秋人教版七年级数学上思维训练12以数轴为载体的方程问题含答案.docx

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秋人教版七年级数学上思维训练12以数轴为载体的方程问题含答案

2018年秋人教版七年级数学上

思维训练

12以数轴为载体的方程问题含答案

方法点津·

1．如图15－S－1，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，则A，B两点之间的距离可以表示为AB＝|a－b|，或用右边的数减去左边的数为AB＝b－a.

图15－S－1

2．通常利用数轴上距离（路程）之间的数量关系，列出一元一次方程，解决相遇与追及问题．相遇问题的基本相等关系是“两点初始距离等于两点所走的路程和”；追及问题的基本相等关系是“两点的路程差等于两点的初始距离”．

典题精练·

类型一　相遇问题

1．如图15－S－2，已知数轴上有A，B，C三点，分别表示有理数－26，－10，10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，设点P移动的时间为t秒．

（1）用含t的式子表示点P对应的数：

________；用含t的式子表示点P和点C的距离：

PC＝________．

（2）当点P运动到点B时，点Q从点A出发，以每秒3个单位的速度向点C运动，点Q到达点C后，再立即以同样的速度返回点A，探究点P，Q同时运动的过程中能否相遇，若相遇，请求出相遇时t的值．

图15－S－2

2．已知数轴上有A，B，C三点，分别表示－12，－5，5，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时出发，甲的速度是每秒2个单位，乙的速度是每秒3个单位．

（1）若甲、乙相向而行，则甲、乙在数轴上的哪个点相遇？

（2）若甲、乙相向而行，则多少秒后甲到A，B，C三点的距离之和为20个单位？

（3）在

（2）的条件下，当甲到A，B，C三点的距离之和为20个单位时，甲调头返回，则甲、乙还能在数轴上相遇吗？

若能，求出相遇点；若不能，请说明理由．

3．甲、乙两辆汽车在一条公路上匀速行驶，为了确定汽车的位置，我们用数轴表示这条公路，并规定向右为正方向，原点O为0km路标，并作如下约定：

位置为正，表示汽车位于0km右侧；位置为负，表示汽车位于0km左侧，位置为0，表示汽车位于0km处．

（1）根据题意，填写下列表格：

时间（h）

0

3

5

x

甲车位置（km）

150

－30

乙车位置（km）

70

150

（2）甲、乙两车能否相遇？

如能相遇，求出相遇时间及相遇时的位置；如不能相遇，请说明理由．

（3）甲、乙两车能否相距120km？

若能，求出两车相距120km时的时间；若不能，请说明理由．

4．数学问题：

如图15－S－3，在数轴上点A表示的数为－20，点B表示的数为40，动点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿正方向运动，动点Q从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点N从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点N回到点B时，三点停止运动．

图15－S－3

（1）三个动点运动t（0＜t＜5）秒时，P，Q，N三点在数轴上所表示的数分别为________，________，________．

（2）当QN＝10个单位时，求此时点P在数轴上所表示的数．

（3）尝试借助上面数学问题的解题经验，建立数轴完成下面的实际问题：

码头C位于A，B两码头之间，且知AC＝20海里，AB＝60海里，甲船从A码头顺流驶向B码头，乙船从C码头顺流驶向B码头，丙船从B码头开往C码头后立即调头返回B码头．已知甲船在静水中的航速为5海里/时，乙船在静水中的航速为4海里/时，丙船在静水中的航速为8海里/时，水流速度为2海里/时，三船同时出发，每艘船都行驶到B码头停止．

在整个运动过程中，是否存在某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？

若存在，请求出此时甲船离B码头的距离；若不存在，请说明理由．

类型二　追及问题

5．动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位．已知动点A，B的速度比是1∶4.（速度单位：

单位/秒）

（1）求出两个动点运动的速度，并在如图15－S－4所示的数轴上标出A，B两点从原点出发运动3秒时的位置；

（2）若A，B两点从

（1）中的位置同时向数轴负方向运动，则几秒后原点恰好处在两个动点正中间？

（3）在

（2）中A，B两点继续同时向数轴负方向运动时，另一动点C同时从B点位置出发向A点运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，点C立即停止运动．若点C一直以20单位/秒的速度匀速运动，则点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位？

图15－S－4

详解详析

1．解：

（1）－26＋t　36－t

（2）①点Q返回前相遇：

3（t－16）＝t，

解得t＝24；

②点Q返回后相遇：

3（t－16）＋t＝36×2.

解得t＝30.

综上所述，点P，Q同时运动的过程中能相遇，相遇时t的值是24或30.

2．解：

（1）设甲、乙行驶x秒时相遇．

根据题意，得2x＋3x＝17，解得x＝3.4，2×3.4＝6.8，

－12＋6.8＝－5.2.

答：

甲、乙在数轴上表示－5.2的点处相遇．

（2）设y秒后甲到A，B，C三点的距离之和为20个单位，

点B距A，C两点的距离之和为7＋10＝17＜20，点A距B，C两点的距离之和为7＋17＝24＞20，点C距A，B两点的距离之和为17＋10＝27＞20，故甲应位于A，B或B，C之间．

①当甲位于A，B之间时，得2y＋（7－2y）＋（7－2y＋10）＝20，解得y＝2；

②当甲位于B，C之间时，得2y＋（2y－7）＋（17－2y）＝20，解得y＝5.

答：

若甲、乙相向而行，2秒或5秒后甲到A，B，C三点的距离之和为20个单位．

（3）能．①甲从点A向右运动2秒时返回，设a秒后与乙相遇．此时甲、乙在数轴上对应同一点，所表示的数相同．

甲表示的数为－12＋2×2－2a；乙表示的数为5－3×2－3a，

依据题意，得－12＋2×2－2a＝5－3×2－3a，

解得a＝7，

相遇点表示的数为－12＋2×2－2a＝－22；

②甲从点A向右运动5秒时返回，设b秒后与乙相遇．

此时甲表示的数为－12＋2×5－2b；乙表示的数为5－3×5－3b，

依据题意，得－12＋2×5－2b＝5－3×5－3b，

解得b＝－8（不合题意，舍去）．

即甲从点A向右运动2秒时返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为－22.

3．解：

（1）填表如下：

时间（h）

0

3

5

x

甲车位置（km）

150

－30

－150

150－60x

乙车位置（km）

－50

70

150

－50＋40x

（2）能相遇．由题意，得150－60x＝－50＋40x，

解得x＝2，150－60×2＝30.

答：

相遇时间为2h，且位于0km路标右侧30km处．

（3）能．①150－60x＋120＝－50＋40x，解得x＝3.2；

②150－60x－120＝－50＋40x，解得x＝0.8.

答：

两车相距120km时的时间为0.8h或3.2h.

4．解：

（1）－20＋5t　4t　40－8t

（2）点Q，N相遇的时间为

秒，点Q到点B的时间为10秒，点N到点O的时间为5秒，点N从出发到返回到点B的时间为10秒．

点N到点O前，点P所表示的数为－20＋5t；点Q所表示的数为4t；点N所表示的数为40－8t.

①点Q，N相遇前，如图（a）：

40－8t－4t＝10，解得t＝2.5，

此时点P所表示的数为－20＋5×2.5＝－7.5；

②点Q，N相遇后，点N到达点O前，如图（b），4t－（40－8t）＝10，解得t＝

，

此时点P所表示的数为－20＋5×

＝

；

③点Q，N相遇后，点N到达点O后，如图（c），

点P所表示的数为－20＋5t；点Q所表示的数为4t；点N所表示的数为8（t－5），

4t－8（t－5）＝10，解得t＝7.5，

此时点P所表示的数为－20＋5×7.5＝17.5.

（3）存在．由数学问题的解题经验可建立如图（d）所示的数轴，点A所表示的数为－20，点C所表示的数为0，点B所表示的数为40.甲从点A出发以每秒7个单位的速度向点B运动，乙从点C出发以每秒6个单位的速度向点B运动，丙从点B出发以每秒6个单位的速度向点C运动，到达点C后立即以每秒10个单位速度返回，甲、乙、丙同时出发，当甲、乙、丙都运动到点B时，运动停止．甲到C的时间为

秒，甲到B的时间为

秒，乙到B的时间为

秒，丙到C的时间为

秒，丙从出发到返回到B的时间为

秒，甲遇丙的时间为

秒，乙遇丙的时间为

秒，甲追上乙的时间为20秒（舍），丙追上甲的时间为

秒（舍）．丙到达C前，甲所表示的数为－20＋7t；乙所表示的数为6t；丙所表示的数为40－6t.

①乙、丙相遇前：

6t－（－20＋7t）＝40－6t－6t，解得t＝

，所以甲船离B码头的距离为40－（－20＋7×

）＝

（海里）；

②甲、丙相遇前：

40－6t－（－20＋7t）＝6t－（40－6t），解得t＝4，所以甲船离B码头的距离为40－（－20＋7×4）＝32（海里）；

③甲、丙相遇后，丙到达C前：

6t－（－20＋7t）＝－20＋7t－（40－6t），解得t＝

，所以甲船离B码头的距离为40－（－20＋7×

）＝20（海里）；

④甲、丙相遇后，丙到达C后：

甲所表示的数为－20＋7t；乙所表示的数为6t；丙所表示的数为10（t－

）.6t－（－20＋7t）＝－20＋7t－10（t－

），解得t＝

＞

（舍）．

综上所述，在整个运动过程中，分别在

小时、4小时、

小时时，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等，此时甲船离B码头的距离分别为

海里、32海里、20海里．

5．解：

（1）设点A的运动速度为x单位/秒，则点B的运动速度为4x单位/秒．

由题意得3x＋3×4x＝15，

解得x＝1.

所以点A的运动速度是1单位/秒，点B的运动速度是4单位/秒；

A，B两点所在位置如图：

（2）设y秒后，原点恰好处在A，B两点的正中间．

由题意得y＋3＝12－4y，解得y＝

.

答：

经过

秒后，原点恰好处在A，B两点的正中间．

（3）设B追上A需z秒，则

4×z－1×z＝2×（

＋3），解得z＝

，

20×

＝64.

答：

C点运动的路程是64单位．