复数的四则运算解读.docx

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复数的四则运算解读

复数的四则运算

一、学法建议：

 1、在学习中，要把概念和运算融为一体，切实掌握好。

 2、复数加、减法的几何意义是难点，它们与平面向量的加、减法运算法则完全相同，用类比方法可

    对照学习，温故而知新。

 3、要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面：

（1）利用几何意义可以把几何图形的变

    换转化成复数运算去处理

（2）反过来，对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数做为工

    具运用于几何之中。

 4、要熟练掌握复数乘法，除法的运算法则，特别是除法法则，更为重要，是考试的重点。

 5、在化简运算中,如能合理的运用i和的性质，常能出奇制胜，事半功倍，所以在学习中注意积累

    并灵活运用。

 6、性质：

zz=│z│2=│z│2是复数运算与实数运算互相转化的重要依据，也是把复数看做整体进行

    运算的主要依据，在解题中加以认识并逐渐领会。

二、例题分析：

                                   第一阶段

[例1]复数z满足│z+i│+│z-i│=2求│z+1+i│的最值。

 思路分析：

 利用复数的几何意义对条件和所求结论分别给以几何解释，如能判断满足条件的z点在一条线段上，

 所求结论为线段上的点到点（-1,-1）的距离的最值.

 解答：

 │z+i│+│z-i│=2表示复数z的对应点Z与点A（0,-1）B（0,1）距离之和为2,而│AB│=2∴条件表示以A、

 B为端点的线段，而│z+1+i│=│z-（-1-i）│表示点Z到点C（-1,-1）的距离，因而，问题的几何意义是

 求线段AB上的点到C点距离的最大值与最小值，如图

 易见│z+1+i│max=│BC│=,

 │z+1+i│min=│AC│=1,

[例2]

 思路分析：

 题目涉及共轭复数、模以及复数的加、减运算，把Z表示成代数形式，依复数相等的充要条件求出Z

 的值。

 解答：

                         第二阶段

[例3]  

 思路分析：

 题目是用集合的语言表述的，由两点间距离公式d=│z1-z2│联想│z-2│≤2的几何意义，再结合条件

 AB=B来建立关于b的等式，这里需要对集合B作深入理解。

 解答：

 化简得│W-（b+i）│≤1

 ∴集合A、B在复平面内对应的点的集合是两个圆面，集合A表示以点（2,0）为圆心，半径为2的圆面，

 集合B表示以点（b,1）为圆心，半径为1的圆面.

 又A∩B=B即BA∴两圆内含

 即（b-2）2≤0，∴b=2

[例4]计算下列各式

 ①②   

 思路分析：

原式结构特点启发我们应用i的性质和的性质为突破口去简化计算.

 解答：

（1）

（2）

[例5]

 思路分析：

 确定实数a、b的值，需列出含a、b的两个方程，条件│z│=4易使用，对于正三角形这个条件的使用方

 法较多，本题转化为边长相等，即│z│=│z│=│z-z│

 解答:

 由│z│=4得a2+b2=4……①

 ∵复数0，z,z对应的点构成正三角形，

 ∴│z-z│=│z│

 把z=-2a-2bi代入简得│b│=1……②

 又∵Z点在第一象限∴a<0,b<0

                           第三阶段

[例6]

（1）求│z│的值及z的实部的取值范围

 （3）求-u2的最小值。

 思路分析：

（1）常规题目，设z=a+bi化简，找出实部、虚部可列出等量关系式，求解

（2）证明u为

 纯虚数，可按定义证明实部为零，虚部不为零，还可证u+u=0,（3）需求的最小值，由①②知

 与u2均为实数，所以可先建立的函数关系式，再设法求出最小值。

 解答：

[例7]

 思路分析：

 证法1:

∵│z1+z2│=│z1-z2│,∴│z1+z2│2=│z1-z2│2,

 展开化简得z1z2+z1+z2=0

 ∵z1≠0,z2≠0，两边同除以z2z2,

 证法2:

∵│z1+z2│=│z1-z2│,且z1、z2为非零复数,

 ∴以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形是矩形，

 ∴OZ1⊥OZ2,得z1=ki·z2（kR且k≠0）

三、练习题：

1、设f（z）=z,z1=3+4i,z2=-2-i,则f（z1-z2）是（ ）

 A、1-3i   B、-2+11i   C、-2+i    D、5-5i

2、A、B分别是复数z1、z2在复平面上对应的两点，O是原点，若│z1+z2│=│z1-z2│，则△AOB是（ ）

 A、等腰三角形 

 B、直角三角形  

 C、等边三角形

 D、等腰直角三形

3、若复数z满足│z│=│z+2+2i│,则│z-1+i│的最小值是（ ）

 A、4     B、   C、2        D、

4、若│z-3│+│z+3│=10且│z-5i│-│z+5i│=8，则Z等于（ ）

 A、4i     B、-4i       C、±4i       D、以上都不对

5、复数z1=3+i,z2=1-i,则z=z1·z2在复平面内的对应点位于（  ）

 A、第一象限   B、第二象限    C、第三象限  D、第四象限

6、若zC,且z·z+iz-iz≤0，则│z+1+i│的最大值为（ ）

 A、3    B、   C、   D、

7、

 A、0    B、1   C、│a│   D、

8、复数z满足（1+2i）·z=4+3i，那么z=_________

10、复数3+3i，-5i,-2+i对应点分别为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点对应的复数为________

11、己知f（z+i）=z+2z-2i，则f（i）=__________

12、解答题：

（1）

（2）

13、

四、参考答案：

 1—5  D B D B D

 6—7  C B

 8、2+i

 9、2m

 10、1+9i,5-3i,-5-7i

 11、-2i

 13、设z1=（1-3x）+2i,z2=3x+i则f（x）=│z1│+│z2│≥│z1+z2│

   即f（x）≥│（1-3x）+2i+3x+i│=│1+3i│=