高三最新 高三数学试题及高考分析五数列极.docx

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高三最新高三数学试题及高考分析五数列极

最新高三数学试题及高考分析五

内容：

数列、极限、数学归纳法

目标：

引导同学对所做旧题进行回顾反思，使对本章知识点、方法系统及易错点有一个更清晰的线索，框架，培养学生面对陌生情景的问题时，能从运用知识点，方法体系的角度去思考分析问题的解题策略。

难点：

策略意识的归纳提取及运用

范例：

例1．

（1）在等差数列{an}中，若a10=0,则有等式a1+a2+……+an=a1+a2+……+a19-n（n<19,nN）成立，类比上述性质，相应地：

在等比数列{bn}中，若b9=1,则有等式________成立。

（2）公差不为0的等差数列中，若第k,n,p项成等比数列，则其公比为（）。

A、B、C、D、

（3）等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,若，则等于（）。

A、1B、C、D、

解析：

以上三题都考查有关等差、等比数列概念，此处知识要点是定义、公式的理解运用。

问题主要是“知三求二”类的方程计算，方法有①“基本量法”（即把问题化归到a1,d或q上去，简单可行，但通常较为麻烦）；②“表示技巧法”（在等差、等比数列中任两项都可互相表示；中项；若有k,l,m,nN且k+l=m+n...{an}为AP则ak+al=am+an,{an}为GP，则ak·al=am·an）；③还有少数问题可联系函数去解决。

（1）a1+a2+……+an=a1+a2+……+a19-n,{an}等差,a10=0,此处用了：

2a10=a9+a11=a8+a12=……=an+a20-n.而a20-n的前一项为a19-n，故上式成立，若{bn}等比数列，b9=1,对于n<17,则有：

，

b1,b2,b3……,bn中，b18-n的前一项为b17-n,

b1·b2·b3……bn=b1·b2·b3……b17-n（n<17,nN）.

（2）若ak,an,ap成等比，设公比为q，则,

由{an}等差，设公差为d（d≠0）则ak=an+（k-n）d,

ap=an+（p-n）d,,

∴

∴,

∴,选B。

（3）{an}为等差数列，故，而a1+a2n-1=2an,

故一般地，对等差数列有

∴。

评述：

（1）题若{bn}为正项数列,可令an=lgbn，由已知推出。

（2）,（3）题亦可用基本量法来作，但显然运算量会大上许多，此三题均选自高考原题和模拟题，要注意此类问题方法，技巧的归纳运用。

例2．数列{an}的前n项和是Sn,数列{bn}满足b1=a1,bn+1=an+1-an,an+Sn=n.

（1）求证：

数列{bn}是等比数列，并写出其通项公式；

（2）求an.

解析：

对一般数列的问题，通常的问题有：

递推关系辨析、使用问题；前n项和Sn使用和计算问题。

通常的解题方法有：

①赋n=1,2,3,4归纳猜想证明（运用数学归纳法）；（此法，简单，可操作性强，历来被视为看家的方法）；②利用所给式子的结构，将n值赋成n-1,n+1或连续赋n,n-1,n-2,……3,2,1，运用方程或叠加叠乘技巧来作，（此法富于技巧但书写运算量较少，常见类型有：

等差（或等比）定义型；叠加叠乘型：

（n+1）an+1-n·an=k，nan+1-（n+1）an=0;变换可化归等差，等比型：

an=k·an-1+p,an-an-1=kan·an-1;）。

对于Sn与an关系型的问题，通常要用易错点是只看Sn-Sn-1而忽略n=1。

解：

（1）由an+Sn=n,可得：

an+1+Sn+1=n+1,

两式相减则有：

an+1-an+（Sn+1-Sn）=1，即2an+1-an=1

上式可变形为：

2（an+1-1）=an-1.

又由a1+S1=1,可得，

这说明数列{an-1}为首项为，公比为的等比数列。

又由2an+1-an=1可变形为an+1-an=1-an+1,

由bn+1=an+1-an,∴bn+1=1-an+1,

∴bn=1-an,∴{bn}为等比数列，首项为，公比为，∴.

（2）由,可得,an=1.

评述：

此题亦可用归纳猜想证明来做，

（1）问亦可先求{1-an}的通项，进而求出{an}的通项，再根据bn=an-an-1来作；

（2）问亦可由bn=an-an-1迭加得an通项来做。

……此题设计精巧，方法灵活，应多琢磨领会方法的运用。

例3．在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,成等比数列。

（1）求通项an;

（2）求数列{an}的所有项和

解：

（1）∵an,Sn,成等比数列，

∴（n≥2），又∵an=Sn-Sn-1,

∴（n≥2），

∴（n≥2），

∴是公差为2，首项为1的等差数列，

∴，

∴,当n≥2时，,

又a1=1不满足，∴。

（2）由

（1）得：

，∴。

评述：

此题也可用归纳、猜想、证明等方法。

此题需关注两处技巧：

①若由化归为有关an的关系式较难，可由an→Sn-Sn-1去。

②式子的特征分析运用；此题易混之处在求Sn时不马上利用

（1）问导出Sn的结果，而是又去裂项求和。

例4．已知，且f-1（x）为f（x）的反函数，又数列{an}的前n项和Sn满足Sn=f-1（Sn-1）,a1=2.

（1）求数列{an}的前n项和Sn及通项an;

（2）若，试比较b1与c1；b2与c2；b3与c3的大小，猜测bn与cn（n∈N）的大小关系并加以证明；

（3）求极限的值。

解析：

对于数列综合题，一般有从数列引申到其它知识，类型由其它知识引入到数列中来两类，以后者居多，方法是化归（即将综合问题化归到各自的知识领域）。

解：

由,可求得,

由Sn=f-1（Sn-1）,,

∴,

∴为等差数列，，∴Sn=2·n2,

∴n≥2时，an=2（2n-1）,当n=1时，2（2n-1）=2,

∴an=2（2n-1）（n∈N）.

（2）;,b2

∴b3

猜测：

bn≤cn.

证：

（数学归纳法）①验证n=1,n=2时bn≤cn成立。

②假设n=k时，bk≤ck成立。

即成立，等价于：

。

则当n=k+1时，

∴

∴

即n=k+1时，bk+1≤ck+1成立。

由①，②可得bn≤cn对任意n∈N成立。

（3）=.

评述：

此题与函数综合，但回到数列领域中来仍是,等差数列类的问题，仍用an=Sn-Sn-1（n≥2）关系式解决问题。

练习巩固：

1．设数列是公差不为0的等差数列，且|a11|=|a51|,a22=22.

（1）求数列{an}的通项公式

（2）将{an}的前n项和表示为an的函数。

2．已知函数y=f（x）的图象是自原点出发的一条折线，当n≤y≤n+1（n=0,1,2,……）时，该图象是斜率为bn的线段（其中正常数b≠1），设数列{xn}由f（xn）=n（n=1,2,……）定义。

（1）求x1,x2和xn的表达式。

（2）求f（x）的表达式，并写出其定义域。

（3）证明：

y=f（x）的图象与y=x的图象没有横坐标大于1的交点。

答案提示：

1．答：

（1）an=62-2n.

（2）

提示：

（1）a11=a20-9d,a51=a20+31d

（2）,代入

2．

（1）.

提示：

数形结合，由斜率公式

，

可推出,用叠加法。

（2）

当b>1时，，

当0

∴当b>1时，，

当0

（3）分两种情况证明

①b>1，任意存在xn使xn

此时，f（x）-f（xn）=bn（x-xn）>x-xn,

∴f（x）-x>f（xn）-xn,又f（xn）=n.

而，

∴f（xn）-xn>0,∴f（x）>x成立。

②当O

北京四中

科目：

数学年级：

高三　撰稿：

安东明

编审：

安东明责编：

辛文升录入：

刘红梅

最值问题

　　最值问题也可以表述成值域问题，取值范围等问题，它包括最大值及最小值。

这部分知识是高考中必考题，它与其他知识的联系也是十分紧密的，因此我们有必要把求最值的知识方法总结一下。

　　1．利用二次函数求最值

　　二次函数是我们研究的重点也是难点，特别是在给定区间上的最值问题。

这部分常见的是换元后转化为二次函数的形式。

特别注意换的“元”的取值范围。

研究二次函数问题最好是结合它的图像（可以在草稿纸上画草图），这样不易出错，并且加快解题速度。

例1：

f（x）=1-2·ax-a2x（a>0且a≠1）

（1）求函数f（x）的值域

（2）若x∈[-2,1]时，f（x）的最小值为-7，求a的值及此时f（x）的最大值。

解：

令t=ax，则t>0，f（x）=1-2t-t2=-（t2+2t+1）+2=-（t+1）2+2

∵对称轴t=-1<0,∴f（x）<-（0+1）2+2=1

∴f（x）的值域为（-,1）.

（2）由

（1），f（x）=1-2t-t2=-（t+1）2+2，并且在（1,＋）上是减函数

∵x∈[-2,+1],

∴①当a>1时，t∈[a-2,a]

当t=a时，f（x）min=-（a+1）2+2=-7,a=2

此时f（x）max=-（a-2+1）2+2=.

②当0

当t=a-2时，f（x）min=-（a-2+1）2+2=-7,a=,

此时f（x）max=-（a+1）2+2=,

∴满足题要求时a=2时，f（x）max=.

　　　　　　　a=时，f（x）max=.

例2：

已知：

≤a≤1，f（x）=ax2-2x+1在[1，3]上最大值为M（a）,最小值为N（a），令g（a）=M（a）-N（a）.

求g（a）的最小值。

解：

f（x）=a（x2-x+-）+1=a（x-）2+1-

∵≤a≤1,　∴1≤≤3.

所以f（x）的图像开口向上，对称轴在1,3之间。

∵x∈[1,3]

∴当x=时，f（x）min=N（a）=1-，

当1≤≤2即≤a≤1时，f（x）max=f（3）=M（a）=9a-5.

当2<≤3，即≤a<时，f（x）max=f

（1）=M（a）=a-1.

∵g（a）=M（a）-N（a）

∴g（a）=,

当≤a<时，g（a）=a+-2≥2-2=0.

当且仅当a=1时“=”成立，∵a=1[,）,

∴g（a）>0,可证g（a）在[,）是单减函数，

∴g（a）在[,）上无最小值,

当≤a≤1时，g（a）=9a+-6≥6-6

当且仅当a=时“=”成立，∵a=[,1]

∴g（a）>0,可证g（a）在[,1]上为单增函数，

∴g（a）min=g（）=,

∴当a=时，g（a）min=.

注：

最好掌握一般的情况f（x）=ax+（a,b>0）的图像，因为是奇函数，只画右边部分。

（下面的3中涉及到了）

因为ax+，在ax=时取等号，即x＝。

草图如下：

（可以观察最值和单调性）

2．利用平均值不等式求最值

例1：

从半径为2的圆板上剪下一个以原圆心为圆心的扇形，围成一个圆锥的侧面，如何操作使圆锥体积最大？

解：

如图，圆锥的母线长为2，设圆锥轴截面的底角为α（0<α<）

则圆锥底面半径r=2cosα,高h=2sinα，

V=πr2h=π·4cos2α·2sinα

　=π（1-sin2α）sinα

　=π

　=π

　≤ππ.

当且仅当2sin2α=1-sin2α，即sinα=时“=”成立，

此时，圆锥底面半径r=,圆锥侧面展开图扇形的中心角θ==