一维热传导MATLAB模拟.docx

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一维热传导MATLAB模拟

　　　　　　　　昆明学院　　　　　　2015届毕业设计　　　　设计题目　　一维热传导问题的数值解法及其MATLAB模拟　　子课题题目　　无　　　　　　姓　　名　　伍有超　　学　　号　　************　　所属系　　物理科学与技术系　　专业年级　　2011级物理学2班　　指导教师　　王荣丽　　　　2015年5月　　　　　　一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟　　　　摘要　　介绍了利用分离变量法和有限差分法来求解一维传导问题的基本解，并对其物理意义进行了讨论。

从基本解可以看出，在温度平衡过程中，杠上各点均受初始状态的影响，而且基本解也满足归一化条件，表示在热传导过程中杆的总热量保持不变。

通过对一维杆热传导的分析，利用分离变量法和有限差分法对一维热传导进行求解，并用MATLAB数学软件来对两种方法下的热传导过程进行模拟，通过对模拟所得三维图像进行取值分析，得出分离变量法和有限差分法绘制的三维图基本相同，且均符合热传导过程中温度随时间、空间的变化规律，所以两种方法均可用来解决一维热传导过程中的温度变化问题。

　　　　关键词：

一维热传导；分离变量法；有限差分法；数值计算；MATLAB模拟　　　　　　　　1　　一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟　　　　Abstract　　　　Inthispaper,themethodofvariableseparationandfinitedifferencemethodareintroducedtosolvetheproblemofone-dimensionalheatconductionproblems,andthephysicalsignificanceofnumericalmethodsforheatconductionproblemsarediscussed.Fromthebasicsolution,wecanseethetemperatureonthebarareaffectedbytheinitialstateduringtheprocessoftemperaturebalance,andbasicsolutionalsosatisfythenormalizationconditionwhichimpliedtheinvarianceofthetotalheatinthebarduringtheheatconductionprocess.Throughtheanalysisoftheone-dimensionalheatconduction,bytakinguseofvariableseparationmethodandfinitedifferencemethod,wesimulatedtheone-dimensionalheatconductionproblembyMATLAB.Thethree-dimensionalimagesofthesimulationresultsobtainedbythemethodofseparationofvariablesandfinitedifferencemethodaresimilartoeachother,andthetemperaturecurveisinaccordancewiththelawoftemperaturevariationduringheatconduction.Thus,wecangototheconclusionthatbothmethodscanbeusedtodealwiththeone-dimensionalheatconductionproblems.　　Keywords:

One-dimensionalheatconduction;methodofvariableseparation;　　finitedifferencemethod;numericalmethod;MATLABsimulation　　　　　　2　　　　一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟　　　　目录　　第一章绪论.................................................................................................................1　　热传导的概念.....................................................................................................1　　热质的运动和传递.............................................................................................1第二章一维热传导问题的两种数值解法.................................................................3　　一维热传导问题的初值问题............................................................................3　　一维热传导问题的分离变量法........................................................................4　　一维热传导问题的有限差分法........................................................................6第三章一维有界杆热传导问题的MATLAB模拟..................................................9　　一维有界杆热传导问题....................................................................................9　　分离变量法的MATLAB模拟.........................................................................9　　有限差分法的MATLAB模拟.......................................................................12第四章总结与展望...................................................................................................18

　　　　　　一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟　　叶导热定律。

在极低温或极高热流密度时傅立叶导热定律不再适用[5]。

　　在最近的20多年里，对一维体系热传导性质的研究已经从纯理论研究的兴趣延伸到了对其应用性的探讨。

自从2002年G.Casati等人提出了利用非线性参数来控制一维体系中的热流量，例如制备热整流器（thermalrectifier）的设想和方案以来，通过组合不同性质的一维晶格体系来控制和操纵热流，制备出诸如热二　　[6]极管、热阻、热晶体管[7]　　等微观热器件的研究，为人们展示了一维体系热传导研究中诱人的应用前景[8]。

　　　　2　　　　一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟　　　　第二章一维热传导问题的两种数值解法　　一维热传导问题的初值问题　　问题简述:

一均匀细杆直径为l，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，并服从规律:

　　dQ?

k1（u?

u1）dSdt。

（1）　　又假设杆的密度为?

，比热为c，热传导系数为k，式导出此时温度u满足的方程。

（1）任取细杆中的一段（x1,x2），从时刻t1到时刻t2热量的增量为：

　　Q1?

cps?

x,t2?

x,t1?

dxx1x2?

其中s?

t2t1?

x2x1?

x,t?

cpsdxdt?

t，　　

（2）　　?

4l2是杆的截面积，通过（x1,x2）的两端流入的热量为：

Q2?

ks?

ux?

x2,t?

ux?

x1,t?

dtT1t2?

t2t1?

x2x1?

2u?

x,t?

ksdxdt?

x2。

　　（3）　　通过（x1,x2）的侧面与周围介质发生的热交换量为：

　　Q3?

t2t1?

x2x1k1（u?

u1）?

ldxdt，　　（4）　　能量守恒定律Q1?

Q2?

Q3，以及x1,x2,t1,t2的任意性得：

u（x,t）?

2u（x,t）c?

ks?

k1（u?

u1）?

l，（5）　　?

x2记a2?

kk?

l4k，b2?

1，可得：

sc?

l2?

u（x,t）2?

b（u?

u1）2?

x。

　　（6）　　3　　　　一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟　　若考虑一维热传导方程的初值问题即是Cauchy问题[9]：

ut?

a2uxx?

x,t?

0，　　（7）?

（x）,x求具有所需次数偏微商的函数u?

x,t?

，满足方程x和初始条件：

x,0（x）,x。

　　　　（8）　　考虑齐次热传导方程的初值问题?

ut?

a2uxx?

x,t?

0，　　（9）?

（x）,x通过推导可以推导出：

x,t?

x,t1xe2a12a?

tx?

3a?

etd?

。

　　（10）　　?

tx?

24a2t（?

）ed?

若考虑非齐次热传导方程的齐次初始条件[10]的初值问题：

ut?

a2uxx?

x,t?

0,x，　　（11）　　通过推导可以推导出解为：

x,t?

12a0tf?

tx?

24a2?

td?

。

　　（12）　　若考虑非齐次热传导方程的非齐次初始条件初值问题的：

x,t?

12a?

tx?

24a2t?

（?

）e?

dx?

24a2?

t1?

2a0?

td?

。

　　（13）　　以上就为齐次热传导方程的初值问题，非齐次热传导方程的齐次初始条件的初值问题和非齐次热传导方程的非齐次初始条件初值问题的解。

　　4　　　　一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟　　一维热传导问题的分离变量法　　利用分离变量法的实验原理来解决有界长杆的热传导问题：

考虑齐次热传导方程的混合问题都是第一类情形　　?

ut?

a2uxx,0?

l,t?

，　　　　（14）?

0,t?

0,u?

l,t?

x,0（x）?

其中?

（x）为给定的已知函数，求解过程为首先令u?

x,t?

X（x）T（t）将其带入方程　　ut?

a2uxx，　　　　（15）　　并且分离变量得两个常微分方程　　T’（t）?

a2T（t）?

0X（x）?

X（x）?

0’’，　　　　（16）　　边界条件u?

0,t?

0,u?

l,t?

0可得：

X（0）,X（l）?

0（17）为有界长杆的热传导问题[11]的解。

求边值问题　　一维热传导问题的分离变量法求边值问题的原理，即是求　　X’’（x）?

X（x）?

0,X（0）?

X（l）?

0的非0解包括以下三种情况：

　　当?

0时，该问题没有非平凡解；当?

0时，该问题也没有非平凡解；当?

0时，该问题有非平凡解；此时　　n?

2）,（n?

1,2,3.....），　　（17）ln?

xXn（x）?

Bnsin,（n?

1,2,3.....）。

　　（18）　　ln?

（若现在考虑：

　　T’（t）?

a2T（t）?

0，　　　　（19）　　将特征值n?

（n?

2）,（n?

1,2,3.....）代入方程得：

l5　　　　一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟　　T’（t）?

（n?

a2）T（t）?

0，　　（20）lna?

2）tl求得通解为　　T（t）?

Cne?

（,（n?

1,2,3...），　　（21）　　于是可以求解出定解问题中的一维热传导方程组且满足齐次边界条件的具有变量分离形式特解[12]：

x,tanen?

（na?

2）tlsinn?

x，　　（22）l其中an?

BnCn，是任意常数，在利用初值条件u?

x,0（x），可得：

ansinn?

（x），　　（23）l继而推导出：

　　an?

所以　　21n?

（x）sindx，　　（24）?

0llna（）2t?

xl?

ux,t?

anesinln?

1，　　（25）?

an?

21?

（x）sinn?

xdx?

0l?

就为所求定解问题（14）的特解。

若问题中的边界条件出现第二类或者第三类齐次边界条件，解法类似。

　　一维热传导问题的有限差分法有限差分法的介绍：

　　有限差分法是计算机数值模拟最早采用的方法，至今乃被推广使用[13]。

该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。

有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立网格节点上的值为未知数的代数方程组。

　　有限差分法的优点：

它是一种直接将微分问题变为代数问题的近似解法，数学观念直观，表达简单，是发展最早而且比较成熟的数值方法。

　　　　　　一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟　　有限差分法的缺点：

它是必需进行整个区域的划分，并且要求网格比较规则，空间网格最好为直角网格。

　　利用有限差分法进解决一维热传导问题：

　　问题背景　　1、热传导的方程介绍[14]：

　　u2?

a2?

ut?

x2?

0,t?

L,t?

0，　　u?

x,0?

f（x）2、离散以后得到：

　　uj0?

0,jk?

0　　，　　ujn?

L,t?

0　　，　　u0i?

ih,0?

f（ih）?

fi，　　向前差分后得：

　　uj?

ujj?

2ujjii2ui?

1i?

uik?

1h2，计算得出：

　　uj?

1i?

suji?

2s?

ujji?

sui?

1，s?

ka2h2。

　　下图是一个显示格式：

　　7　　　　（28）（29）（30）（31）　　（32）（33）（34）　　　　　　一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟　　　　图向前有限差分法网格图　　　　1此可以证明当0?

时，上述差分式是稳定的，所以x的步长h和t的步　　2长k取法要恰当。

　　向后差分格式得到：

1j?

11uij?

uij?

2ui?

2ui1?

a，　　（35）kh2计算得出：

　　11uij?

suij?

2s?

uij?

suij?

1，　　（32）　　　　图向后有限差分法网格图　　8　　　　一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟　　　　第三章一维有界杆热传导问题的MATLAB模拟　　　　一维有界杆热传导问题　　一均匀细杆长为l，在x?

0端温度为0度，且保持温度不变，x?

l端与外界绝热。

已知初始时刻温度分布为?

（x）。

试求细杆上温度的变化规律。

　　利用热传导方程：

ut?

a2uxx?

0,0?

l,t?

，　　（33）?

ux?

0,uxx?

0,t?

0ut?

（x）,0?

l为了便于做题，我们令：

1，l?

，　　?

（x）?

x，　　对于此问题，我们可以采用分离变量法和有限差分法来进行求解，并利用MATLAB数学软件　　[15]　　对所得结果绘图并分析。

　　分离变量法的MATLAB模拟　　首先，利用分离变量法对问题进行求解，根据所得方程，有:

x,tCnen?

（2n?

1）2?

2a2t4l2sin（2n?

1）?

x，　　（34）2l其中：

　　Cn?

2l（2n?

1）（?

）sind?

。

　　（35）?

0l2l利用MATLAB对以上方程进行模拟，得到关于一维有界杆的热传导图像如下所示：

　　9　　　　一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟　　　　图分离变量法模拟一维有界杆的热传L?

t图　　　　可以看出，温度随时间呈下降趋势，长杆各部分温度随时间增加趋于稳定。

　　取分离变量法模拟三维图中x?

l时T?

t的数据，作如下曲线图：

2　　图x　　?

l时T?

t关系图210　　　　一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟　　可以发现在长杆x?

l处，温度T随时间的增长而下降。

取分离变量法模拟2三维图x?

l处，温度T随时间t的变化，作如下曲线图：

　　　　　　图x?

L处T?

t关系图　　　　可以发现，在长杆x?

l处，温度T随时间t的增加而降低，取分离变量法模拟三维图t?

0时刻，温度T在长杆l各处的分布规律，得到如下曲线图：

　　　　图t?

0时刻T?

l关系图　　11　　

　　　　　　一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟　　从上图可以看出，当t?

0时刻，温度T在长杆l各处呈线性分布，且x?

0到　　x?

l逐渐上升。

　　取分离变量法模拟的三维图t?

10时刻，温度T在长杆l各处的分布规律，得到如下曲线图：

　　　　　　图t?

10时刻T?

l关系图　　上图可以看出，当t?

10时刻，温度T在长杆l各处也呈线性分布，且x?

0到　　x?

l逐渐上升，以上曲线图均符合热传导规律。

　　　　有限差分法的MATLAB模拟　　根据所得方程，向前差分：

　　uij?

suij?

2s?

uij?

suij?

1，　　（36）ka2s?

2，　　　　（37）　　h向后差分：

　　11uij?

suij?

2s?

uij?

suij?

1，　　（38）　　利用MATLAB作图，得到有限差分图如下：

　　12　　　　一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟　　　　图有限差分法模拟一维有界杆的热传L?

t图　　取有限差分法模拟三维图中x?

l时T?

t的数据，作如下曲线图：

2　　图有限差分法得到的x?

l时T?

t关系图2可以发现在长杆x?

l处，温度T随时间的增长而下降。

取有限差分法模拟2三维图x?

l处，温度T随时间t的变化，作如下曲线图：

　　　　13　　　　一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟　　　　图有限差分法得到的x?

L处T?

t关系图　　可以发现，在长杆x?

l处，温度T随时间t的增加而降低，取有限差分法模拟三维图t?

0时刻，温度T在长杆l各处的分布规律，得到如下曲线图：

　　　　图有限差分法得到的t?

0时刻T?

l关系图　　　　从上图可以看出，当t?

0时刻，温度T在长杆l各处呈线性分布，且x?

0到　　14　　　　一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟　　x?

l逐渐上升。

　　取有限差分法模拟的三维图t?

10时刻，温度T在长杆l各处的分布规律，得到如下曲线图：

　　　　图有限差分法得到的t?

10时刻T?

l关系图　　　　上图可以看出，当t?

10时刻，温度T在长杆l各处也呈线性分布，且　　x?

0到x?

l逐渐上升，以上曲线图均符合热传导规律。

　　综上所述，分离变量法和有限差分法绘制的三维图基本相同，且均符合热传导过程中温度随时间、空间的变化规律，所以两种方法均可用来解决一维热传导过程中的温度变化问题。

　　　　15　　　　一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟　　　　第四章总结和展望　　　　许多工程问题需要研究热量在物体内部的传导情况或某种物质在液体中的扩散情况，因此研究热传导问题特别是非稳态热传导问题十分重要。

目前热传导方程已有多种求解格式。

MATLAB基于矩阵运算，具有强大的数值运算能力和图形可视化能力，是方便实用、功能强大的数学软件。

以热传导方程的数值解法及Matlab模拟实现为主线，研究论证其可行性，从而发现一种较为简便且极为有效的热传导方程数值解法和可视化的方法，意在更好的解决目前在工程和研究邻域中实际存在的问题，进而推动其相关邻域的发展和进步，文章的主要研究设计工作：

对热传导方程的数值解法做了理论研究，为Matlab编程的实现奠定了理论基础，结合Matlab知识，编出程序通过列举方程和边值条件，利用编写的程序解出了一维热传导的非稳态问题。

　　通过对一维杆热传导的分析，利用分离变量法和有限差分法对一维热传导进行求解，并用MATLAB数学软件来对两种方法下的热传导过程进行模拟，通过对模拟所得三维图像进行取值分析，得出分离变量法和有限差分法绘制的三维图基本相同，且均符合热传导过程中温度随时间、空间的变化规律的结论，所以两种方法均可用来解决一维热传导过程中的温度变化问题。

　　　　　　一维热传导问题的数值解法及MATLAB模拟　　　　

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