质点运动学典型例题.docx
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质点运动学典型例题
求解风吹气球时气球的运动情况
Vxby增大，其
气球以速率V。
从地面上升，由于风的影响，气球的水平速度按
x轴取水平向右的方向。
试计算:
中b是正的常量，y是从地面算起的高度,气球的运动学方程；
气球水平飘移的距离与高度的关系；
气球沿轨道运动的切向加速度和轨道的曲率与高度的关系。
解：
（1）取平面直角坐标系x0y，一，令t=0时气球位于坐标原点面），
如图
（地
Pl
已知
Vy
Vo，Vxby.
Vot.
图—
（1）
而dxu
而bydt
bV0t,dx
bV0tdt,
对上式积分，
x
dx
o
t
obVotdt,得到
bVot2
x
故气球的运动学方程为：
rbVot2iVotj
2
⑵由
（1）和
（2）式消去t，得到气球的轨道方程，即气球的水平飘移距离与高度的关系
b2
2Voy.
（3）气球的运动速率
VV：
V：
b2Vo2t2Vo2,b2y2V。
2
气球的切向加速度
dVb2Votb2Voy
而由an.a2a2和a2
22
axay
dVx2
dVy2
b2Vo2,可得
bVo2
■b2y2Vo2
由an
V2
，求得
亡（b2y2V°2）3/2
a?
bVo2
小船船头恒指向某固定点的过河情况
一条笔直的河流宽度为d，河水以恒定速度u流动，小船从河岸的A点出发，为了到达对岸的O点，相对于河水以恒定的速率V（V>u）运动，不论小船驶向何处，它的运动
方向总是指向O点，如图一，已知AOr0,AOP0,试求:
小船的运动轨迹。
若O点刚好在A点的对面（即AOd），结果又如何?
解：
选定极坐标系，原点为0点，极轴为0P。
在任一时刻t,小船的位置为（r,）,
小船速度的径向分量和横向分量
Vrg
dt
两式相除，
dr一dt
dr
dt
分离变量，
ucos
d
rusin
dt
得到
drdr
usin
V
ucos
drVucos
usin
usin
ctg
）d,
积分后,
得到
rdr
r0r
（丄
0usin
ctg
）d
In—
ro
V（inu
tan—
2
Intan
扌）
（Insin0Insin）
ln[[
tg
厶]V/u
0
2
tg
sin
（—
sin
0）],
（J
sin
ro
tg[2]V/u
0
tg-
2
这就是用极坐标表示的小船的轨迹方程。
若0点刚好在A点的对面，贝Ur0d,0
代入，得
求解小环对地的运动情况
一细杆绕端点O在平面内匀角速旋转，角速度为，杆上一小环（可看作质点）相
对杆作匀速运动，速度为u.设t0时小环位于杆的端点O,求：
小环的运动轨迹及小环在任意时刻的速度和加速度。
解：
本题采用极坐标系较为方便。
取
t=0时细杆的位置为极轴，此时小环位于端点
O.任意时刻t，小环的位置rut,t.
这就是小环在极坐标系中的运动学方
程。
消去t，便得小环的轨迹方程：
u
r,
式中u为常量，r与成正比，小环的轨迹为阿基米德螺线，如图一。
在任意时刻，小环的径向速度
dr
M尿U，
横向速度Vrdrut,
dt
速度的大小VV；—V2u2
图一
（厂）2u、12t2.
速度的方向指向阿基米德线的切线方向。
小环的径向速度的大小不变，横向速度随r
的增大而增大。
任意时刻，小环的加速度
adV%r0「0），
dtdt
r0和0为径向和横向的单位矢量，则
dr0
u-
dt
dro
dt
dt
dou
dt
20
rr
dr
dt
dorrdt
2u
既径向加速度ar2u2t;
横向加速度a2u
加速度的大小为
/~22匚2丄2
aaau.4t
尽管质点的径向速度大小不变，但径向加速度并不为零，这是横向速度方向的变化引起的。
即使u=0,小环停在半径上某一位置处，这一项还是有的，这就是向心加速度。
横向加速度一半是径向速度的方向改变引起的，另一半则是由半径增大造成横向速度增大引起的，因为这里横向加速度是由径向速度和横向速度共同造成的。
求解烟对船的速度
当蒸汽船以15km/h的速度向正北方向航行时，船上的人观察到船上的烟囱里冒出的烟飘向正东方向。
过一会儿，船以24km/h的速度向正东方向航行，船上的人则观察到烟
飘向正西北方向。
若在这两次航行期间，风速的大小和方向都不变，求：
（2）
风速。
（烟对地的速度即风对地的速度。
）
解：
设风速为V,则人观察到烟的飘向速度为
V烟船V冯地V船地
由图一所示，可知
Vsin15
（1）
24V
sin（135°）sin45°
由
（2），得到
24cossin
V
将
（1）代入上式，得到
248sincossin
15/sin5
5cos5sin8sin,得到
5佃，59°
即风来自西偏南59°，风速大小为h.
运用速度的相对性求解飞机往返一次的飞行时间
一架飞机由A处向北飞往B处，然后又向南飞回A处。
已知A、B相距为L，飞机相对于空气的速度为V,而空气相对于地面的速度（即风速）为u，其方向为北偏西角，求：
飞机往返一次的飞行时间。
图一
割亂（D）
图二
V机对地V机对气V气对地,
为了使飞机相对于地面的速度V的方向指向正北。
飞机相对于空气的速度V必须北
偏东角，如图一所示。
由上面的矢量式，得到
VxVsinusin0
VyVcosucos
消去，得到
VyV2u2sin2ucos
所以往程所需时间为t1—
Vy
当飞机由B返回A时，V、u、V
三者的关系如图二所示。
同样可得,
VxVsinusin0,
VyVcosucos
消去，得到VyV2u2sin2ucos
所以返程所需时间为
t2
L
Vy
则所求时间可求。
运用假设法判定静摩擦力和滑动摩擦力
在桌上有质量为mj=1kg的板，板与桌面之间的摩擦因数u1.板上有放有质量
m2=2kg的物体，板与物体之间的摩擦因数20.25，如图一。
今以水平力卩=将板从物
体下抽出。
问：
板与物体的加速度各为多少？
解：
当用力F拉动木板时，板上物体的运动有两种可能性，一是物体相对于板为静止，另一是物体的加速度小于板的加速度，即物体的运动滞后于板的运动，板将从物体下抽出。
现分两种情况分别讨论。
（1）物体的运动滞后于板的运动的情况
物体和板的受力情况如图二所示。
注意桌面给予板的摩擦力以及板与物体间的摩擦
力均为滑动摩擦力。
设板的加速度为a1，物体的加速度为a2。
列出板和物体的运动
方程：
对板：
Ff1f2m1a1,
NiN2mg0，
f2m2a2,N2m2g0.
又因为
f11N1,f22N2
联立方程组，得
F2m2g1（mhm
（2）g
a1,a22g.
m1
代入数值，得a10,a20.25g2.45m/S2
在本题的条件下，a2a1,这显然是不合理的。
（2）物体与板相对静止，物体与板一起运动的情况
物体与板的受力图如图三所示。
这里桌面给予板的摩擦力为滑动摩擦力，而物体与板间的摩擦力为静摩擦力。
板与物体的加速度相同，设为a，
列出板与物体的运动方程：
Ff1f2m1a,
N1N20,
f2m2a,N2m2g0,
又因为f11N1.
联立解方程，得到
Fi（mim
（2）g
a,
m1m2
占Fi（mim2）g
f2m2---,
mim2
代入数值，得到
a1.63m/S2,f23.26N.
所求得的静摩擦力f2小于最大静摩擦力（fmzx2N24.9N），所以是可能实现
的。
由第一种情况的讨论可知，只有a-a2才能将板从物体下抽出，根据以上计算结果，可得
F2m）2gi（m-m
（2）g
-----2g,
m1
或者F（-2）（m-m2）g.
代入数值，得到
F〉2.25g22.5N.
飞车走壁
一杂技演员在圆筒形建筑物内表演飞车走壁。
设演员和摩托车的总质量为M直壁半径为R演员骑摩托车在直壁上以速率V做匀速圆周螺旋运动，每绕一周上升的距离为h,如图一所示，求：
直壁对演员和摩托车的作用力。
解：
演员受到两个力的作用。
一是重力G,另一个是
直壁的作用力N.把N分解为沿直壁向上的N1和指向圆周运动中心的N2，如图二所示。
同样，把演员的速度V分
解为竖直向上的V1和绕筒壁做圆周运动的水平速度V2，
于是
NiMg,
N2
Man
展开螺旋面成斜面，如图三所示，V沿斜面向上。
且有
VVcos
2R
i122
.（2R）2h2
代入，得到
N2
MV2
42R
42R2h2
故圆筒壁对杂技演员的作用力大小为
方向与壁成角
N2
arctg
42RV2
（42R2h2）g
求解小船转向的情况
一质量为M的机动船，在进入河道弯道前Q点处关闭发动机，以速度V0在静水中行
驶，设水的阻力与船速成正比。
（1）若Q点至弯道处P点的距离为L0，求船行至P点时的速度；
（2）若船行至P点时开动发动机，给船以F0的转向力，F0与速度方向的夹角为
，如图一所示，求：
小船
船在该点的切向加速度以及航道的曲率半径。
kV,k为比例系数，负号
解：
（1）在PQ的河流直道行驶中，船仅受水的阻力,表示与速度的方向相反。
有牛顿运动定律，得到
kV
dV
m—
dt
kV
dVdsm—dsdt
ds
分离变量，积分
kds
Vp
Vo
dV
得到，船行至
P点的速度大小VP
Vo—Lo.
m
方向沿弯道P点的切线方向。
在P点,
船除了受到阻力
kVp外,
还受到转向力的作用，这样船在
P点的加
速度aP
kVp
Fo
此时其切向加速度
kVp
Fo
cosm
Fo
cosm
kVo
k2Lo
法向加速度a
Dsin.
m
P点的曲率半径
V2
m（Vo
*L。
）2
m
an
Fsin
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