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习题课功和功率

习题课:

功和功率

[学习目标]1.熟练掌握恒力做功的计算方法.2.能够分析摩擦力做功的情况,并会计算一对摩擦力对两物体所做的功.3.能区分平均功率和瞬时功率.

一、功的计算

例1质量为2kg的物体置于水平面上,在运动方向上受到水平拉力F的作用,沿水平方向做匀变速运动,拉力F作用2s后撤去,物体运动的速度图象如图1所示,则下列说法准确的是(取g=10m/s2)()

图1

A.拉力F做功150J

B.拉力F做功350J

C.物体克服摩擦力做功100J

D.物体克服摩擦力做功175J

解析由图象可知撤去拉力后,物体做匀减速直线运动,加速度大小a2=2.5m/s2,所以滑动摩擦力F1=ma2=5N;加速过程加速度a1=2.5m/s2,由F-Ff=ma1,得拉力F=ma1+Ff=10N.由图象可知F作用2s的时间内位移l1=15m,撤去F后运动的位移l2=20m,全程位移l=35m,所以拉力F做功W1=Fl1=10×15J=150J,A准确,B错误.物体克服摩擦力做功W2=Ffl=5×35J=175J,C错误,D准确.

答案AD

例2在水平面上,有一弯曲的槽道AB,由半径分别为

和R的两个半圆构成.如图2所示,现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点拉至B点,若拉力F的方向时时刻刻均与小球运动方向一致,则此过程中拉力所做的功为()

图2

A.零B.FR

C.

πFRD.2πFR

解析小球受的拉力F在整个过程中大小不变,方向时刻变化,是变力.但是,如果把圆周分成无数微小的弧段,每一小段可近似看成直线,拉力F在每一小段上方向不变,每一小段上可用恒力做功的公式计算,然后将各段做功累加起来.设每一小段的长度分别为l1,l2,l3…ln,拉力在每一段上做的功W1=Fl1,W2=Fl2…Wn=Fln,拉力在整个过程中所做的功W=W1+W2+…+Wn=F(l1+l2+…+ln)=F

πFR.

答案C

[方法总结]

1.恒力的功

功的公式W=Flcosα,只适用于恒力做功.即F为恒力,l是物体相对地面的位移,流程图如下:

2.变力做功的计算

(1)将变力做功转化为恒力做功.

当力的大小不变,而方向始终与运动方向相同或相反时,这类力的功等于力和路程的乘积.

(2)当变力做功的功率P一定时,如机车恒定功率启动,可用W=Pt求功.

(3)用平均力求功:

若力F随位移x线性变化,则能够用一段位移内的平均力求功,如将劲度系数为k的弹簧拉长x时,克服弹力做的功

W=

x=

·x=

kx2.

(4)用F-x图象求功

若已知F-x图象,则图象与x轴所围的面积表示功,如图3所示,在位移x0内力F做的功W=

x0.

图3

二、摩擦力做功的特点与计算

例3质量为M的木板放在光滑水平面上,如图4所示.一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A点滑至B点,在木板上前进了l,同时木板前进了x,若滑块与木板间的动摩擦因数为μ,求摩擦力对滑块、对木板所做的功各为多少?

滑动摩擦力对滑块、木板做的总功是多少?

图4

解析由题图可知,木板的位移为lM=x时,滑块的位移为lm=l+x,m与M之间的滑动摩擦力Ff=μmg.

由公式W=Flcosα可得,摩擦力对滑块所做的功为Wm=μmglmcos180°=-μmg(l+x),负号表示做负功.摩擦力对木板所做的功为WM=μmglM=μmgx.

这对滑动摩擦力做的总功:

W=Wm+WM=-μmg(l+x)+μmgx=-μmgl

答案-μmg(l+x)μmgx-μmgl

例4如图5所示,质量为m的木块放在质量为2m的木板上,木板置于光滑水平面上.现用力F沿水平方向拉木板,木块与木板相对静止,当木板移动的位移为x时:

木块与木板间的静摩擦力对木块、木板分别做功为多少?

静摩擦力对木块和木板做的总功是多少?

图5

解析对整体有:

F=3ma.对木块有F静=ma

故F静=

.由公式W=Flcosα得,

静摩擦力对木块所做的功为

Wm=F静·x=

Fx

静摩擦力对木板做的功为

W2m=-F静·x=-

Fx

静摩擦力对木块和木板做的总功是

W=Wm+W2m=

Fx+(-

Fx)=0.

答案见解析

[总结提升]

摩擦力做功的特点

(1)一对相互作用的滑动摩擦力等大反向但物体之间存有相对滑动,即两个物体的对地位移不相同,由W=Flcosα可判断一对相互作用的滑动摩擦力做功的总和不为零.

(2)一对相互作用的静摩擦力等大反向且物体之间相对静止,即两个物体的对地位移相同,由W=Flcosα可判断一对相互作用的静摩擦力做功的总和为零.

三、功率的计算

例5如图6甲所示,滑轮质量、摩擦均不计,质量为2kg的物体在F作用下由静止开始向上做匀加速运动,其速度随时间的变化关系如图乙所示,由此可知(g取10m/s2)()

图6

A.物体加速度大小为2m/s2

B.F的大小为21N

C.4s末F的功率大小为42W

D.4s内F做功的平均功率为42W

解析由速度-时间图象可得加速度a=0.5m/s2.由牛顿第二定律得:

2F-mg=ma,所以F=

=10.5N.4s末,P=Fv=10.5×2×2W=42W.4s内,

W=21W,故选项C准确.

答案C

[方法总结]

计算功率的基本思路

(1)首先判断待求功率是瞬时功率还是平均功率.

(2)功率的计算方法:

①平均功率:

a.利用

b.利用

=F

cosα.

②瞬时功率:

P=Fvcosα,v是瞬时速度.

针对训练如图7所示,从空中以40m/s的初速度平抛一重为10N的物体,物体在空中运动3s落地,不计空气阻力,取g=10m/s2,则物体下落过程中的平均功率和落地前瞬间,重力的瞬时功率分别为()

图7

A.300W300WB.150W300W

C.150W500WD.300W500W

答案B

解析下落过程的平均功率

,而h=

gt2,得

W=150W.物体落地瞬间vy=gt=30m/s,所以PG=Gvy=300W,故B准确.

四、机车启动问题

1.机车的输出功率:

P=Fv,其中F为机车的牵引力,v为机车的瞬时速度.

2.无论哪种启动过程,机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度,即vm=

.

3.机车以恒定加速度启动,匀加速过程结束时,功率最大,但速度不最大,v=

.

4.机车以恒定功率运行时,牵引力的功W=Pt.

例6如图8所示,为修建高层建筑常用的塔式起重机.在起重机将质量m=5×103kg的重物竖直吊起的过程中,重物由静止开始向上做匀加速直线运动,加速度a=0.2m/s2,当起重机输出功率达到其允许的最大值时,保持该功率直到重物做vm=1.02m/s的匀速运动.取g=10m/s2,不计额外功.求:

图8

(1)起重机允许的最大输出功率;

(2)重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2s末的输出功率.

解析

(1)设起重机允许的最大输出功率为P0,重物达到最大速度时拉力F0等于重力.

P0=F0vm,F0=mg.

代入数据,得:

P0=5.1×104W.

(2)匀加速运动结束时,起重机达到允许的最大输出功率,

设此时重物受到的拉力为F,速度为v1,匀加速运动经历时间为t1,

有:

P0=Fv1,F-mg=ma,v1=at1.

代入数据,得t1=5s.

t=2s时,重物处于匀加速运动阶段,

设此时速度为v2,输出功率为P,

v2=at,P=Fv2.

得:

P=2.04×104W.

答案

(1)5.1×104W

(2)5s2.04×104W

1.以一定的速度竖直向上抛出一个小球,小球上升的最大高度为h,空气的阻力大小恒为F,则从抛出至落回出发点的过程中,空气阻力对小球做的功为()

A.0B.-Fh

C.-2FhD.-4Fh

答案C

解析从全过程看,空气的阻力为变力,但将整个过程分为两个阶段:

上升阶段和下落阶段,小球在每个阶段受到的阻力都为恒力,且总是跟小球运动的方向相反,所以空气阻力对小球总是做负功.全过程空气阻力对小球做的功等于两个阶段所做功的代数和,即W=W上+W下=(-Fh)+(-Fh)=-2Fh.空气阻力、摩擦阻力是一种特殊的力,在计算这种力做的功时,不可简单地套用功的计算公式W=Flcosα,得出W=0的错误结论.从上面的准确结果能够看出:

空气阻力做的功在数值上等于阻力与全过程中小球路程的乘积.故选C.

2.如图9所示,A、B两物体叠放在一起,A被不可伸长的细绳水平系于左墙上,B在拉力F作用下,向右匀速运动,在此过程中,A、B间的摩擦力做功情况是()

图9

A.对A、B都做负功

B.对A、B都不做功

C.对A不做功,对B做负功

D.对A做正功,对B做负功

答案C

3.(多选)一辆轿车质量为m,在平直公路上运行,启动阶段轿车牵引力保持不变,而后以额定功率继续行驶,经过一定时间,其速度由零增大到最大值vm,若所受阻力恒为Ff.则关于轿车的速度v、加速度a、牵引力F、功率P的图象准确的是()

答案ACD

解析因为汽车受到的牵引力不变,加速度不变,所以汽车在开始阶段做匀加速运动,当实际功率达到额定功率时,功率不增加了,再增加速度,就须减小牵引力,当牵引力减小到等于阻力时,加速度等于零,速度达到最大值vm=

,所以A、C、D准确,B错误.

4.如图10所示,水平传送带正以v=2m/s的速度运行,两端水平距离l=8m,把一质量m=2kg的物块轻轻放到传送带的A端,物块在传送带的带动下向右运动,若物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.1,不计物块的大小,g取10m/s2,则把这个物块从A端传送到B端的过程中,摩擦力对物块做功的平均功率是多少?

1s时,摩擦力对物块做功的功率是多少?

传送带克服摩擦力做功的功率是多少?

图10

答案0.8W2W4W

解析物块受向右的摩擦力为:

Ff=μmg=0.1×2×10N=2N,

加速度为a=

=μg=0.1×10m/s2=1m/s2,

当物块与传送带相对静止时,物块的位移为:

x=

m=2m,

摩擦力做功为:

W=Ffx=2×2J=4J,

相对静止后物块与传送带之间无摩擦力,此后物块匀速运动到B端,物块由A端运动到B端所用的时间为:

t=

s+

s=5s,

则物块在被传送过程中所受摩擦力的平均功率为:

W=0.8W,

1s时,物块的速度为:

v1=at1=1m/s,

则摩擦力对物块做功的功率为:

P1=Ffv1=2×1W=2W,

传送带的速度为v=2m/s,故传送带克服摩擦力做功的功率为:

P2=Ffv=2×2W=4W.

一、选择题(1~6为单项选择题,7~10为多项选择题)

1.关于摩擦力做功,下列说法中准确的是()

A.滑动摩擦力防碍物体的相对运动,一定做负功

B.静摩擦力起着防碍物体的相对运动趋势的作用,一定不做功

C.静摩擦力和滑动摩擦力一定都做负功

D.滑动摩擦力能够对物体做正功

答案D

解析摩擦力总是防碍物体间的相对运动或相对运动趋势,而且摩擦力对物体既能够做正功,也能够做负功,还能够不做功.综上所述,只有D准确.

2.一个物体在粗糙的水平面上运动,先使物体向右滑动距离l,再使物体向左滑动l,正好回到起点,来回所受摩擦力大小都为Ff,则整个过程中摩擦力做功为()

A.0B.-2FflC.-FflD.无法确定

答案B

解析由题意可知,物体运动过程可分两段,两段内摩擦力做功均为负功,即W=-Ffl,则全程摩擦力所做的功W总=-2Ffl.

3.起重机的吊钩下挂着质量为m的木箱,如果木箱以大小为a的加速度匀减速下降了高度h,则木箱克服钢索拉力所做的功为()

A.mghB.m(a-g)h

C.m(g-a)hD.m(a+g)h

答案D

解析木箱克服钢索拉力所做的功就是钢索对木箱做负功的大小,因钢索的拉力F=m(g+a),所以拉力做的功WF=-m(g+a)h,即木箱克服钢索拉力所做的功为m(g+a)h,D对.

4.如图1所示,在天花板上的O点系一根细绳,细绳的下端系一小球.将小球拉至细绳处于水平的位置,由静止释放小球,小球从位置A开始沿圆弧下落到悬点的正下方的B点的运动过程中,下面说法准确的是()

图1

A.小球受到的向心力大小不变

B.细绳对小球的拉力对小球做正功

C.细绳的拉力对小球做功的功率为零

D.重力对小球做功的功率先变小后变大

答案C

解析小球从A点运动到B点过程中,速度逐渐增大,由向心力Fn=m

可知,向心力增大,故A错误;拉力的方向始终与小球的速度方向垂直,所以拉力对小球做功为零,功率为零,故B错误,C准确;该过程中重力的功率从0变化到0,应是先增大后减小,故D错误.

5.下表列出了某种型号轿车的部分数据,试根据表中数据回答问题.

长/mm×宽/mm×高/mm

4871×1835×1460

净重/kg

1500

传动系统

前轮驱动与挡变速

发动机型式

直列4缸

发动机排量(L)

2.2

最高时速(km/h)

144

100km/h的加速时间(s)

15

额定功率(kW)

120

图2

表格下方图2为轿车中用于改变车速的挡位.手推变速杆到达不同挡位可获得不同的运行速度,从“1~5”逐挡速度增大,R是倒车挡.试问轿车要以最大动力上坡,变速杆应推至哪一挡?

该车以额定功率和最高速度运行时,轿车的牵引力为多大?

A.“1”挡、3000NB.“5”挡、3000N

C.“1”挡、2000ND.“5”挡、2000N

答案A

解析根据公式P=Fv可得功率恒定,速度越小,牵引力越大,故应该推至“1”挡上坡,该车以额定功率和最高速度运行时,F=

=3000N,故A准确.

6.放在粗糙水平地面上的物体受到水平拉力的作用,在0~6s内其速度与时间的图象和该拉力的功率与时间的图象如图3甲、乙所示.下列说法准确的是()

图3

A.0~6s内物体的位移大小为20m

B.0~6s内拉力做功为100J

C.滑动摩擦力的大小为5N

D.0~6s内滑动摩擦力做功为-50J

答案D

解析在0~6s内物体的位移大小为x=

×(4+6)×6m=30m,故A错误;P-t图线与时间轴围成的面积表示拉力做功的大小,则拉力做功WF=

×2×30J+10×4J=70J,故B错误;在2~6s内,v=6m/s,P=10W,物体做匀速运动,摩擦力Ff=F,得Ff=F=

N,故C错误;在0~6s内物体的位移大小为30m,滑动摩擦力做负功,即Wf=-

×30J=-50J,D准确.

7.用竖直向上的拉力F将一个质量为m的物体从静止开始,以加速度a向上匀加速提起,经t时间,物体上升的高度为h.则t时间末,作用力F的瞬时功率为()

A.FatB.

C.

D.

答案AC

解析t时间末,物体的速度为v=at,故t时间末,力F的瞬时功率为P=Fv=Fat.又因为a=

,故F的瞬时功率也可表示为P=

.故A、C准确.

8.如图4所示,一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块,并留在木块当中,在此过程中子弹钻入木块的深度为d,木块的位移为l,木块与子弹间的摩擦力大小为F,则()

图4

A.F对木块做功为Fl

B.F对木块做功为F(l+d)

C.F对子弹做功为-Fd

D.F对子弹做功为-F(l+d)

答案AD

解析木块的位移为l,由W=Flcosα得F对木块做功为Fl,子弹的位移为l+d,木块对子弹的摩擦力的方向与位移方向相反,故木块对子弹的摩擦力做负功,W=-F(l+d).故A、D准确.

9.汽车发动机的额定功率为60kW,汽车质量为5t.汽车在水平面上行驶时,阻力与车重成正比,g=10m/s2,当汽车以额定功率匀速行驶时速度为12m/s.突然减小油门,使发动机功率减小到40kW,对接下来汽车的运动情况的描述准确的有()

A.先做匀减速运动再做匀加速运动

B.先做加速度增大的减速运动再做匀速运动

C.先做加速度减小的减速运动再做匀速运动

D.最后的速度大小是8m/s

答案CD

解析根据P=Fv知,功率减小,则牵引力减小,牵引力小于阻力,根据牛顿第二定律知,汽车产生加速度,加速度的方向与速度方向相反,汽车做减速运动,速度减小,则牵引力增大,知汽车做加速度减小的减速运动,当牵引力再次等于阻力时,汽车做匀速运动,故A、B错误,C准确;当功率为60kW时,匀速直线运动的速度为12m/s,则Ff=

N=5000N,当牵引力再次等于阻力时,又做匀速直线运动,v2=

m/s=8m/s,故D准确.

10.如图5所示为某汽车在平直公路上启动时发动机功率P随时间t变化的图象,P0为发动机的额定功率.已知在t2时刻汽车的速度已经达到最大vm,汽车所受阻力大小与速度大小成正比.由此可得()

图5

A.在t3时刻,汽车速度一定等于vm

B.在t1~t2时间内,汽车一定做匀速运动

C.在t2~t3时间内,汽车一定做匀速运动

D.在发动机功率达到额定功率前,汽车一定做匀加速运动

答案AC

解析已知在t2时刻汽车的速度已经达到最大vm,此后汽车做匀速直线运动,速度不变,所以在t3时刻,汽车速度一定等于vm.故A准确.0~t1时间内汽车的功率均匀增加,汽车所受阻力不变,牵引力不变,汽车做匀加速直线运动;汽车的功率在t1时刻达到额定功率,根据P=Fv,速度继续增大,牵引力减小,则加速度减小,则在t1~t2时间内汽车做加速度减小的加速运动,故B错误.在t2~t3时间内,汽车已达到最大速度,且功率保持不变,汽车一定做匀速直线运动,故C准确.由此分析知,在发动机功率达到额定功率前,汽车先做匀加速运动,后做加速度减小的变加速运动,故D错误.

二、非选择题

11.如图6甲所示,在风洞实验室里,一根充足长的细杆水平固定,某金属小球穿在细杆上静止于细杆左端,现有水平向右的风力F作用于小球上,风力F随时间t变化的F-t图象如图乙所示,小球沿细杆运动的v-t图象如图丙所示,取g=10m/s2,求0~5s内风力所做的功.

图6

答案18J

解析由题图丙可知0~2s为匀加速阶段,

a=

m/s2=1m/s2

0~2s内的位移:

x1=

at

×1×4m=2m,

2~5s内的位移:

x2=vt2=2×3m=6m,

则风力做功为

W=F1x1+F2x2=18J.

12.某探究性学习小组对一辆自制遥控车的性能实行研究.他们让这辆小车在水平地面上由静止开始运动,并将小车运动的全过程记录下来,通过数据处理得到如图7所示的v-t图象,已知小车在0~t1时间内做匀加速直线运动,t1~10s时间内小车牵引力的功率保持不变,7s末达到最大速度,在10s末停止遥控让小车自由滑行,小车质量m=1kg,整个运动过程中小车受到的阻力Ff大小不变.求:

图7

(1)小车所受阻力Ff的大小;

(2)在t1~10s内小车牵引力的功率P;

(3)求出t1的值及小车在0~t1时间内的位移.

答案

(1)2N

(2)12W(3)1.5s2.25m

解析

(1)在10s末撤去牵引力后,小车只在阻力Ff作用下做匀减速运动,

由图象可得减速时加速度的大小为a=2m/s2

则Ff=ma=2N

(2)小车做匀速运动阶段即7~10s内,设牵引力为F,则F=Ff

由图象可知vm=6m/s

解得P=Fvm=12W

(3)设t1时间内的位移为x1,加速度大小为a1,t1时刻的速度大小为v1,

则由P=F1v1得F1=4N,

F1-Ff=ma1得a1=2m/s2,

则t1=

=1.5s,

x1=

a1t

=2.25m.

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