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博弈论

博弈与决策讲义一：

绪论GameTheory（结合耶鲁课程）

一、博弈论的概念

博弈论（GameTheory），有时也称为对策论，或者赛局理论，应用数学的一个分支, 目前在生物学，经济学，国际关系，计算机科学, 政治学，军事战略和其他很多学科都有广泛的应用。

主要研究公式化了的激励结构（游戏或者博弈（Game））间的相互作用。

是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。

也是运筹学的一个重要学科。

 博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。

 表面上不同的相互作用可能表现出相似的激励结构（incentivestructure），所以他们是同一个游戏的特例。

其中一个有名有趣的应用例子是囚徒困境（Prisoner'sdilemma）。

博弈论研究策略形势。

经济学中有这样的案例，如完全竞争企业，这些企业是价格的接受者，他们不必担心竞争对手的行为；又比如完全垄断企业，他没有竞争对手，所以这些都不是策略形势。

他们不是价格接受者，但需要面对需求曲线，对于学过经济学的应该不陌生。

而介于这两种情况之间的就是策略形势，不完全竞争情况就是策略形势，比如汽车企业，在汽车产业里，福特关注通用和丰田的行为，可能还得关注克莱斯勒的行为，少数几家公司的决策会相互影响。

策略形势书面定义就是行为影响结果，而结果不仅取决于自己的行为，还取决于其他人的行为。

具有竞争或对抗性质的行为成为博弈行为。

在这类行为中，参加斗争或竞争的各方各自具有不同的目标或利益。

为了达到各自的目标和利益，各方必须考虑对手的各种可能的行动方案，并力图选取对自己最为有利或最为合理的方案。

比如日常生活中的下棋，打牌等。

博弈论就是研究博弈行为中斗争各方是否存在着最合理的行为方案，以及如何找到这个合理的行为方案的数学理论和方法。

生物学家使用博弈理论来理解和预测演化（论）的某些结果。

例如，JohnMaynardSmith 和GeorgeR.Price 在1973年发表于《自然》杂志上的论文中提出的“evolutionarilystablestrategy”的这个概念就是使用了博弈理论。

还可以参见演化博弈理论（evolutionarygametheory）和行为生态学（behavioralecology）。

博弈论也应用于数学的其他分支，如概率，统计和线性规划等。

博弈论图（见网上课堂）

二、博弈论简史

  博弈论思想古已有之，我国古代的《孙子兵法》就不仅是一部军事著作，而且算是最早的一部博弈论专著。

博弈论最初主要研究象棋、桥牌、赌博中的胜负问题，人们对博弈局势的把握只停留在经验上,没有向理论化发展，正式发展成一门学科则是在20世纪初。

对于博弈论的研究，开始于策墨洛（Zermelo,1913）、波雷尔（Borel,1921）及冯·诺伊曼（vonNeumann,1928），后来由冯·诺伊曼和奥斯卡·摩根斯坦（vonNeumannandMorgenstern，1944，1947）首次对其系统化和形式化（参照Myerson,1991）。

随后约翰·福布斯·纳什（JohnForbesNashJr.,1950,1951）利用不动点定理证明了均衡点的存在，为博弈论的一般化奠定了坚实的基础。

此外，塞尔顿、哈桑尼的研究也对博弈论发展起到推动作用。

今天博弈论已发展成一门较完善的的学科。

通常认为，现代经济博弈论是在20世纪50年代由美国著名数学家冯·诺依曼（vonNeumann）的经济学家奥斯卡·摩根斯坦（OscarMorgenstern）引入经济学的，目前已成为经济分析的主要工具之一，对产业组织理论、委托代理理论、信息经济学等经济理论的发展做出了非常重要的贡献。

1994年的诺贝尔经济学奖颁发给了约翰·纳什（JohnNash）等三位在博弈论研究中成绩卓著的经济学家，1996年的诺贝尔经济学奖又授予在博弈论的应用方面有着重大成就的经济学家。

由于博弈论重视经济主体之间的相互联系及其辨证关系，大大拓宽了传统经济学的分析思路，使其更加接近现实市场竞争，从而成为现代微观经济学的重要基石，也为现代宏观经济学提供了更加坚实的微观基础。

当代博弈论的“三大家”和“四君子”

"三大家" 包括约翰·福布斯·纳什、约翰·C·海萨尼以及莱因哈德·泽尔腾。

这三人同时因为他们对博弈论的突出贡献而获得1994年的瑞典银行经济学奖（也称诺贝尔经济学奖）。

"四君子" 包括罗伯特·J·奥曼、肯·宾摩尔、戴维·克瑞普斯以及阿里尔·鲁宾斯坦。

三．博弈论的基本概念

博弈要素:

（1）局中人（players）：

在一场竞赛或博弈中，每一个有决策权的参与者成为一个局中人。

只有两个局中人的博弈现象称为“两人博弈”,而多于两个局中人的博弈称为“多人博弈”。

（2）策略（strategiges）：

一局博弈中，每个局中人都有选择实际可行的完整的行动方案，即方案不是某阶段的行动方案，而是指导整个行动的一个方案，一个局中人的一个可行的自始至终全局筹划的一个行动方案，称为这个局中人的一个策略。

如果在一个博弈中局中人都总共有有限个策略，则称为“有限博弈”，否则称为“无限博弈”。

（3）得失（payoffs）：

一局博弈结局时的结果称为得失。

每个局中人在一局博弈结束时的得失，不仅与该局中人自身所选择的策略有关，而且与全局中人所取定的一组策略有关。

所以，一局博弈结束时每个局中人的“得失”是全体局中人所取定的一组策略的函数，通常称为支付（payoff）函数。

（4）次序（orders）：

各博弈方的决策有先后之分，且一个博弈方要作不止一次的决策选择，就出现了次序问题；其他要素相同次序不同，博弈就不同。

（5）博弈涉及到均衡：

均衡是平衡的意思，在经济学中，均衡意即相关量处于稳定值。

在供求关系中，某一商品市场如果在某一价格下，想以此价格买此商品的人均能买到，而想卖的人均能卖出，此时我们就说，该商品的供求达到了均衡。

所谓纳什均衡，它是一稳定的博弈结果。

纳什均衡（NashEquilibrium）：

在一策略组合中，所有的参与者面临这样一种情况，当其他人不改变策略时，他此时的策略是最好的。

也就是说，此时如果他改变策略他的支付将会降低。

在纳什均衡点上，每一个理性的参与者都不会有单独改变策略的冲动。

纳什均衡点存在性证明的前提是“博弈均衡偶”概念的提出。

所谓“均衡偶”是在二人零和博弈中，当局中人A采取其最优策略a*,局中人B也采取其最优策略b*,如果局中人B仍采取b*,而局中人A却采取另一种策略a，那么局中人A的支付不会超过他采取原来的策略a*的支付。

这一结果对局中人B亦是如此。

这样，“均衡偶”的明确定义为：

一对策略a*（属于策略集A）和策略b*（属于策略集B）称之为均衡偶，对任一策略a（属于策略集A）和策略b（属于策略集B），总有：

偶对（a,b*）≤偶对（a*,b*）≥偶对（a*，b）。

对于非零和博弈也有如下定义：

一对策略a*（属于策略集A）和策略b*（属于策略集B）称为非零和博弈的均衡偶，对任一策略a（属于策略集A）和策略 b（属于策略集B），总有：

对局中人A的偶对（a,b*）≤偶对（a*,b*）;对局中人B的偶对（a*，b）≤偶对（a*,b*）。

有了上述定义，就立即得到纳什定理：

任何具有有限纯策略的二人博弈至少有一个均衡偶。

这一均衡偶就称为纳什均衡点。

纳什定理的严格证明要用到不动点理论，不动点理论是经济均衡研究的主要工具。

通俗地说，寻找均衡点的存在性等价于找到博弈的不动点。

纳什均衡点概念提供了一种非常重要的分析手段，使博弈论研究可以在一个博弈结构里寻找比较有意义的结果。

但纳什均衡点定义只局限于任何局中人不想单方面变换策略，而忽视了其他局中人改变策略的可能性，因此，在很多情况下，纳什均衡点的结论缺乏说服力，研究者们形象地称之为“天真可爱的纳什均衡点”。

塞尔顿（R·Selten）在多个均衡中剔除一些按照一定规则不合理的均衡点，从而形成了两个均衡的精炼概念：

子博弈完全均衡和颤抖的手完美均衡。

四．博弈的类型

博弈的分类根据不同的基准也有不同的分类。

一般认为，博弈主要可以分为合作博弈和非合作博弈。

合作博弈和非合作博弈的区别在于相互发生作用的当事人之间有没有一个具有约束力的协议，如果有，就是合作博弈，如果没有，就是非合作博弈。

从行为的时间序列性，博弈论进一步分为静态博弈、动态博弈两类：

静态博弈是指在博弈中，参与人同时选择或虽非同时选择但后行动者并不知道先行动者采取了什么具体行动；

动态博弈是指在博弈中，参与人的行动有先后顺序，且后行动者能够观察到先行动者所选择的行动。

通俗的理解：

"囚徒困境"就是同时决策的，属于静态博弈；而棋牌类游戏等决策或行动有先后次序的，属于动态博弈

按照参与人对其他参与人的了解程度分为完全信息博弈和不完全信息博弈。

完全信息博弈是指在博弈过程中，每一位参与人对其他参与人的特征、策略空间及收益函数有准确的信息。

不完全信息博弈是指如果参与人对其他参与人的特征、策略空间及收益函数信息了解的不够准确、或者不是对所有参与人的特征、策略空间及收益函数都有准确的信息，在这种情况下进行的博弈就是不完全信息博弈。

目前经济学家们现在所谈的博弈论一般是指非合作博弈，由于合作博弈论比非合作博弈论复杂，在理论上的成熟度远远不如非合作博弈论。

非合作博弈又分为：

完全信息静态博弈，完全信息动态博弈，不完全信息静态博弈，不完全信息动态博弈。

与上述四种博弈相对应的均衡概念为：

纳什均衡（Nashequilibrium），子博弈精炼纳什均衡（subgameperfectNashequilibrium），贝叶斯纳什均衡（BayesianNashequilibrium），精炼贝叶斯纳什均衡（perfectBayesianNashequilibrium）。

博弈论还有很多分类，比如：

以博弈进行的次数或者持续长短可以分为有限博弈和无限博弈；以表现形式也可以分为一般型（战略型）或者展开型，等等。

五．博弈论的意义

博弈论的研究方法和其他许多利用数学工具研究社会经济现象的学科一样，都是从复杂的现象中抽象出基本的元素，对这些元素构成的数学模型进行分析，而后逐步引入对其形势产影响的其他因素，从而分析其结果。

基于不同抽象水平，形成三种博弈表述方式，标准型、扩展型和特征函数型，利用这三种表述形式,可以研究形形色色的问题。

因此,它被称为“社会科学的数学”从理论上讲，博弈论是研究理性的行动者相互作用的形式理论，而实际上正深入到经济学、政治学、社会学等等，被各门社会科学所应用。

博弈论是指某个个人或是组织，面对一定的环境条件，在一定的规则约束下，依靠所掌握的信息，从各自选择的行为或是策略进行选择并加以实施，并从各自取得相应结果或收益的过程，在经济学上博弈论是个非常重要的理论概念。

什么是博弈论？

古语有云，世事如棋。

生活中每个人如同棋手，其每一个行为如同在一张看不见的棋盘上布一个子，精明慎重的棋手们相互揣摩、相互牵制，人人争赢，下出诸多精彩纷呈、变化多端的棋局。

博弈论是研究棋手们“出棋”着数中理性化、逻辑化的部分，并将其系统化为一门科学。

换句话说，就是研究个体如何在错综复杂的相互影响中得出最合理的策略。

事实上，博弈论正是衍生于古老的游戏或曰博弈如象棋、扑克等。

数学家们将具体的问题抽象化，通过建立自完备的逻辑框架、体系研究其规律及变化。

这可不是件容易的事情，以最简单的二人对弈为例，稍想一下便知此中大有玄妙：

若假设双方都精确地记得自己和对手的每一步棋且都是最“理性”的棋手，甲出子的时候，为了赢棋，得仔细考虑乙的想法，而乙出子时也得考虑甲的想法，所以甲还得想到乙在想他的想法，乙当然也知道甲想到了他在想甲的想法…

面对如许重重迷雾，博弈论怎样着手分析解决问题，怎样对作为现实归纳的抽象数学问题求出最优解、从而为在理论上指导实践提供可能性呢？

现代博弈理论由匈牙利大数学家冯·诺伊曼于20世纪20年代开始创立，1944年他与经济学家奥斯卡·摩根斯特恩合作出版的巨著《博弈论与经济行为》，标志着现代系统博弈理论的初步形成。

对于非合作、纯竞争型博弈，诺伊曼所解决的只有二人零和博弈--好比两个人下棋、或是打乒乓球，一个人赢一着则另一个人必输一着，净获利为零。

在这里抽象化后的博弈问题是，已知参与者集合（两方） ，策略集合（所有棋着） ，和盈利集合（赢子输子） ，能否且如何找到一个理论上的“解”或“平衡”，也就是对参与双方来说都最“合理”、最优的具体策略？

怎样才是“合理”？

应用传统决定论中的“最小最大”准则，即博弈的每一方都假设对方的所有功略的根本目的是使自己最大程度地失利，并据此最优化自己的对策，诺伊曼从数学上证明，通过一定的线性运算，对于每一个二人零和博弈，都能够找到一个“最小最大解”。

通过一定的线性运算，竞争双方以概率分布的形式随机使用某套最优策略中的各个步骤，就可以最终达到彼此盈利最大且相当。

当然，其隐含的意义在于，这套最优策略并不依赖于对手在博弈中的操作。

用通俗的话说，这个著名的最小最大定理所体现的基本“理性”思想是“抱最好的希望，做最坏的打算”。

游戏一：

成绩博弈

请仔细阅读以下条款：

在不被你同桌看到的情况下，在方框中填写字母α或者字母β，大家必须把这看成成绩的赌注。

老师会把你们分成两两一组，你们不知道会和谁分在一起，按如下方法给出你们的成绩（纯属娱乐，别当真），如果你选α而对手选β，你得A对手得C，如果你们都选α，都得B-，你选β对手选α，你得C而对手得A，都选β，都得B+。

请各位作出自己的选择。

成绩游戏

对αβ 

B-，B-

A，C

C，A

B+，B+

我

我

α

β

下面考虑我们的选择，举手表决：

多少人选α？

多少人选β？

问：

选择α的原因？

（这里只有不充分的理由，没有错误的答案）

选α：

分数在A→B  （压缩范围）

选β：

分数在B+→C

如果在意别人的成绩，就涉及到道德因素，但这不是真正意义上的博弈。

目前我们涉及到行为、策略、参与人。

但是我们忽略了博弈的一个重要因素，即动机，或者说是收益，也就是参与人关心什么。

只有明白人们关心什么，知道人们的收益是什么，才能真正去分析这个博弈。

当然博弈论，我亦或其他人无法说出你的收益应该是什么样的，也不能告诉你，你的人人生目标应该是什么？

这不是博弈论能解决的。

然而你一旦知道个人收益，一旦你确定了目标，博弈论能帮你达成目标。

这里有两种不同的收益，一种是只在意自己的收益，另一种是在意他人的收益，下面我们分别用不同的收益分析这个博弈，我们先写出这个游戏收益的各种可能性，不过这里用数字表示。

饭桶恶魔与饭桶恶魔的博弈

           对手

         α     β   

我

α

β

0，0

3，-1

-1，3

1，1

（引入数字的原因：

首先这些数字代表了效用或者功利，代表了人们想要最大化的东西和想要达成的目标。

和前面结果矩阵相比，更直观显示收益。

比如（A,C）这个单元格，代表了3个单位效用，而（B-,B-）代表0单位效用，以此类推···

表示有这样动机的人，只在乎自己的成绩，他们觉得A比B+好，B+比B-好，我希望我的成绩尽量好，要不我的努力就白费了。

他们只关心自己的成绩，适合称呼他们的术语，在英格兰叫“饭桶恶魔”。

可能他们一点不讲道理。

再者，不管是不是真的就是自己的收益，假设这就是自己的收益，应该怎么做？

如果只关心自己的收益，不管别人怎么选，选择α总能得到最优的成绩，这个理由更具说服力。

（0>-1，3>1）

定义一：

如果选α得到的结果严格优于β，那么α相对于β是个严格优势策略。

此定义的重点在于，无论别人怎么选，选α的结果优于β。

第一个结论：

不要选择严格劣势策略。

（为什么?

选优势策略，在每次博弈时都可以得到更好的收益，但道理不明显，不值得讨论）

（换个想法：

都选α得0个效用，都选β得1个效用，因此选β，1比0大。

有问题吗？

和我们的结果背道而驰。

但是结论没有错，那错在哪里？

）

（需要达成一致，如与对方谈判）

但我们的前提是不了解对方的选择，我们不了解他人的选择，即使我选了β，也不影响他人的推理和选择，这就是前面推理的漏洞之一。

其二，就算我知道他人的推理和选择，知道他人选β，我也必然选α，第一它建立在超现实基础上，即我的推理影响到他人；就算上条可行我也选α。

结果就是我们都选α，都得B-，收益是0单位效用，不是1单位效用。

我们都不去选则劣势策略β，收益为次优的收益。

第二个结论：

理性选择导致次优结果。

即人们都不选择劣势策略。

而选择优势策略，使总结果变得更糟糕，就是经济学里说得“不充分的结果”——帕累托效率。

这个结论可以用来分析囚徒困境（后面会详细分析）、寝室卫生（指望别人打扫）、离婚纠纷、武装冲突、价格战等等。

现实中是如何化解囚徒困境的：

1、  串通——无法实现；

2、  签合同——无效合同（违法）

3、  书面协议（同上，协议是有违约责任的）

4、  沟通——缺乏强制力。

暴力维系协议在一些地方扩展壮大，比如前苏联新成立地区，或者非洲。

书面协议不受保护。

国家的 壮大是因为法律强制力的补充，它维系所有合同，不管是不是合法的。

所以在其他收益设定的情况下，虽然没立下合同，还是会回来履行这个承诺的。

纳入讲道德的因素，成绩博弈参与人的收益不同又会怎样呢？

愤怒天使与愤怒天使的博弈

对手

我

α

β

         α     β   

0，0

-1，-3

-3，-1

1，1

对手叫“饭桶恶魔”，我叫“愤怒天使”。

如果我选α，对手选β，我得A，对手得C，即（A,C）→（3，-1）

但是我因为良心不安，所以我的分数3减去我的负罪感的负效用后，我只得-1.

（A,C）→3-4=-1

反之，我选β，对手选α，对手害的我只得C，所以愤怒，道义上的谴责2减去3单位效用。

（C,A） →-1-2=-3

根据这次博弈的收益，我们讲如何选择?

（回1：

这里应该选α，选α的风险更小，这里没有次优策略，在坏形势下最好的选择是减少损失。

回2：

选β的理由：

选α最多只能得0，选β最多得1，前面看到的是最坏的情况，这里看到的是最好的情况。

）

实际上这里没有劣势策略，对方选α，我选α，对方选β，我选β，也没有优势策略。

我们只是改变了参与人的收益，博弈的结构、结果都一样，但是人们在乎的东西不一样，我们得到的结果也不一样，在第一个博弈里，显然应该选α，但这里怎么选就不确定了，这种博弈叫“协和谬误”。

所以要明白收益的重要性，改变了收益，改变了目的，就改变了博弈，改变了结果。

结论之三：

收益很重要。

有一句话说：

“汝欲求之，必先知之。

”从逻辑上讲，可能行不通，很可能你想要的东西，在你不经意中透露出来。

但从策略上讲，这是个不错的想法。

它能帮助我们分析博弈之前，先弄清我们的目的是什么，所以说收益很重要。

Youcan’tgetwhatyouwant,tillyouknowwhatyouwant.

到目前为止，对这个博弈的分析，还停留在局中人都是饭桶恶魔或者都是愤怒天使的阶段。

现在来让这个博弈变得更有挑战性，来一个混搭如何？

比如把自己想象成饭桶恶魔，对手想象成愤怒天使，这时该如何选择，不能弃权，必须选择。

这个博弈变成饭桶恶魔于愤怒天使的博弈，要把收益混合在一起，只需把前面的矩阵结合在一起，我的收益就是饭桶恶魔的收益，收益和之前矩阵是一样的，对手的收益就是愤怒天使的收益。

饭桶恶魔与愤怒天使的博弈

对手

         α     β   

我

α

β

0，0

3，-3

-1，-1

1，1

第一个收益是饭桶恶魔的收益，第二个收益是愤怒天使的收益，，你如何选择？

基本选α，α是正确答案。

为什么？

因为这就是优势策略，这和之前的博弈没什么变化，别人的收益改变了对我的收益没有影响，α是优势策略，β是劣势策略，在这里α依然优于β，无论对手如何选，我都选α。

（回忆第一个结论）

再换一下，假设自己是愤怒天使，对手是饭桶恶魔，这种情况下的矩阵为：

愤怒天使与饭桶恶魔的博弈

对手

         α     β   

我

α

β

0，0

-1，-1

-3，3

1，1

你是愤怒天使，你的收益还是这些，这次该如何选择？

（基本选α）

但α并不优于β。

这次没有优势策略，对手选α，我选α，对手选β，我选β，然而90%以上的人选α。

选α是正确答案。

为什么？

回：

α是对手的优势策略，我们没有优势策略，对我说选α并不优于选β，但对对手来说，选α优于β。

所以考虑到对手，站在对手的立场上看，他有优势策略α。

他会选α，根据此情况，我也必须选α。

到目前为止，可以看到四种组合：

1、永远不要选择劣势策略（饭桶恶魔+饭桶恶魔）

2、学会换位思考（愤怒天使+饭桶恶魔）

3、奴欲得之，必先知之（愤怒天使+愤怒天使）

4、理性选择导致次优结果（愤怒天使+愤怒天使）

所以，这里有个重要的结论，即分析博弈最重要的方法或者说策略分析的重要内容或者核心思想是要学会换位思考。

结论之四：

学会换位思考。

即站在别人的立场上去分析他们会怎么做。

这是这门课程中比较难的结论，即站在自己的角度分析，弄清自己的收益很容易，但是在现实生活中，要走出自己的笑圈子，去发现这个世界上还有其他人，就要学会换位思考，去分析他们的收益是什么，他们会怎么做，并因此做出回应是很难的。

现实中，我并不知道对手的收益到底是什么样的，这会使事情变得更加复杂，弄清自己的收益总是要比弄清别人的收益要容易。

我不太清楚到底我是在和饭桶恶魔还是愤怒天使博弈，因此在做类似的博弈之前，我们需要弄清楚收益是什么，今后将会更深入的学习。

实际上，“囚徒困境“这个博弈，比如选择α和β，或者类似的博弈在现实中进行过很多次实验，现实中人们发现大概70%的人选α，30%的人选β，即1/3左右的人会选劣势策略，WHY？

回:

1、他们可能是好人，可能是高尚的人；

   2、可能会再次博弈，每次都选β的人长期收益会更大。

（没有理解实验，认为是多次重复博弈，而不是单次博弈）；

   3、比较愚蠢。

其他···

结论之五：

大多数人都很自私。

（修改过）

第二个游戏：

选数字

从1到100之間选择一个号码，填到下面的方框內，不要讓你同桌看到。

我們会计算全班的平均數，誰选的数字最接近平均数的三分之二，誰就是贏家。

所选数字最接近2/3倍平均数字人是贏家，贏家的奖金是，10元人民币减去所选数字和平均数字三分之二之差的百分数

博弈与决策讲义二：

学会换位思考——囚徒困境分析博弈（结合耶鲁课程）

（2011-08-0911:

50:

34）

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博弈

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汉拔尼将军

育儿

 一、回顾上节课的内容：

α与β的选择

成绩博弈游戏有不同的结果，但仅用字母表示的矩阵不是一个博弈，因为我们必须知道收益才能博弈，，后来分析了收益，才是博弈，用专业术语讲，这个博弈属于标准式博弈。

在这里我们假设这些收益是那些只关注自己成绩的那些人的收益，很多人都是这样的。

此博弈中α严格优于β（第一个博弈），即无论对手选什么，选α都比选β得到更好的收益。

（第一个结论）

之后，我们通过更复杂的收益以及更多复杂的博弈，得出另一个结论：

站在别人的立场去思考。

实际上，我们从中学到的是：

不仅你自己收益很重要，别人的收益同样重要。

你要尽量知道别人会怎么做，然后做出恰当的回应，今天将继续讨论这两个结论。

二、博弈论分