随机过程题库1.docx
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随机过程题库1
随机过程综合练习题
一、填空题(每空3分)
第一章
1.X1,X2,Xn是独立同分布的随机变量,Xi的特征函数为g(t),则
X1X2Xn的特征函数是。
2.EE(XY)。
3.X的特征函数为g(t),YaXb,则Y的特征函数为。
4.条件期望E(XY)是的函数,(是or不是)随机变量。
5.X1,X2,Xn是独立同分布的随机变量,Xi的特征函数为gi(t),则
X1X2Xn的特征函数是。
6.n维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性。
第二章
7.宽平稳过程是指协方差函数只与有关。
8.在独立重复试验中,若每次试验时事件A发生的概率为p(0p1),以X(n)记进行到n次试验为止A发生的次数,则{X(n),n0,1,2,}是过程。
9.正交增量过程满足的条件是。
10.正交增量过程的协方差函数CX(s,t)。
第三章
11.{X(t),t≥0}为具有参数0的齐次泊松过程,其均值函数为;
方差函数为。
12.设到达某路口的绿、黑、灰色的汽车的到达率分别为1,2,3且均为泊松过程,它
们相互独立,若把这些汽车合并成单个输出过程(假定无长度、无延时),相邻绿色汽车之间
的不同到达时间间隔的概率密度是,汽车之间的不同到达时刻间隔的概率密度是。
13.{X(t),t≥0}为具有参数0的齐次泊松过程,
n0,1,
PX(ts)X(s)n
14.设{X(t),t≥0}是具有参数0的泊松过程,泊松过程第n次到达时间Wn的数学期望
15.在保险的索赔模型中,设索赔要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达保险公司.若
每次赔付金额是均值为10000元的正态分布,求一年中保险公司的平均赔付金额。
16.到达某汽车总站的客车数是一泊松过程,每辆客车内乘客数是一随机变量.设各客车内乘客数独立同分布,且各辆车乘客数与车辆数N(t)相互独立,则在[0,t]内到达汽车总站的
乘客总数是(复合or非齐次)泊松过程.
17.设顾客以每分钟2人的速率到达,顾客流为泊松流,求在2min内到达的顾客不超过3人的概率是.
第四章
18.无限制随机游动各状态的周期是。
19.非周期正常返状态称为。
20.设有独立重复试验序列{Xn,n1}。
以Xn1记第n次试验时事件A发生,且
P{Xn1}
p,以Xn
0记第n次试验时事件A不发生,且P{Xn0}1
p,若有
n
YnXk,n1,则{Yn,n1}是链。
k1
答案
一、填空题
n
1.gn(t);
2.EX;3.eibtg(at)
n
4.Y;是5.gi(t);6.等价
i1
13.
(t)ne
n!
14.n
15.24000016.复合;
17.
714
e
3
7.时间差;8.独立增量过程;
9.EX(t2)X(t1)X(t4)
X(t3)
0
2
10.X2(min{s,t})
11.t;t;12.f(t)
1e1tt
0
f(t)(12
3)e(123)tt0
0t
0
0t0
二、
判断题(
每题
2分)
第一
章
1.
gi(t)(i
1,2,
n
n)是特征函数,gi(t)不是特征函数。
(
i1
)
18.2;
19.遍历状态;
20.齐次马尔科夫链;
2.n维正态分布中各分量的相互独立性和不相关性等价。
()
3.任意随机变量均存在特征函数。
()
n
4.gi(t)(i1,2,n)是特征函数,gi(t)是特征函数。
()
i1
5.设X1,X2,X3,X4是零均值的四维高斯分布随机变量,则有
E(X1X2X3X4)E(X1X2)E(X3X4)+E(X1X3)E(X2X4)+E(X1X4)E(X2X3)()
第二章
6.严平稳过程二阶矩不一定存在,因而不一定是宽平稳过程。
()
7.独立增量过程是马尔科夫过程。
()
8.维纳过程是平稳独立增量过程。
()
第三章
9.非齐次泊松过程是平稳独立增量过程。
()
第四章
10.有限状态空间不可约马氏链的状态均常返。
()
11.有限齐次马尔科夫链的所有非常返状态集不可能是闭集。
()
12.有限马尔科夫链,若有状态k使limpi(kn)0,则状态k即为正常返的。
()
n
13.设iS,若存在正整数n,使得pi(in)0,pi(in1)0,则i非周期。
()14.有限状态空间马氏链必存在常返状态。
()
15.i是正常返周期的充要条件是limpi(in)不存在。
()
n
16.平稳分布唯一存在的充要条件是:
只有一个基本正常返闭集。
()
17.有限状态空间马氏链不一定存在常返状态。
()
18.i是正常返周期的充要条件是limpi(in)存在。
()
19.若ij,则有didj()
20.不可约马氏链或者全为常返态,或者全为非常返态.()
答案
、判断题
1.×
2.√
3.√4.
√5.√
6.√
7.√
8.√9.
×
10.√
11.√
12.√
13.√
14.√15.√
16.√
17.×
18.×
19.√
20.√
三、大题
第一章
1.(10分)
—(易)设
X~B(n,p)
,求X的特征函数,并利用其求
—(中)利用重复抛掷硬币的试验定义一个随机过程,
2.(10分)
EX。
X(t)
cost,出现正面
2t,出现反面
出现正面和反面的概率相等,求
X(t)的一维分布函数F(x,1/2)和F(x,1),X(t)的二维
3.(10分)—(易)设有随机过程
分布函数F(x1,x2;1/2,1)。
X(t)ABt,t0,其中A与B是相互独立的随机
变量,均服从标准正态分布,求X(t)的一维和二维分布。
第二章
4.(10分)—(易)设随机过程X(t)=Vt+b,t∈(0,+∞),b为常数,V服从正态分布N(0,1)的随机变量,求X(t)的均值函数和相关函数。
5.(10分)—(易)已知随机过程X(t)的均值函数mx(t)和协方差函数Bx(t1,t2),g(t)为普通函数,令Y(t)=X(t)+g(t),求随机过程Y(t)的均值函数和协方差函数。
6.(10分)—(中)设{X(t),tT}是实正交增量过程,T[0,),X(0)0,是一服
从标准正态分布的随机变量,若对任一t0,X(t)都与相互独立,求
Y(t)X(t),t[0,)的协方差函数。
7.(10分)—(中)设{Z(t)XYt,
},若已知二维随机变量(X,Y)的协
方差矩阵为
,求Z(t)的协方差函数。
8.(10分)—(难)设有随机过程{X(t),tT}和常数a,试以X(t)的相关函数表示随
机过程Y(t)X(ta)X(t),tT的相关函数。
第三章
9.(10分)—(易)某商店每日8时开始营业,从8时到11时平均顾客到达率线性增加.在8时顾客平均到达率为5人/时,11时到达率达到最高峰20人/时,从11时到13时,平均顾客到达率维持不变,为20人/时,从13时到17时,顾客到达率线性下降,到17时顾客到达率为12人/时。
假定在不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独立的,问在8:
30—9:
30间无顾客到达商店的概率是多少?
在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多少?
10.(15分)—(难)设到达某商店的顾客组成强度为的泊松过程,每个顾客购买商品的
概率为p,且与其它顾客是否购买商品无关,求(0,t)内无人购买商品的概率。
11.(15分)—(难)设X1(t)和X2(t)是分别具有参数1和2的相互独立的泊松过程,证明:
Y(t)是具有参数12的泊松过程。
12.(10分)—(中)设移民到某地区定居的户数是一泊松过程,平均每周有2户定居.即
2。
如果每户的人口数是随机变量,一户四人的概率为1/6,一户三人的概率为1/3,一
户两人的概率为1/3,一户一人的概率为1/6,并且每户的人口数是相互独立的,求在五周内移民到该地区人口的数学期望与方差。
k
13.(10分)—(难)在时间t内向电话总机呼叫k次的概率为pt(k)e,k0,1,2,,
tk!
其中0为常数.如果任意两相邻的时间间隔内的呼叫次数是相互独立的,求在时间2t内呼叫n次的概率P2t(n)
14.(10分)—(易)设顾客到某商场的过程是泊松过程,巳知平均每小时有30人到达,
求下列事件的概率:
两个顾客相继到达的时间间隔超过2min
15.(15分)—(中)设进入中国上空流星的个数是一泊松过程,平均每年为10000个.每
个流星能以陨石落于地面的概率为0.0001,求一个月内落于中国地面陨石数W的EW、varW和P{W≥2}.
1min内没有车辆通过的概
16.(10分)—(易)通过某十字路口的车流是一泊松过程.设率为0.2,求2min内有多于一辆车通过的概率。
17.(10分)—(易)设顾客到某商场的过程是泊松过程,巳知平均每小时有30人到达,
求下列事件的概率:
两个顾客相继到达的时间间隔短于4min
18.(15分)—(中)某刊物邮购部的顾客数是平均速率为6的泊松过程,订阅1年、2年
或3年的概率分别为1/2、l/3和1/6,且相互独立.设订一年时,可得1元手续费;订
两年时,可得2元手续费;订三年时,可得3元手续费.以X(t)记在[0,t]内得到的总手续费,求EX(t)与varX(t)
19.(10分)—(易)设顾客到达商场的速率为2个/min,求
(1)在5min内到达顾客数
的平均值;
(2)在5min内到达顾客数的方差;(3)在5min内至少有一个顾客到达的概率.
20.(10分)—(中)设某设备的使用期限为10年,在前5年内平均2.5年需要维修一次,
后5年平均2年需维修一次,求在使用期限内只维修过1次的概率.
21.(15分)—(难)设X(t)和Y(t)(t≥0)是强度分别为X和Y的泊松过程,证明:
在X(t)的任意两个相邻事件之间的时间间隔内,Y(t)恰好有k个事件发生的概率为
k
XY
p。
XYXY
第四章
22.(10分)—(中)已知随机游动的转移概率矩阵为
0.50.50
P00.50.5
0.500.5
求三步转移概率矩阵P(3)及当初始分布为
P{X01}P{X02}0,P{X03}1
时,经三步转移后处于状态3的概率。
23.(15分)—(难)将2个红球4个白球任意地分别放入甲、乙两个盒子中,每个盒子放
3个,现从每个盒子中各任取一球,交换后放回盒中(甲盒内取出的球放入乙盒中,乙盒内
取出的球放入甲盒中),以X(n)表示经过n次交换后甲盒中红球数,则{X(n),n≥0}为齐次马尔可夫链,求
(1)一步转移概率矩阵;
(2)证明:
{X(n),n≥0}是遍历链;(3)求lnimPij(n),j0,1,2。
n
24.(10分)—(中)已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下:
0.8
0.1
0.1
PT(0)(0.4,0.2,0.4)
P0.1
0.7
0.2
0.2
0.2
0.6
求下一、二个月的销售状态分布。
25.(15分)—
(难)设马尔可夫链的状态空间
I={1,
2,⋯,
7},转移概率矩阵为
0.4
0.2
0.1
0
0.1
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
0
0
0.6
0.4
0
0
0
P0
0
0.4
0
0.6
0
0
0
0
0.2
0.5
0.3
0
0
0
0
0
0
0
0.3
0.7
0
0
0
0
0
0.8
0.2
求状态的分类及各常返闭集的平稳分布。
26.(15分)—(难)设河流每天的BOD(生物耗氧量)浓度为齐次马尔可夫链,状态空间I={1,2,3,4}是按BOD浓度为极低,低、中、高分别表示的,其一步转移概率矩阵(以一天为单
位)为
若BOD浓度为高,则称河流处于污染状态。
(3)河流再次达到污染的平均时间4。
(1)证明该链是遍历链;
(2)求该链的平稳分布;
0.5
0.4
0.1
0
0.2
0.5
0.2
0.1
0.1
0.2
0.6
0.1
0
0.2
0.4
0.4
P
27.(10分)—
(易)设马尔可夫链的状态空间
I={0,
1,2,3},转移概率矩阵为
1/2
1/2
0
0
1/2
1/2
0
0
P
1/4
1/4
1/4
1/4
0
0
0
1
求状态空间的分解。
28.(15分)—
(难)
设马尔可夫链的状态空间为
I={1
,2,3,4}.转移概率矩阵为
1
0
0
0
0
1
0
0
P
1/3
2/3
0
0
1/4
1/4
0
1/2
讨论limpi(1n)n
29.(10分)—(易)设马尔可夫链的转移概率矩阵为
1/21/20P1/201/201/21/2
求其平稳分布。
30.(15分)—(难)甲乙两人进行一种比赛,设每局比赛甲胜的概率是p,乙胜的概率是
q,和局的概率为r,且p+q+r=1.设每局比赛胜者记1分,负者记一1分.和局记零分。
当有一人获得2分时比赛结束.以Xn表示比赛至n局时甲获得的分数,则{Xn,n1}是齐次马尔可夫链.
(1)写出状态空间I;
(2)求出二步转移概率矩阵;
(3)求甲已获1分时,再赛两局可以结束比赛的概率.
31.(10分)—(中)(天气预报问题)设明天是否有雨仅与今天的天气有关,而与过去的天气无关.又设今天下雨而明天也下雨的概率为,而今天无雨明天有雨的概率为,规
定有雨天气为状态0,无雨天气为状态l。
因此问题是两个状态的马尔可夫链.设
0.7,0.4,求今天有雨且第四天仍有雨的概率.
32.(10分)—(中)设{Xn,n1}是一个马尔可夫链,其状态空间I={a,b,c},转移概
率矩阵为
求
(1)P{X1b,X2c,X3
1/2
1/4
1/4
P
2/3
0
1/3
3/5
2/5
0
a,X4c,X5
a,X6
c,X7
b|X0c}
2)P{Xn2c|Xnb}
33.(15分)—(难)设马尔可夫链{Xn,n
0}的状态空间
I={1,2,⋯,6},转移概率
1000
0001
001001/300
0000
0001/2
矩阵为
00
00
00
P
1/31/3
10
01/2
试分解此马尔可夫链并求出各状态的周期。
答案
三、大题
0
1
1.解:
引入随机变量Xi
i1,2
q
p
itXi
it0
it1it
i(t)EeitXi
eq
eppe
n⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1分)
q⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3分)
XXi~B(n,p)i1
4分)
n
it(Xi)
(t)EeitXEei1
EeitXi
it
(pe
n
q)
6分)
i1
8分)
EXi(0)i(peitq)nt0
itn1it
in(peq)peit0np
(0)iEX
0
11F(;x)
x
0
其分布函数为
0
x1
22
1
x
1
同理,当t=1
时X
(1)的分布列为
PX
(1)
0
x
1
其分布函数为
1
F(1;x)12
1
1
x2
x
2
1)当t=1/2时,X(1/2)的分布列为PX
(1)02
2)由于在不同时刻投币是相互独立的,故在
0
x10orx2
1
1
F(,1;x1,x2)
1/4
0
x11and1
x22
1/2
0
x11andx2
2
故联合分布函数为
10分)
10分)
2.解:
依题意知硬币出现正反面的概率均为1/2
1
PX(12)1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3分)
1
1PX
(1)2
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(5分)
1
PX()
2
0,
X
(1)
1
1
PX()
2
0,
X
(1)2
1
PX()
2
1,
X
(1)
1
1PX()
2
1,
1
X
(1)2
4
t=1/2,t=1时的联合分布列为
orx11and1x22
1x11andx22
3.解:
对于任意固定的
t∈T,X(t)是正态随机变量,故
E[X(t)]E(A)E(B)t0
D[X(t)]D(A)D(B)t21t2
所以X(t)服从正态分布N(0,1t2)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3分)
其次任意固定的t1,t2T,X(t1)ABt1,X(t2)ABt2
则依n维正态随机向量的性质,X(t1),X(t2)服从二维正态分布,且
8分)
E[X(t1)]E[X(t2)]0
D[X(t1)]1t12D[X(t2)]1t22
所以二维分布是数学期望向量为(0,0),协方差为1t12
1t1t2
4.解:
X(t)Vt
b,V
~N(0,1),
故X(t)服从正态分布,
EX(t)
EVt
btEV
bb
DX(t)
DVt
2
bt2DV
t2
1
1
均值函数为
Cov(X(t1),X(t2))E[X(t1)X(t2)]1t1t2
m(t)EX(t)b
t1t22的二维正态分布。
t2
10分)
4分)
相关函数为
R(t1,t2)EX(t1)X(t1)
EVt1
bVt2b
EV2t1t2V(t1t2)bb2t1t2b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯(10分)5.解:
mY(t)EY(t)E[X(t)g(t)]mX(t)g(t)
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4分)BY(t1,t2)RY(t1,t2)mY(t1)mY(t2)
EY(t1)Y(t2)mY(t1)mY(t2)
E[X(t1)g(t1)][X(t2)g(t2)][mX(t1)g(t1)][mX(t2)g(t2)]RX(t1,t2)mX(t1)mX(t2)BX(t1,t2)
10分)
6.解:
因为{X(t),tT}是实正交增量过程,故E[X(t)]0
服从标准正态分布,所以E0,D1
2分)
E[Y(t)]E[X(t)]E0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(4分)又因为t0,X(t)都与相互独立
Cov[Y(s),Y(t)]E[Y(s)Y(t)]E{[X(s)][X(t)]}⋯⋯⋯⋯⋯⋯(6分)2
E[X(s)X(t)]E[X(s)]E[X(t)]E2
Cov[X(s),X(t)]1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(8分)
X2(min{s,t})1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(10分)
7.解:
利用数学期望的性质可得,
CZ(s,t)E(XYs)(XYs)(XYt)(XYt)⋯⋯⋯⋯⋯(2分)
E(X
X)(YsY
s)(X
X)(YtYt)
E(X
X)2E(X
X)t(Y
Y)
E(X
X)s(Y
Y)Est(YY)2⋯⋯
⋯⋯(8分)
DX(s
t)Cov(X,Y)
stDY
12(st)st22⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(10分)
8.解:
RY(t1,t2)E{[X(t1a)X(t1)][X(t2a)X(t2)]}⋯⋯⋯⋯⋯(2分)
E[X(t1a)X(t2a)]E[X(t1a)X(t2)]E[X(t1)X(t2a)]E[X(t1)X(t2)]
RX(t1a,t2a)RX(t1a,t2)RX(t1,t2a)RX(t1,t2)⋯⋯⋯⋯(10分)
9.解:
根据题意知顾客的到达率为
55t
0
t3
(t)
20
3
t5
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(
3分)
20
2(t
5)5
t9
mX(1.5)mX
(0.5)
1.5
(5
0.5
5t)dt10
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(
6分)
P{X(1.5)X
(0.5)
0}e
10
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(
10分)
10.解:
设{X(t),t
0}表示到达商店的顾客数,
i表示第i个顾客购物与否,
即
1第i个顾客购物
0第i个顾客不购物
则由题意知