函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一.docx

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函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一

函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。

本文拟通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的教学进行一些探索。

1、函数概念的纵向发展

1．1早期函数概念——几何观念下的函数

十七世纪伽俐略（G．Galileo，意，1564－1642）在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。

1673年前后笛卡尔（Descartes，法，1596－1650）在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。

1．2十八世纪函数概念——代数观念下的函数

1718年约翰·贝努利（BernoulliJohann，瑞，1667－1748）才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：

由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。

18世纪中叶欧拉（L．Euler，瑞，1707－1783）就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号。

欧拉给出的定义是：

一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。

他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。

1．3十九世纪函数概念——对应关系下的函数

1822年傅里叶（Fourier，法，1768－1830）发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次。

1823年柯西（Cauchy，法，1789－1857）从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法，但是对函数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。

1837年狄利克雷（Dirichlet，德，1805－1859）认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：

“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。

”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。

至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。

等到康托尔（Cantor，德，1845－1918）创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦（Veblen，美，1880－1960）用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）。

1．4现代函数概念——集合论下的函数

1914年豪斯道夫（F．Hausdorff）在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数。

其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。

库拉托夫斯基（Kuratowski）于1921年用集合概念来定义“序偶”，即序偶（a，b）为集合{{a}，{b}}，这样，就使豪斯道夫的定义很严谨了。

1930年新的现代函数定义为，若对集合M的任意元素x，总有集合N确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f（x）。

元素x称为自变元，元素y称为因变元。

函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结，20世纪40年代，物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac－δ函数，它只在一点处不为零，而它在全直线上的积分却等于1，这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的，但由于广义函数概念的引入，把函数、测度及以上所述的Dirac－δ函数等概念统一了起来。

因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展。

一、函数概念的三种定义

   函数一词是由莱布尼兹1673年最早引入的，用来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的

量．例如，曲线上点的坐标、点的斜率、曲率半径等等．其后，伯努利把函数看作一个变量和一个常数组成的表达式，欧拉在伯努利之后把函数看做是含有变量和常数的任何方程和公式，不难看出，他们对函数的界定都没有跳出“表达式”的范围，

   后来，人们又给出了这样的定义：

“如果一个量依赖着另一个量，当后一个变化时前一个量也随着

变化，那么第一个量称为第二个量的函数．”这个定义虽然还没有道出函数的本质，但是，却把变化、运动注入到函数定义中去，是可喜的进步．

   1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基提出函数的定义：

“x的函数是这样的一个数，它对于每个x都有确定的值，并且随着x-起变化，函数值可以由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的，”这个定义跳出了“表达式”的框框，建立了变量与函数之间的对应关系，是对函数概念的一个重大发展，因为“对应”是函数概念的一种本质属性与核心部分．

   1837年，德国数学家狄里克莱认为，怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，所以他的定义是

“如果对于x的每一个值，），总有完全确定的值与之对应，则y是x的函数．”

   根据这个定义，即使像如下表述的，它仍然被说成是函数（狄里克莱函数）：

．

   在这个函数中，如果戈由0逐渐增大地取值，则f（x）忽0忽1．在无论怎样小的区间里，f（x）无

限制地从0到1．因此，它很难用一个或几个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表达式也是一个问

题．但是，不管其能否用表达式表示，在狄里克莱的定义下，这个以x）仍是一个函数，

   狄里克莱的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，以完全清晰的方式为所有数学家所接受．至此，我们已经可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义，即函数的“变量说”．

   到二十世纪初，取消了函数概念中变量只能为数的限制，突出了函数的本质特征——对应关系，用集合论的语言叙述为：

若对集合M的任意元素x，总有集合A中确定的元素y与之对应，则称在集合A上定义一个函数，记为y=f（x）．元素戈称为自变元，元素y称为因变元，这种定义方式叫做函数的“对应说“．

   可是，这个定义中还存在着意义不明确的概念“对应”．因此，数学家们给出了十分形式化的

定义．

   我们看到，“变量说”自然、形象、直观，易于理解，但也有其缺陷一面：

（1）“变量说”对函数的实质——对应缺少充分的刻画，这是最致命的缺陷．究竟函数是指x还是f（x），还是y=f（x）呢？

（2）“变量说”强调变量和变域——自变量和因变量、定义域和值域，而对对应规律却轻描淡写

一笔带过．

   例如，容易误解y=sin2x+cos2x（恒等于1）不是函数，

   而“对应说”和“关系说”建立在集合论的基础上，更接近现代数学语言，普适性强，更重要的是，它们都抓住了函数的本质——对应关系．

   二、借助函数概念的发展历史引入函数概念

   函数概念的一次又一次的扩张，是前人思维的一次又一次的突破，从中可以看到，函数概念的内涵被不断地挖掘、丰富和精确刻画，研究表明：

函数概念历史发展过程中的认识障碍也会成为今天课

堂上学生的认知障碍．因此，在函数概念教学中，如果能恰当借鉴历史，选择学生容易接受的典型情境探究函数概念，使学生在情境的识别与辨析中逐步体会它的形成过程，并且亲身感悟一次又一次逐步抽象出函数概念的方法，将有助于学生打破思维定势，形成清晰的认识，并深刻理解函数的概念．这是一个多层次逼近的过程，反映了认识由远及近、由模糊到清晰、由粗略到精细的过程，是教学中值得借鉴的．

   所以，我们可以根据学生的情况，借鉴函数的历史发展，让学生在探究函数概念的过程中，经历

3次函数概念的扩张，并最终归纳、总结出现行初中数学教材中的函数概念．

   1．让学生结合实例，从两个变量联系的角度，试着给出函数的定义，即从表达式的角度理解两个变量的关系，完成对函数概念内涵的第1次抽象认识

   例1指出下列变化过程中的变量和常量，并用适当的形式表达变量间的关系．

（1）-个水滴落到平静的湖面上，所形成的一系列圆的面积s与圆半径r的关系是____；

（2）锐角卢与锐角a互余，则口与仅的关系是____；

   （3）气体的质量m-定时，它的体积y与它的密度p之间的关系是____；

   （4）购买单价为1元／支的铅笔x支和单价5元／个的笔记本y个共花去80元，则x和y的关系是______________．．

   上述的每一个问题中，教师都提问：

在变化的过程中，谁是变量？

谁是常量？

两个变量间的关系是通过什么来刻画的？

   学生分别回答相应问题．

   进而教师提出问题：

你能总结在不同的变化过程中，变量间的关系有何共同特点呢？

   学生思考，总结上述例子变量间关系的共同特点：

（1）在某一变化过程中存在着两个变量；

（2）变化过程中两个变量之间存在一个关系式；

   （3）当一个变量的数值确定时，另一个变量的数值也随之确定．

   说明关于结论（3），学生可能不易得出该结论，如果学生没有总结出这一条，则先暂时放弃对这一条的总结，通过后续问题的研究，让学生慢慢地发现该结论，

   通过上述问题，感受到变量之间的相互联系．特别是二元一次方程，进一步促进学生认识两个量

之间是相互关联的，揭示变量间关系的一些共同特点．

   2．结合实例，让学生思考前面总结的函数定义是否完整，如果不完整，应该如何补充？

对函数从

表达式角度的理解过渡到函数是两个变量间的相互依赖关系的认识，完成对函数概念内涵的第2次

抽象

例2北京近几年机动车保有量统计表：

年份n

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

保有量m

（万辆）

170

190

212

230

258

288

313

350

400

476

（1）表格中有变量吗？

是什么？

（2）从表格中你能得出哪些结论？

   （3）你能写出汽车保有量m（万辆）与年份n之间的关系式吗？

例3

（1）统计图中有变量吗？

是什么？

（2）你能写天数m与年份n之间的关系式吗？

   在学生回答上述问题的基础上，教师指出，显然，例2中无法写出汽车保有量m（万辆）与年份n的关系式，例3中也无法写出天数m与年份n之间的关系式，那么联系例1、例2、例3，变量之间关系的共同特点是什么呢？

   学生对从例1中得出的共同特点作出修改，形成新的认识：

（1）在某一变化过程中存在着两个变量：

（2）当一个变量的数值确定时，另一个变量的数值随之确定．

   通过以上问题的思考，学生对变量间的共同属性有了进一步的认识：

即在一个变化过程中的两个变量，不一定存在一个确定的关系式；变量间的关系还可以通过表格、图象等形式来体现．两个变量存在“单值对应”的关系在上述例题中有所体现，但对这一关系的认识，需要通过辨析来加以明确．

   3．通过实例，让学生对函数概念的认识从变量间的相互依赖关系过渡到两个变量的对应关系，完成对函数概念内涵的第3次抽象认识

例4为使首都的交通状况得到改善，北京推行“公交先行”的战略．北京市某趟公交车的收费标准是：

12千米以内票价1元，每增加5千米以内加价0.5元，学生使用公交一卡通刷卡可享受2折优惠．请你计算乘车里程数x（千米）分别为5千米，10千米，13千米，15千米时，刷卡乘车实际所需要花的钱数y（元）．

   学生思考，回答上述问题：

当乘车里程数分别为5千米，10千米时，需花0.2元；当乘车里程数分别为13千米，15千米时，需花0.3元，教师追问学生：

在这个问题中，有哪些变量，变量间的关系有何特点？

和前面的例子比较，变量间关系的共同特点是什么呢？

在此问题中，学生应该能立刻意识到在这个变化过程中，当乘车的里程数x取不同数值时，刷卡乘车的费用y却可能相同；当乘车里程数x确定时，刷卡乘车的费用y却是唯一确定了，这点对学生构建对函数概念中“单值对应”的关系至关重要．

学生讨论，形成认识：

乘车费用y（元）并不一定随着乘车里程数x（千米）的变化而变化，但变量x的每一个确定数值，变量y都有唯一的数值与之对应．

 通过上述问题的解决，我们得出在这些问题中变量间关系的共同特点：

（1）在一个变化的过程中存在着两个变量；

（2）当其中一个变量取一确定数值时，另一个变量有唯一值与之对应，

 至此，学生对函数“变量说”中的两个变量间的关系有了清晰的认识，形成了函数的概念：

在一个变化过程中，有两个变量x与y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值和它对应，我们就把x称为自变量，），称为因变量，y是x的函数，

   这样设计函数概念的教学，目的是让学生沿着数学家探索函数概念所走过的路，经历“一次次地提出概念、一次次地推翻概念”的探究过程，让学生对函数概念的发展、内涵与外延认识得更加深刻，

   【作者简介】彭林，北京教育学院宣武分院二部（100054）；童纪元，北京十四中（100053）.

   【原文出处】《中学数学》：

初中版（武汉），2011.6.6—8

函数概念的发展与比较

江苏省扬州大学教育科学与技术学院　陈蓓

摘要：

函数概念是中学数学重要概念之一，从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的。

本文从自17世纪下半叶到现在300年来函数概念的纵向历史研究，以及中西方几种不同课程观下函数概念的横向比较入手，对函数概念的教学方面提出一些观点与看法。

关键词：

函数　函数概念　数学教学

函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。

但正是由于函数概念的抽象性与层次性，学生往往不习惯用集合、对应的观点去解释函数关系，缺乏用函数思想分析问题和解决问题的能力。

本文拟通过对函数概念的发展与比较的研究，对函数概念的教学进行一些探索。

1、函数概念的纵向发展

1．1早期函数概念──几何观念下的函数

十七世纪伽俐略（G．Galileo，意，1564－1642）在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。

1673年前后笛卡尔（Descartes，法，1596－1650）在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数概念，因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。

1．2十八世纪函数概念──代数观念下的函数

1718年约翰·贝努利（BernoulliJohann，瑞，1667－1748）才在莱布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：

由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”，表示为

，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。

18世纪中叶欧拉（L．Euler，瑞，1707－1783）就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号

。

欧拉给出的定义是：

一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。

他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。

1．3十九世纪函数概念──对应关系下的函数

1822年傅里叶（Fourier，法，1768－1830）发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对函数的认识又推进了一个新的层次。

1823年柯西（Cauchy，法，1789－1857）从定义变量开始给出了函数的定义，同时指出，虽然无穷级数是规定函数的一种有效方法，但是对函数来说不一定要有解析表达式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限，突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。

1837年狄利克雷（Dirichlet，德，1805－1859）认为怎样去建立x与y之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：

“对于在某区间上的每一个确定的x值，y都有一个或多个确定的值，那么y叫做x的函数。

”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。

至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。

等到康托尔（Cantor，德，1845－1918）创立的集合论在数学中占有重要地位之后，维布伦（Veblen，美，1880－1960）用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其它对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）。

1．4现代函数概念──集合论下的函数

1914年豪斯道夫（F．Hausdorff）在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数。

其优点是避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念，其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。

库拉托夫斯基（Kuratowski）于1921年用集合概念来定义“序偶”，即序偶（a，b）为集合{{a}，{b}}，这样，就使豪斯道夫的定义很严谨了。

1930年新的现代函数定义为，若对集合M的任意元素x，总有集合Ｎ确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义一个函数，记为y=f（x）。

元素x称为自变元，元素y称为因变元。

函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结，20世纪40年代，物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac－δ函数，它只在一点处不为零，而它在全直线上的积分却等于1，这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的，但由于广义函数概念的引入，把函数、测度及以上所述的Dirac－δ函数等概念统一了起来。

因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展。

2、函数概念的横向比较

函数概念，作为世界各国学生必修的内容，各国对其分配设置、处理方式不尽相同。

下图对中国与各个西方国家的函数概念作一横向比较：

函数概念引入──学习──深化的过程比较

中国

初三时引入函数概念，强调学生对于函数概念的形式化定义，用“变量”来描述函数概念。

高一时用“映射”来刻画函数概念。

法国

四五年级学生认识和使用小数集上定义的数值函数。

七年级，用图表表示情景，通过消费、发展、环境等让学生初步感受函数。

八年级，能用图、表或解析式等多种方式表示函数，但不给出严格定义。

九、十年级，用表格、图表处理一些其他领域的问题，定义处理十分谨慎。

高中时，大量增加函数内容。

日本

小学四年级开始接触函数关系的初步概念，对两个相依变化的数量关系进行研究并用图表来表示，用式子简洁的表示数量关系。

中学在数量关系领域把函数概念的学习划分为三个阶段，渗透函数思想。

美国

九年级以上的各类代数课本中，都首先定义“有序数对”、“关系”，再将函数定义为一种特殊的关系。

德国

初中由机器运算寄存器的有关知识展开所熟悉的简单算法，让学生在编写简单程序的同时开始学习变量、函数。

英国

由实际情景得到表达式，再得到数据，描点作出图象，利用曲线解决实际问题，在实际问题的解决中引入函数概念。

2．1函数概念引入方式上的差异

我国教材函数概念引入方式为：

实际例子（问题）→数学解答→从过程中提炼出函数概念。

这种方式更注重函数概念引入的系统性，从两个阶段入手，多层面，多角度地向学生介绍了以“变量”为基础的函数古典定义以及以“集合”为基础的现代函数定义，所呈现的函数概念结构较系统和完整，有利于学生基础知识和基本技能的熟练掌握，但学生对“对应关系”往往缺乏充分的理解，并且函数概念引入时间较晚，定义方式理论性较强，比较抽象，不利于学生深入理解函数思想的实质，以及自身辨证思维能力的发展。

西方各国函数概念的引入一般较早，函数概念引入方式为：

实际例子（问题）→数学概念→实际问题。

它更注重函数概念背景知识的铺垫，重视函数思想和方法的掌握，淡化函数的形式化定义，大多没有给出具体的函数概念，而是将实际应用中的问题与学生的认知结构相联系，以问题解决的形式让学生学习函数内容，应用数学的意识比较突出。

2．2函数概念与信息技术结合程度上的差异

我国函数概念教学中加强了函数与其他学科知识的联系，并且结合各种现代教育技术初步培养学生用数学能力，逐步提高学生分析问题，解决实际问题的能力。

但常常局限于用计算器进行简单求解，用计算机辅助教学等内容，没有很好的引导学生利用互联网资源自主学习。

西方各国大部分函数概念教学都与计算机技术教育相结合，涉及“寄储器”、“算法”等诸多计算机语言、计算机网络图，很好的培养了学生动手操作能力，调动学生积极思维，有利于学生树立正确的数学观，即数学不仅是书本上呈现的知识，而是广泛存在于我们的生活空间，拥有非常丰富的信息载体，学生应通过自主的学习行为去领略书本以外的数学世界。

3、函数概念教学的几点思考

3．1注重函数概念的早期渗透

函数概念的培养在小学已经开始了，进入中学，随着代数式、方程的研究以渗透了这一观念，任何一个含有字母的代数式，就可以看作它所含字母的函数。

所以教师可以在教学中，根据相关内容向学生渗透函数的思想，如代数式的学习，让学生了解到量与量之间的依存性；通过数的概念的发展，积累学生关于“集合”概念的初步思想；通过数轴和坐标的教学，渗透关于“对应”概念的初步思想等。

通过这样的铺垫，学生在接触到严谨而抽象的集合函数概念时，易于接受。

3．2注重学生学习函数概念的心理建构过程

建构主义学习理论认为：

应把学生看成是学生主动的建构活动，学习应与一定的知识、背景即情境相联系；在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有的知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识，这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。

在函数概念教学中，可以适当采用引导讨论，注重分析、启发、反馈，先从实际问题引入概念，然后揭示函数概念的共同特性：

（1）问题中所研究的两个变量是