学年福建省普通高中高二学业水平合格性考试数学试题解析.docx
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学年福建省普通高中高二学业水平合格性考试数学试题解析
2019-2020学年福建省普通高中高二1月学业水平合格性考试数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】直接根据集合的交集运算可得结果.
【详解】
因为集合，，
所以.
故选：
A.
【点睛】
本题考查了集合的交集运算，属于基础题.
2．已知向量，，则等于（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据平面向量加法的坐标运算公式可得结果.
【详解】
因为向量，，
所以，
故选：
D.
【点睛】
本题考查了平面向量加法的坐标运算，属于基础题.
3．如图放置的圆柱，它的俯视图是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据俯视图的定义，结合选项可得答案.
【详解】
俯视图为由上向下观察的平面图形，所以俯视图为圆，
故选：
C.
【点睛】
本题考查了由直观图判断三视图，属于基础题.
4．等比数列2，4，8，…的公比为（）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【解析】利用等比数列的定义求公比即可.
【详解】
由已知2，4，8，…为等比数列，
则公比.
故选：
C.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的概念.属于容易题.
5．某射击运动员在一次射击测试中射靶5次，每次命中的环数分别为9，9，10，9，8，则他这次射击测试的平均环数为（）
A．7B．8C．9D．10
【答案】C
【解析】根据一组数据的平均数公式计算可得答案.
【详解】
他这次射击测试的平均环数为.
故选：
C.
【点睛】
本题考查了一组数据的平均数公式，属于基础题.
6．不等式组，表示的平面区城为（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】采用排除法可得答案.
【详解】
由，排除B，C，
由满足知A符合，
故选：
A.
【点睛】
本题考查了二元一次不等式组表示的平面区域，属于基础题.
7．随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则其向上一面的点数为偶数的概率为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】利用列举法可得基本事件的总数和所求事件包含的基本事件数，再根据古典概型的概率公式可得结果.
【详解】
随机抛掷一枚骰子，向上点数有1，2，3，4，5，6共6种，为偶数的为2，4，6共3种情况，则概率为.
故选：
D.
【点睛】
本题考查了利用列举法求古典概型的概率，属于基础题.
8．已知直线：
，：
，若，则实数等于（）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【解析】根据两条直线的斜率乘积等于可得结果.
【详解】
因为直线：
，：
，且，
所以，即.
故选：
A.
【点睛】
本题考查了由两条直线垂直求参数值，属于基础题.
9．不等式的解集是（）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【解析】根据二次不等式的解法求解即可.
【详解】
由即得或.
所以原不等式的解集为：
或.
故选：
D.
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，属于简单题.
10．已知是第二象限的角，且，则等于（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据同角三角函数的基本关系及二倍角的正弦公式求解.
【详解】
因为是第二象限的角，
所以，
.
故选：
A
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，属于容易题.
11．已知，，，则，，的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】根据对数函数的单调性可得，，.
【详解】
由，
且，即，
，即.
故选：
B.
【点睛】
本题考查了利用对数函数的单调性比较大小，属于基础题.
12．函数的最大值是（）
A．B．C．1D．
【答案】C
【解析】先利用辅助角公式化简整理，再利用三角函数的值域求解最大值即可.
【详解】
由，
又函数的值域为，
则函数的最大值为1.
故选：
C.
【点睛】
本题主要考查了辅助角公式以及求三角函数的最值问题.属于较易题.
13．已知函数，，的图象如图所示，则实数，，的大小关系是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】取，根据指数函数的图象可得结果.
【详解】
当取1时，三个函数的函数值分别为，，，由图知.
故选：
D.
【点睛】
本题考查了指数函数的图象的应用，属于基础题.
14．函数的定义域为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据函数有意义的条件列出关于x的不等式组，解对数不等式组即可.
【详解】
由题，解得
所以.
故选：
B.
【点睛】
本题考查了函数定义域的求解，其中主要考查了对数及根式有意义的条件，属于简单题，解题的关键在于对数不等式的解法的掌握.
15．用一段长为36米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园.已知墙长20米，则菜园面积的最大值是（）
A．144B．160C．162D．180
【答案】C
【解析】设菜园靠墙一边的长为米，则矩形菜园的宽为米，且，根据矩形的面积公式得到矩形的面积，再根据基本不等式求出最大值即可得解.
【详解】
设菜园靠墙一边的长为米，则矩形菜园的宽为米，且，
则菜园面积.当且仅当即时等号成立，
故选：
C.
【点睛】
本题考查了函数的应用，考查了利用基本不等式求最值，属于基础题.
二、填空题
16．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的的值为3，则输出的的值是______.
【答案】2
【解析】根据程序框图判断框内的条件进行判断及运算即可.
【详解】
根据程序框图可知，当时，应执行步骤，
所以输出的值为.
故答案为：
.
【点睛】
本题考查根据程序框图判断输出的结果，属于简单题.
17．已知，，与的夹角，则______.
【答案】10
【解析】由计算出答案即可
【详解】
因为，，与的夹角
所以
故答案为：
10
【点睛】
本题考查的是向量数量积的直接计算，属于基础题.
18．在中，，，，则______.
【答案】
【解析】直接根据正弦定理可解得结果.
【详解】
由正弦定理得，
所以，得.
故答案为：
.
【点睛】
本题考查了正弦定理解三角形，属于基础题.
19．已知，则______.
【答案】2
【解析】根据分段函数的解析式代入求值即可得解.
【详解】
.
故答案为：
2.
【点睛】
本题考查了求分段函数的函数值，属于基础题.
20．已知函数.若对任意，，且，均有，则实数的取值范围______.
【答案】
【解析】已知条件转化为函数在上为单调函数，根据对称轴与区间端点的关系列式可解得结果.
【详解】
依题意分析可知，函数在上为单调函数，
所以或，即或.
故答案为：
.
【点睛】
本题考查了二次函数的单调性，属于基础题.
三、解答题
21．已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求.
【答案】
（1）；
（2）.
【解析】
（1）设等差数列的首项为，公差为，由等差数列的通项公式代入，，即可得解；
（2）由
（1）求出通项公式，进而求出，代入求和公式即可的解.
【详解】
（1）设等差数列的首项为，公差为，
因为，，
所以，，
解得，.
所以，，
所以的通项公式为，.
（2）由
（1）知，，
因为，
所以，
即，
化简得，
解得.
【点睛】
本题考查了等差数列基本量的计算，考查了等差数列的通项公式和求和公式，有一定的计算量，难度不大，是基础题.
22．已知圆：
，点，直线过点且倾斜角为.
（1）判断点与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若，求直线被圆所戴得的弦的长.
【答案】
（1）点在圆内，理由见解析；
（2）.
【解析】
（1）根据可得结果；
（2）利用点斜式求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，根据勾股定理可求得弦长.
【详解】
（1）点在圆内,理由如下：
由已知得圆的圆心为，半径，
因为，所以.
因为，所以点在圆内.
（2）因为，所以直线的斜率为.
因为直线过点，
所以直线的方程为，即，
由圆心到直线的距离，
所以.
【点睛】
本题考查了点与圆的位置关系，考查了直线方程的点斜式，考查了点到直线的距离公式，属于基础题.
23．某地区2010年至2016年农村居民家庭人均纯收入（单位：
千元）的数据如表：
年份
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
年份代号
1
2
3
4
5
6
7
人均纯收入
2.9
3.3
3.6
4.4
4.8
5.2
5.9
（1）求关于的线性回归方程；
（2）利用
（1）中的线性回归方程，分析2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入.
附：
回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，
【答案】
（1）；
（2）2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，7.8千元.
【解析】
（1）根据根据最小二乘法估计公式，基础线性回归方程的基本量，即可得解；
（2）由
（1）知，，故2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，将2020年的年份代号代入，即可得解.
【详解】
（1）由题意得，
，
所以
所以，
所以关于的线性回归方程为.
（2）由
（1）知，，
故2010年至2016年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，
将2020年的年份代号代入，
得，
故预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入为7.8千元.
【点睛】
本题考查了线性回归方程的计算，考查了对线性回归方程各个量的理解以及线性回归方程的预测作用，在解题时公式已经给出，计算相对较为繁琐，属于中档题.
24．如图，在直四棱柱中，库面四边形的对角线，互相平分，为的中点.
（1）求证：
平面；
（2）若______，则平面平面.试在三个条件“①四边形是平行四边形；②四边形是矩形；③四边形是菱形”中选取一个，补充在上面问题的横线上，使得结论成立，并证明.
【答案】
（1）证明见解析；
（2）答案见解析，证明见解析.
【解析】
（1）设，连接，由题意得，利用线面平行的判定定理证明即可；
（2）先判断三个条件，判断选择的条件是③；先利用菱形的特点得到，又几何体为直四棱柱，得到平面，进而得到，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理证明即可.
【详解】
（1）证明：
如图，设，
因为，互相平分，
所以为的中点.
连接，因为为的中点，
所以.
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：
选择的条件是③.
证明如下：
因为四边形是菱形，
所以，
因为四棱柱是直四棱柱，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，
所以平面，
因为平面AEC，
所以平面平面.
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定定理以及线面垂直，面面垂直的判定定理.属于中档题.
25．已知定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，4是它的一个周期，且的图象关于点对称.
（1）试给出满足上述条件的一个函数，并加以证明；
（2）若，，写出的解析式和单调递增区间.
【答案】
（1），证明见解析；
（2），单调递增区间是.
【解析】
（1），根据偶函数的定义可证是偶函数；根据周期函数的定义可证4是函数的一个周期；设关于点的对称点为，利用中点公式求出，可证点也在函数的图象上.
（2）利用对称性求出当时，，再根据周期性可求出的解析式；先求出函数在一个周期内的递增区间为，再根据周期性得到函数的单调递增区间.
【详解
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