的6个小方格内，试说明一定有一个矩形，它的四个角上四个小方格中的四个数之和为偶数。
17、如果两个人通一次电话，每人都记通话一次，在24小时以内，全世界通话次数是奇数的那些人的总数为____。
（A）必为奇数，（B）必为偶数，（C）可能是奇数，也可能是偶数。
18、一次宴会上，客人们相互握手.问握手次数是奇数的那些人的总人数是奇数还是偶数。
19、有12张卡片，其中有3张上面写着1，有3张上面写着3，有3张上面写着5，有3张上面写着7。
你能否从中选出五张，使它们上面的数字和为20？
为什么？
20、有10只杯子全部口朝下放在盘子里.你能否每次翻动4只杯子，经过若干次翻动后将杯子全部翻成口朝上？
21、电影厅每排有19个座位，共23排，要求每一观众都仅和它邻近（即前、后、左、右）一人交换位置.问：
这种交换方法是否可行？
第7讲奇偶性
（一）
整数按照能不能被2整除，可以分为两类：
（1）能被2整除的自然数叫偶数，例如
0，2，4，6，8，10，12，14，16，…
（2）不能被2整除的自然数叫奇数，例如
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。
相邻两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一偶。
因为偶数能被2整除，所以偶数可以表示为2n的形式，其中n为整数；因为奇数不能被2整除，所以奇数可以表示为2n+1的形式，其中n为整数。
每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。
奇偶数有如下一些重要性质：
（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。
反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。
（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。
任意多个偶数的和（或差）是偶数。
（3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。
（4）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。
反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。
（5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。
奇数肯定不能被偶数整除。
（6）偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1。
因为（2n）2=4n2=4×n2，所以（2n）2能被4整除；
因为（2n+1）2=4n2+4n+1=4×（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1。
（7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。
（8）如果一个整数有奇数个约数（包括1和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。
整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。
有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码，成为整数问题，便可利用整数的奇偶性加以解决。
例1下式的和是奇数还是偶数？
1+2+3+4+…+1997+1998。
分析与解：
本题当然可以先求出算式的和，再来判断这个和的奇偶性。
但如果能不计算，直接分析判断出和的奇偶性，那么解法将更加简洁。
根据奇偶数的性质
（2），和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关，与加数中的偶数无关。
1～1998中共有999个奇数，999是奇数，奇数个奇数之和是奇数。
所以，本题要求的和是奇数。
例2能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？
1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。
分析与解：
等号左端共有9个数参加加、减运算，其中有5个奇数，4个偶数。
5个奇数的和或差仍是奇数，4个偶数的和或差仍是偶数，因为“奇数+偶数=奇数”，所以题目的要求做不到。
例3任意给出一个五位数，将组成这个五位数的5个数码的顺序任意改变，得到一个新的五位数。
那么，这两个五位数的和能不能等于99999？
分析与解：
假设这两个五位数的和等于99999，则有下式：
其中组成两个加数的5个数码完全相同。
因为两个个位数相加，和不会大于9+9=18，竖式中和的个位数是9，所以个位相加没有向上进位，即两个个位数之和等于9。
同理，十位、百位、千位、万位数字的和也都等于9。
所以组成两个加数的10个数码之和等于9+9+9+9+9=45，是奇数。
另一方面，因为组成两个加数的5个数码完全相同，所以组成两个加数的10个数码之和，等于组成第一个加数的5个数码之和的2倍，是偶数。
奇数≠偶数，矛盾的产生在于假设这两个五位数的和等于99999，所以假设不成立，即这两个数的和不能等于99999。
例4在一次校友聚会上，久别重逢的老同学互相频频握手。
请问：
握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？
请说明理由。
分析与解：
通常握手是两人的事。
甲、乙两人握手，对于甲是握手1次，对于乙也是握手1次，两人握手次数的和是2。
所以一群人握手，不论人数是奇数还是偶数，握手的总次数一定是偶数。
把聚会的人分成两类：
A类是握手次数是偶数的人，B类是握手次数是奇数的人。
A类中每人握手的次数都是偶数，所以A类人握手的总次数也是偶数。
又因为所有人握手的总次数也是偶数，偶数-偶数=偶数，所以B类人握手的总次数也是偶数。
握奇数次手的那部分人即B类人的人数是奇数还是偶数呢？
如果是奇数，那么因为“奇数个奇数之和是奇数”，所以得到B类人握手的总次数是奇数，与前面得到的结论矛盾，所以B类人即握过奇数次手的人数是偶数。
例5五
（2）班部分学生参加镇里举办的数学竞赛，每张试卷有50道试题。
评分标准是：
答对一道给3分，不答的题，每道给1分，答错一道扣1分。
试问：
这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？
分析与解：
本题要求出这部分学生的总成绩是不可能的，所以应从每个人得分的情况入手分析。
因为每道题无论答对、不答或答错，得分或扣分都是奇数，共有50道题，50个奇数相加减，结果是偶数，所以每个人的得分都是偶数。
因为任意个偶数之和是偶数，所以这部分学生的总分必是偶数。
奇数与偶数作业
一、填空题
1、五个连续奇数的和是85，其中最大的数是_____,最小的数是_____。
2、三个质数、、，如果>>1,+=,那么=_____。
3、已知a、b、c都是质数，且a+b=c，那么a
b
c的最小值是_____。
4、已知a、b、c、d都是不同的质数，a+b+c=d，那么a
b
c
d的最小值是_____。
5、a、b、c都是质数,c是一位数,且a
b+c=1993,那么a+b+c=_____。
6、三个质数之积恰好等于它们和的7倍,则这三个质数为_____。
7、如果两个两位数的差是30,下面第_____种说法有可能是对的。
（1）这两个数的和是57。
（2）这两个数的四个数字之和是19。
（3）这两个数的四个数字之和是14。
8、一本书共186页,那么数字1,3,5,7,9在页码中一共出现了_____次。
9、筐中有60个苹果,将它们全部取出来,分成偶数堆,使得每堆的个数相同,则有_____种分法。
10、从1至9这九个数字中挑出六个不同的数,填在下图所示的六个圆圈内,使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数.那么最多能找出_____种不同的挑法来.（六个数字相同,排列次序不同算同一种）
二、解答题
1、能否从四个3、三个5、两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22？
2、任意交换一个三位数的数字，得一个新的三位数，一位同学将原三位数与新的三位数相加，和是999。
这位同学的计算有没有错？
3、甲、乙两人做游戏。
任意指定七个整数（允许有相同数），甲将这七个整数以任意的顺序填在下图第一行的方格内，乙将这七个整数以任意的顺序填在图中的第二行方格里，然后计算出所有同一列的两个数的差（大数减小数），再将这七个差相乘。
游戏规则是：
若积是偶数，则甲胜；若积是奇数，则乙胜。
请说明谁将获胜。
4、某班学生毕业后相约彼此通信，每两人间的通信量相等，即甲给乙写几封信，乙也要给甲写几封信。
问：
写了奇数封信的毕业生人数是奇数还是偶数？
5、A市举办五年级小学生“春晖杯”数学竞赛，竞赛题30道，记分方法是：
底分15分，每答对一道加5分，不答的题，每道加1分，答错一道扣1分。
如果有333名学生参赛，那么他们的总得分是奇数还是偶数？
6、把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。
是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？
试讲出理由。
7、红星影院有1999个座位，上、下午各放映一场电影。
有两所学校各有1999名学生包场看这两场电影，那么一定有这样的座位，上、下午在这个座位上坐的是两所不同学校的学生，为什么？
8、在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如a=5+3=8.问:
填入的81个数字中,奇数多还是偶数多?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
123456789
9、能不能在下式:
123456789=10的每个方框中,分别填入加号或减号,使等式成立?
10、在八个房间中,有七个房间开着灯,一个房间关着灯.如果每次同时拨动四个房间的开关,能不能把全部房间的灯关上?
为什么?
11、一个工人将零件装进两种盒子中,每个大盒子装12只零件,每个小盒子装5只零件,恰好装完.如果零件一共是99只,盒子个数大于10,这两种盒子各有多少个?
第8讲奇偶性
（二）
例1用0～9这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数，那么这五个两位数的和最大是多少？
分析与解：
有时题目的要求比较多，可先考虑满足部分要求，然后再调整，使最后结果达到全部要求。
这道题的几个要求中，满足“和最大”是最容易的。
暂时不考虑这五个数的和是奇数的要求。
要使组成的五个两位数的和最大，应该把十个数码中最大的五个分别放在十位上，即十位上放5，6，7，8，9，而个位上放0，1，2，3，4。
根据奇数的定义，这样组成的五个两位数中，有两个是奇数，即个位是1和3的两个两位数。
要满足这五个两位数的和是奇数，根据奇、偶数相加减的运算规律，这五个数中应有奇数个奇数。
现有两个奇数，即个位数是1，3的两位数。
所以五个数的和是偶数，不合要求，必须调整。
调整的方法是交换十位与个位上的数字。
要使五个数有奇数个奇数，并且五个数的和尽可能最大，只要将个位和十位上的一个奇数与一个偶数交换，并且交换的两个的数码之差尽可能小，由此得到交换5与4的位置。
满足题设要求的五个两位数的十位上的数码是4，6，7，8，9，个位上的数码是0，1，2，3，5，所求这五个数的和是（4+6+7+8+9）×10+（0+1+2+3+5）=351。
例27只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的2只杯子。
能否经过若干次翻转，使得7只杯子全部杯口朝下？
分析与解：
盲目的试验，可能总也找不到要领。
如果我们分析一下每次翻转后杯口朝上的杯子数的奇偶性，就会发现问题所在。
一开始杯口朝上的杯子有7只，是奇数；第一次翻转后，杯口朝上的变为5只，仍是奇数；再继续翻转，因为只能翻转两只杯子，即只有两只杯子改变了上、下方向，所以杯口朝上的杯子数仍是奇数。
类似的分析可以得到，无论翻转多少次，杯口朝上的杯子数永远是奇数，不可能是偶数0。
也就是说，不可能使7只杯子全部杯口朝下。
例3有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m-1）只杯子。
经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？
分析与解：
当m是奇数时，（m-1）是偶数。
由例2的分析知，如果每次翻转偶数只杯子，那么无论经过多少次翻转，杯口朝上（下）的杯子数的奇偶性不会改变。
一开始m只杯子全部杯口朝下，即杯口朝下的杯子数是奇数，每次翻转（m-1）即偶数只杯子。
无论翻转多少次，杯口朝下的杯子数永远是奇数，不可能全部朝上。
当m是偶数时，（m-1）是奇数。
为了直观，我们先从m=4的情形入手观察，在下表中用∪表示杯口朝上，∩表示杯口朝下，每次翻转3只杯子，保持不动的杯子用*号标记。
翻转情况如下：
由上表看出，只要翻转4次，并且依次保持第1，2，3，4只杯子不动，就可达到要求。
一般来说，对于一只杯子，要改变它的初始状态，需要翻奇数次。
对于m只杯子，当m是偶数时，因为（m-1）是奇数，所以每只杯子翻转（m-1）次，就可使全部杯子改变状态。
要做到这一点，只需要翻转m次，并且依次保持第1，2，…，m只杯子不动，这样在m次翻转中，每只杯子都有一次没有翻转，即都翻转了（m-1）次。
综上所述：
m只杯子放在桌子上，每次翻转（m-1）只。
当m是奇数时，无论翻转多少次，m只杯子不可能全部改变初始状态；当m是偶数时，翻转m次，可以使m只杯子全部改变初始状态。
例4一本论文集编入15篇文章，这些文章排版后的页数分别是1，2，3，…，15页。
如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇？
分析与解：
可以先研究排版一本书，各篇文章页数是奇数或偶数时的规律。
一篇有奇数页的文章，它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相同的，即排版奇数页的文章，第一面是奇数页码，最后一面也是奇数页码，而接下去的另一篇文章的第一面是排在偶数页码上。
一篇有偶数页的文章，它的第一面和最后一面所在的页码的奇偶性是相异的，即排版偶数页的文章，第一面是奇（偶）数页码，最后一面应是偶（奇）数页码，而紧接的另一篇文章的第一面又是排在奇（偶）数页码上。
以上说明本题的解答主要是根据奇偶特点来处理。
题目要求第一面排在奇数页码的文章尽量多。
首先考虑有偶数页的文章，只要这样的第一篇文章的第一面排在奇数页码上（如第1页），那么接着每一篇有偶数页的文章都会是第一面排在奇数页码上，共有7篇这样的文章。
然后考虑有奇数页的文章，第一篇的第一面排在奇数页码上，第二篇的第一面就会排在偶数页码上，第三篇的第一面排在奇数页码上，如此等等。
在8篇奇数页的文章中，有4篇的第一面排在奇数页码上。
因此最多有7+4=11（篇）文章的第一面排在奇数页码上。
例5有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋子。
阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子，若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内。
问：
从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？
它们都是什么颜色？
分析与解：
大盒内装有黑、白棋子共1001+1000=2001（枚）。
因为每次都是摸出2枚棋子放回1枚棋子，所以每摸一次少1枚棋子，摸了1999次后，还剩2001-1999=2（枚）棋子。
从大盒内每次摸2枚棋子有以下两种情况：
（1）所摸到的两枚棋子是同颜色的。
此时从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内。
当所摸两枚棋子同是黑色，这时大盒内少了一枚黑棋子；当所摸两枚棋子同是白色，这时大盒内多了一枚黑棋子。
（2）所摸到的两枚棋子是不同颜色的，即一黑一白。
这时要把拿出的白棋子放回到大盒，大盒内少了一枚黑棋子。
综合
（1）
（2），每摸一次，大盒内的黑棋子总数不是少一枚就是多一枚，即改变了黑棋子数的奇偶性。
原来大盒内有1000枚即偶数枚黑棋子，摸了1999次，即改变了1999次奇偶性后，还剩奇数枚黑棋子。
因为大盒内只剩下2枚棋子，所以最后剩下的两枚棋子是一黑一白。
例6一串数排成一行：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…
到这串数的第1000个数为止，共有多少个偶数？
分析与解：
首先分析这串数的组成规律和奇偶数情况。
1+1=2，2+3=5，3+5=8，5+8=13，…
这串数的规律是，从第三项起，每一个数等于前两个数的和。
根据奇偶数的加法性质，可以得出这串数的奇偶性：
奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，……
容易看出，这串数是按“奇，奇，偶”每三个数为一组周期变化的。
1000÷3=333……1，这串数的前1000个数有333组又1个数，每组的三个数中有1个偶数，并且是第3个数，所以这串数到第1000个数时，共有333个偶数。
练习
1、在11，111，1111，11111，…这些数中，任何一个数都不会是某一个自然数的平方。
这样说对吗？
2、一本书由17个故事组成，各个故事的篇幅分别是1，2，3，…，17页。
这17个故事有各种编排法，但无论怎样编排，故事正文都从第1页开始，以后每一个故事都从新一页码开始。
如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少，那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？
3、桌子上放着6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。
如果每次翻转5只杯子，那么至少翻转多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？
4、70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行数的最左边的几个数是这样的：
0，1，3，8，21，…问：
最右边的一个数是奇数还是偶数？
5、学校组织运动会，小明领回自己的运动员号码后，小玲问他：
“今天发放的运动员号码加起来是奇数还是偶数？
”小明说：
“除开我的号码，把今天发的其它号码加起来，再减去我的号码，恰好是100。
”今天发放的运动员号码加起来，到底是奇数还是偶数？
6、在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得到88，66，99。
问：
原来写的三个整数能否是1，3，5？
7、将888件礼品分给若干个小朋友。
问：
分到奇数件礼品的小朋友是奇数还是偶数？
第9讲奇偶性（三）
利用奇、偶数的性质，上两讲已经解决了许多有关奇偶性的问题。
本讲将继续利用奇偶性研究一些表面上似乎与奇偶性无关的问题。
例1在7×7的正方形的方格表中，以左上角与右下角所连对角线为轴对称地放置棋子，要求每个方格中放置不多于1枚棋子，且每行正好放3枚棋子，则在这条对角线上的格子里至少放有一枚棋子，这是为什么？
分析与解：
题目说在指定的这条对角线上的格子里必定至少放有一枚棋子，假设这个说法不对，即对角线上没放棋子。
如下图所示，因为题目要求摆放的棋子以MN为对称轴，所以对于MN左下方的任意一格A，总有MN右上方的一格A＇，A与A＇关于MN对称，所以A与A＇要么都放有棋子，要么都没放棋子。
由此推知方格表中放置棋子的总枚数应是偶数。
而题设每行放3枚棋子，7行共放棋子3×7=21（枚），21是奇数，与上面的推论矛盾。
所以假设不成立，即在指定的对角线上的格子中必定至少有一枚棋子。
例2对于左下表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为右下表？
为什么？
分析与解：
因为每次有两个数同时被加上或减去同一个数，所以表中九个数码的总和经过变化后，等于原来的总和加上或减去那个数的2倍，因此总和的奇偶性没有改变。
原来九个数的总和为1+2+…+9=45，是奇数，经过若干次变化后，总和仍应是奇数，与右上表九个数的总和是4矛盾。
所以不可能变成右上表。
例3左下图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门。
有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？
分析与解：
如右上图所示，将相邻的房间黑、白相间染色。
无论从哪个房间开始走，因为总是黑白相间地走过各房间，所以走过的黑、白房间数最多相差1。
而右上图有7黑5白，所以不可能不重复地走遍每一个房间。
例4左下图是由14个大小相同的方格组成的图形。
试问能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？
分析与解：
将这14个小方格黑白相间染色（见右上图
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