秋季学期新版沪科版八年级数学上学期131三角形中的边角关系教案.docx

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秋季学期新版沪科版八年级数学上学期131三角形中的边角关系教案

13．1　三角形中的边角关系

第1课时　三角形中边的关系

1．结合具体的实例，进一步认识三角形的概念及其基本要素．

2．会用符号、字母表示三角形，并了解按边的相等关系对三角形进行分类．

3．理解三角形任何两边之和大于第三边的性质，并会初步运用这一性质来解决问题．

重点

三角形的三边关系．

难点

三角形的三边关系．

一、创设情境，导入新课

教师出示一个用硬纸板剪好的三角形，并提出问题：

小学中我们已经认识了三角形，那么你能不能给三角形下一个完整的定义？

教师出示教具，提出问题．让学生观察教具，然后给出三角形的定义．

由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形．

【教学说明】通过小学知识，引入新的知识，温故而知新．通过教具观察，引起学生的注意，引发学生的学习兴趣．

二、合作交流，探究新知

1．探究三角形的有关概念

（1）三角形的顶点及符号表示方法．

（2）三角形的内角．

（3）三角形的边．

教师继续利用教具向学生直接指明相关的概念．

学生注意记忆相关的概念．

然后教师出示另外剪好的三角形，各顶点字母与原来不同，然后通过新三角形让学生巩固刚才的有关概念．

【教学说明】直截了当地向学生指明相关的概念，之后借助练习巩固．

2．探究三角形的分类

问题1：

小学中已经学过，如何将三角形进行分类？

问题2：

如何将三角形按边分类？

教师提出问题，学生举手回答．

教师提示，分类的标准是什么？

教师进一步提出新的问题，并进一步讲解，等边三角形，等腰三角形的有关概念．然后给出三角形的按边分类方法：

三角形

之后师生共同归纳三角形的分类方法．按不同的标准分类，可以有不同的分法．

【教学说明】在三角形的分类学习过程中，让学生体会分类的思想，即：

统一标准，不重不漏．

3．探究三角形的三边关系

探究：

画出一个△ABC，假设有一只小虫要从B点出发，沿三角形的边爬到C，它有几种路线可以选择？

各条路线的长一样吗？

教师提出问题，学生先画图然后进行讨论，并思考问题，然后教师指定学生回答问题．

（1）小虫从B出发沿三角形的边爬到C有如下几条路线．

a．从B→C

b．从B→A→C

（2）从B→C路线短．

然后教师进一步提出问题：

这条路径为什么是最短的？

学生举手回答：

“两点之间，线段最短．”

然后师生共同归纳得出：

AC＋BC＞AB，

AB＋AC＞BC，

AB＋BC＞AC，

即：

三角形的两边之和大于第三边．

教师出示教材P68例1.

分析：

第

（2）问有一边长为4cm，是什么意思，哪一边的长度是4cm?

师生共同完成分析以后，教师给出规范的解答过程．

【教学说明】借助旧的知识，解决新的问题，从学生的探究入手，得出三角形的三边之间的关系．

问题的解题思路，一方面涉及方程思想的运用，另一方面涉及分类讨论的思想，故教师的讲解与点拨是必要，也是必需的．逐步向学生渗透数学中的思想方法，教给学生解决问题的技能是教学过程中更应该关注的问题．

三、运用新知，深化理解

例1　如图所示，图中三角形的个数共有（　　）

A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个

分析：

根据三角形的定义进行判断．只要数出BC上有几条线段即可．很明显BC上有3条线段，所以有三个三角形．

【归纳总结】在比较复杂的图形中寻找三角形的方法：

可以按照一定顺序寻找，即先固定一个顶点，变换另两个顶点，做到不重复、不遗漏．

例2　设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（　　）

A　　　　　　　　B

C　　　　　　　　D

分析：

根据它们的概念，有一个角是直角的三角形是直角三角形；有两条边相等的三角形是等腰三角形；有三条边相等的三角形是等边三角形；有一个角是直角且有两条边相等的三角形是等腰直角三角形，故选A.

【归纳总结】此题考查了三角形中各类三角形的概念，根据定义就能够找到它们彼此之间的包含关系．

例3　若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.

分析：

根据三角形三边关系：

两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．

解：

根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.

【归纳总结】绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．

四、课堂练习，巩固提高

1．教材P69练习第1，2题．

2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．

五、反思小结，梳理新知

六、布置作业

1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．

2．教材P73习题13.1第1题．

第2课时　三角形中角的关系

理解三角形内角和定理的内容，能应用三角形内角和定理判定三角形的形状以及解决一些简单的实际问题．

重点

三角形内角和定理．

难点

三角形内角和定理的推理过程．

一、创设情境，导入新课

我们知道，任意一个三角形的内角和等于180°，怎样证明这个结论的正确性呢？

小学中我们通过测量的方法进行过验证，但我们不可能对所有的三角形进行验证，有没有一种能证明任意三角形的内角和等于180°的方法呢？

教师提出问题，引发学生思考．

【教学说明】通过问题引入，激发学生的学习兴趣，同时使学生认识到，测量的方法只能进行有限次的验证，并不能对所有的三角形进行验证，所以必须寻找一种能说明所有三角形的内角和是180°的方法．为后面的证明作准备．

二、合作交流，探究新知

探究一　三角形的分类

通过学生的讨论、交流，使学生体验分类方法的原则，不重不漏，标准统一，在学习过程中进一步培养学生的独立学习能力，并培养学生的归纳概括能力．

问题：

前面我们学过三角形按边分类的方法，那么按角分类，如何将三角形进行分类呢？

教师提出问题，学生举手回答．教师提示：

分类的标准是什么？

学生回答：

按角分类，师生共同概括得出：

三角形按角的大小可分为：

三角形—

探究二

1．在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码．

图①　　　　　　　　　　图②

2．让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处（如上图），用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.

3．把∠B和∠C剪下按下图拼在一起，用量角器量一量∠MAN的度数，会得到什么结果？

图③

教师在学生完成后，提出问题：

在图②中直线CM与AB是什么关系？

在图③中直线MN与BC是什么关系？

你能从中找到三角形内角和定理的证明方法吗？

【教学说明】通过动手操作，使学生从中体验数学学习的乐趣，并在教师的引导下，从动手操作中发现三角形内角和定理的证明方法．

通过问题引导，使学生在操作中发现三角形内角和定理的证明方法．

三角形内角和定理的证明

三角形内角和定理：

三角形三个内角的和等于180°.

已知，△ABC.

求证：

∠A＋∠B＋∠C＝180°.

教师引导学生从上面的操作中得到证明三角形内角和定理的方法，然后规范地写出证明过程．注意向学生提示辅助线要用虚线．

这一过程中教师应当注意，必须要写出规范的证明过程．教师可以采取示范一个，练习一个的方式．用如上图的方法进行教师示范，用如下图的方法让学生进行练习．

想一想，还有没有其他的方法？

（利用同旁内角互补）

【教学说明】使学生从对三角形内角和的感性认识上升到理性认识，由于学生刚刚开始接触证明，所以教师必须要有规范的示范，通过讲练结合，使学生逐步掌握推理的方法步骤．

巩固应用

C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？

教师利用投影出示例题，学生先读题，弄懂题意，然后师生共同分析解题．

和上边的定理证明过程一样，教师也要给出完整的解答过程，在本问题的分析过程中，教师应当着重于思路的讲解，在角的求值问题中，常常利用平行线进行转化，利用内角和定理来具体求值．要将这里的思想方法逐步向学生渗透．

之后教师可进一步向学生提问：

“还有没有其他的方法来解决．”

本题的难点是要让学生观察到直线AD与BE的关系．进而转化为与平行线有关的问题解决．

【教学说明】通过例题，要让学生体会三角形内角和定理在角的求值问题中的应用，注意向学生分析解决问题的思路和方法．

逐步向学生渗透数学中的思想方法，这里体现了数学中的转化思想．这一点一定要让学生体会．

三、运用新知，深化理解

例1　如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝63°，DE∥AB，则∠DEC等于（　　）

A．63°

B．62°

C．55°

D．118°

分析：

在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝63°，根据三角形的内角和定理，即可求得∠A的度数，又由DE∥AB，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠DEC的度数．故答案为B.

【归纳总结】此题比较简单，解题的关键是掌握“两直线平行，同位角相等”的应用．

例2　一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，这个三角形一定是（　　）

A．直角三角形　　　B．锐角三角形

C．钝角三角形D．无法判定

分析：

设这个三角形的三个内角的度数分别是x，2x，3x，根据三角形的内角和为180°，得x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°，∴这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，即这个三角形是直角三角形．

【归纳总结】在解决此类问题时，通常先设比例系数，然后列方程求解．

补充练习：

（1）三角形中最大的角是70°，那么这个三角形是锐角三角形．（　　）

（2）一个三角形中最多只有一个钝角或直角．（　　）

（3）一个等腰三角形一定是锐角三角形．（　　）

（4）一个三角形最少有一个角不大于60°.（　　）

四、课堂练习，巩固提高

1．教材P71练习．

2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．

五、反思小结，梳理新知

六、布置作业

1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．

2．教材P74习题13.1第2，3题．

第3课时　三角形中几条重要线段

1．掌握三角形的高、中线、角平分线的定义中体现出来的性质．

2．会画三角形的高、中线、角平分线．

重点

了解三角形的高、中线与角平分线的概念，会用工具准确画出三角形的高、中线与角平分线．

难点

1．三角形的角平分线与角平分线的区别，三角形的高与垂线的区别．

2．钝角三角形高的画法．

3．不同的三角形三条高的位置关系．

一、创设情境，导入新课

我们已经知道什么是三角形，也学过三角形的高．三角形的主要线段除高外，还有中线和角平分线值得我们研究．

二、合作交流，探究新知

探究一　探究高的概念及画法

问题1：

如何求三角形的面积？

问题2：

什么是三角形的高，怎样画三角形的高？

教师首先提出问题1，学生举手回答，然后教师进一步提出问题2，引入本节课的第一个概念．

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．如图，AD是△ABC的BC边上的高线．

想一想，一个三角形有几条高？

然后教师要求学生动手画三个不同的三角形，即锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，之后要求学生作出它们的高．然后同学间进行交流．

【教学说明】通过三角形的面积自然引入高的概念，然后步步紧扣，提出如何画高的问题．过程显得自然，紧凑．

指出直角三角形的高与画钝角三角形的高是难点，通过学生的动手操作，交流探讨．使学生掌握高的画法，尤其是钝角三角形的高的画法．

观察：

每一个三角形的三条高有什么位置关系？

三条高交于一点．

教师提出问题：

各种三角形的高都分别交于一点吗？

学生讨论，交流，然后归纳结果．

【教学说明】通过学生的观察，发现三角形的三条高交于一点，培养学生的观察发现能力．从中体验数学的研究方法．

练习：

教材P72“操作”第1题．

学生独立观察，然后交流，归纳．

【教学说明】边讲边练，提高课堂效率．

探究二　探究三角形的中线与角平分线的概念及画法

1．三角形的中线及其画法．

2．三角形的角平分线及其画法．

教师指出三角形中线的定义及角平分线的定义．然后仿照三角形的高的教学过程，安排学生画一画，并相应地提出类似的问题．

【教学说明】将三角形的中线，角平分线与高类比来学习，有助于提高学生对这三个概念的认识与掌握．便于学生理解概念，掌握性质．

学生动手操作，然后交流，探讨，师生共同归纳总结．

三角形的三条中线都在三角形的内部，且它们交于一点，这个交点就是三角形的重心．

三角形的三条角平分线都在三角形的内部，且它们交于一点．

三角形的三条高线不一定在三角形的内部，它们也相交于一点．

三角形的高、中线、角平分线都是线段．

【教学说明】通过归纳总结，认识高、中线、角平分线间的相同与不同之处．

思考：

如图，AD是△ABC的BC上的中线．△ABD和△ADC的面积有何关系，为什么？

教师布置，学生练习，学生独立完成练习，然后举手回答．

教师利用投影出示思考题，学生进行讨论后，再进行归纳．

【归纳总结】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．

思考：

高和角平分线是否也有这样的性质呢？

【教学说明】通过练习，使学生在图形中认识中线和角平分线的定义，并从中认识相关线段、角之间的关系．拓展学生对中线的认识．

三、运用新知，深化理解

例1　如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于点E，点F为AB上一点，CF⊥AD于点H，下面判断正确的有（　　）

①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH为△ACD中边AD上的高．

A．1个

B．2个

C．3个

D．0个

分析：

由∠1＝∠2知AD平分∠BAE，但AD不是△ABE内的线段，所以①错；同理BE经过△ABD中边AD的中点G，但BE不是△ABD中的线段，故②不正确；由于CH⊥AD于点H，故CH是△ACD中边AD上的高，故③正确．答案为A.

【归纳总结】判断三角形的中线和角平分线时，一定要注意它们都是线段，且都在三角形内部．三角形的高是垂线段，可在三角形的内部、外部或与三角形的一条边重合．

例2　如图所示，AD，AE是△ABC的高和角平分线，∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAE的度数．

分析：

由三角形内角和定理可求得∠BAC的度数，在Rt△ADC中，可求得∠DAC的度数，AE是△ABC的角平分线，有∠EAC＝

∠BAC，故∠DAE＝∠EAC－∠DAC.

解：

∵∠B＝36°，∠C＝76°，∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝68°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠EAC＝

∠BAC＝34°.∵AD是高，∠C＝76°，∴∠DAC＝90°－∠C＝14°，∴∠DAE＝∠EAC－∠DAC＝34°－14°＝20°.

【归纳总结】利用三角形的内角和、角平分线、高的相关性质进行简单计算，注意图形中的角的数量关系．

例3　如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，则S△ADF－S△BEF＝______．

分析：

∵点D是AC的中点，∴AD＝

AC，∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝

S△ABC＝

×12＝6.

∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝

S△ABC＝

×12＝4.∵S△ABD－S△ABE＝（S△ADF＋S△ABF）－（S△ABF＋S△BEF）＝S△ADF－S△BEF，即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.

【归纳总结】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．

四、课堂练习，巩固提高

1．教材P73练习．

2．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“随堂演练”内容．

五、反思小结，梳理新知

六、布置作业

1．请同学们完成《探究在线·高效课堂》“课时作业”内容．

2．教材P74习题13.1第4～7题．