导数压轴题处理套路.docx
《导数压轴题处理套路.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《导数压轴题处理套路.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
导数压轴题处理套路
QQ群545423319
导数压轴题处理套路
专题一双变量同构式（含拉格朗日中值定理）.....................................................
-2-
专题二分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则）....................................
-4-
专题三导数与零点问题（如何取点）..................................................................
-7
-
专题四隐零点问题整体代换..............................................................................
-13
-
专题五极值点偏移...........................................................................................
-18
-
专题六导数处理数列求和不等式.......................................................................
-25
-
说明：
题目全来自网络和群友分享，在此一并谢过
-1-
QQ群545423319
专题一双变量同构式（含拉格朗日中值定理）
例1.已知f（x）=（a+1）lnx+ax2+1
（1）讨论f（x）的单调性
（2）设a≤-2，求证：
∀x1,x2∈（0,+∞）,f（x1）-f（x2）≥4x1-x2
例2.已知函数f（x）=1x2-ax+（a-1）lnx，a>1。
2
（2）证明：
若a<5，则对任意x1，x2∈（0,+∞），x1≠x2，有f（x1）-f（x2）>-1。
x1-x2
例3.设函数f（x）=lnx+mx,m∈R.
（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的最小值；x
（3）若对任意b>a>0,f（b）-f（a）<1恒成立，求m的取值范围.
b-a
-2-
QQ群545423319
例4.已知函数f（x）=
1-lnx
x
（1）讨论函数y=f（x）的单调性
（2）对任意的x,x
∈⎡e2
+∞
f（x1）-f（x2）
>
k
，有
，求k的取值范围
12
⎣
）
x1-x2
x1x2
例5.已知函数f（x）=12x2-alnx+（a-2）x，是否存在a∈R，对任意x1，x2∈（0,+∞），
x1≠x2，f（x1）-f（x2）>a恒成立？
若存在，求之；若不存在，说明理由。
x1-x2
例6.已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率
为3．
（1）求实数a的值；
（2）若f（x）≤kx2对任意x>0成立,求实数k的取值范围；
（3）当n>m>1（m,n∈N*）时,证明：
n
m
>
m
．
n
mn
-3-
QQ群545423319
专题二分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则）
例1.已知函数f（x）=
alnx
+
b
，曲线y=f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程为x+2y-3=0.
x+1
x
（1）求a、b的值；
（2）如果当x>0，且x≠1时，f（x）>
lnx
+
k
，求k的取值范围.
x-1
x
例2.设函数f（x）=ex-1-x-ax2.
（1）若a=0，求f（x）的单调区间；
（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围.
例3.已知函数f（x）=x（ex-1）-ax2.
（1）若f（x）在x=-1时有极值，求函数f（x）的解析式；
（2）当x≥1时，f（x）≥0，求a的取值范围.
（3）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围.
-4-
QQ群545423319
例4.设函数f（x）=1-e-x.
（1）证明：
当x>-1时，f（x）≥
x
；
x+1
（2）设当x≥0时，f（x）≤
x
，求a的取值范围.
ax+1
sinx
例5.设函数f（x）=2+cosx．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）如果对任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范围．
例6.已知函数f（x）=x+e-x-1
λx+1
（1）证明：
当λ=0时间，f（x）≥0
（2）若当x≥0时，f（x）≥0，求实数λ的取值范围。
-5-
QQ群545423319
例7.已知函数f（x）=ln（x+1）+a（x2-x），其中a∈R
（1）讨论函数f（x）的极值点个数，并说明理由
（2）若∀x>0,f（x）≥0成立，求a取值范围。
⎛1
1
⎫
2
-ax.（a>0）
例8.已知函数f（x）=lnç
+
ax⎪
+x
⎝2
2
⎭
⎡
1
⎫
（1）求证0，+∞⎪
上是增函数
2
⎣
⎭
⎡
1
⎫
2
（2）若对任意的a∈（1,2），总存在x0
∈⎢
+∞⎪使不等式f（x0）>m（1
-a
）成立，求实
2
⎣
⎭
数m的取值范围
例9.已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.求a的取值范围；
-6-
QQ群545423319
例10.已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）.
（1）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1,f
（1））处的切线方程；
（2）若当x∈（1,+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围.
专题三导数与零点问题（如何取点）
例1.已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.
（1）讨论f（x）单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围；
例2.已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点.求a的取值范围；
-7-
QQ群545423319
例3.设函数f（x）=e2x-alnx.讨论f（x）的导函数f'（x）的零点的个数；
例4.已知函数f（x）=（x-1）ex+ax2有两个零点.
（2）求a的取值范围
例5.已知函数f（x）=ex-m2x2-mx-1.当m<0时，试讨论y=f（x）的零点的个数；
-8-
QQ群545423319
例6.设函数f（x）=lxn+x1-lnx+ln（x+1），是否存在实数a，使得关于x的不等式
f（x）≥a的解集为（0，+∞）？
若不存在，试说明理由。
例7.已知函数f（x）=ae2x-（2ax+1）ex+x2+2x.当0点
例8.已知函数f（x）=a+
xlnx（a∈R）
（1）求f（x）的单调区间
（2）求函数f（x）的零点个数，并证明你的结论
-9-
QQ群545423319
例9.设常数λ>0,a>0，函数f（x）=
x2
-alnx,对于任意给定的正数λ,a证明存在
x+λ
实数x0，当x>x0时，f（x）>0
例10.已知函数f（x）=x+alnx.
（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1,f
（1））处的切线方程；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围.
例11.已知函数f（x）=（x+a）ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a<1时，试确定函数g（x）=f（x-a）-x2的零点个数，并说明理由.
-10-
QQ群545423319
例12.已知函数f（x）=alnx+1x（a≠0）.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若{xf（x）≤0}=[b,c]（其中b
分析{xf（x）≤0}=[b,c]的形式类似不等式的解集，问题即转化为研究方程的根，即转化为
研究函数的零点范围.
例13.已知函数f（x）=x2-（a-2）x+alnx+2a+2，其中a≤2
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（0,2]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围。
例14.已知关于x的函数f（x）=ax-a（a≠0），ex
（1）当a=-1时，求函数f（x）的极值；
（2）若函数F（x）=f（x）+1没有零点，求实数a的取值范围。
-11-
QQ群545423319
例15.已知函数
（1）若曲线y=f（x）在点（a,f（a））处与直线y=b相切，求a与b值；
（2）若曲线y=f（x）与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围。
例16.已知函数f（x）=a+
xlnx，（a∈R）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）试求函数y=f（x）的零点个数，并证明。
-12-
QQ群545423319
专题四隐零点问题整体代换
例1.设函数f（x）=ex-ax-2
（1）求f（x）的单调区间
（2）若a=1，k为整数，且当x>0时，（x-k）f'（x）-x+1>0，求k的最大值
例2.已知函数f（x）=ax+xlnx的图像在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3
（1）求实数a的值
（2）若k∈Z，且k1恒成立，求k的最大值
例3.若对于任意x>0，xe2x-kx-lnx-1≥0恒成立，求k的取值范围。
-13-
QQ群545423319
例4.已知函数f（x）=ex-ln（x+m）.
（1）设x=0是f（x）的极值点，求m,并讨论f（x）的单调性；
（2）当m≤2时，证明f（x）>0.
例5.已知函数f（x）=23x3+x2+ax+1在（-1,0）上有两个极值点x1、x2，且x1
（1）求实数a的取值范围；
（2）证明：
f（x2）>1211.
例6.已知a∈R，函数f（x）=ex+ax2；g（x）是f（x）的导函数.
（1）当a=-12时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a>0时，求证：
存在唯一的x0∈⎛ç-1,0⎫⎪，使得g（x0）=0；
⎝2a⎭
（3）若存在实数a,b，使得f（x）≥b恒成立，求a-b的最小值.
-14-
QQ群545423319
例7.已知函数f（x）满足满足f（x）=f'
（1）ex-1-f（0）x+1x2.
2
（2）若f（x）≥12x2+ax+b，求（a+1）b的最大值.
例8.已知函数f（x）=-2（x+a）lnx+x2-2ax-2a2+a，其中a>0.
（1）设g（x）是f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；
（2）证明：
存在a∈（0,1），使得f（x）≥0在区间（1,+∞）内恒成立，且f（x）=0在区间
（1,+∞）内有唯一解.
例9.已知函数f（x）=-2lnx+x2-2ax+a2，其中a>0，设g（x）是f（x）的导函数.
（1）讨论g（x）的单调性；
（2）证明：
存在a∈（0,1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）=0在区间（1,+∞）内有唯一解.
-15-
QQ群545423319
例10.已知函数f（x）=a2x2-lnx+x+1，g（x）=aex+ax+ax-2a-1，其中a∈R.
（1）若a=2，求f（x）的极值点；
（2）试讨论f（x）的单调性；
（3）若a>0，∀x∈（0,+∞），恒有g（x）≥f'（x），求a的最小值.
例11.已知函数f（x）=lnx-12ax2+x，a∈R.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使得函数f（x）的极值大于0？
若存在，则求出a的取值范围；若不存
在，请说明理由.
例12.设函数f（x）=e2x-alnx.
（1）讨论f（x）的导函数f'（x）的零点的个数；
（2）证明：
当a>0时f（x）≥2a+alna2.
-16-
QQ群545423319
例13.设函数f（x）=ex-ax-2.
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x-k）f'（x）+x+1＞0，求k的最大值。
例14.设函数f（x）=ex-ln（x+m）.
（1）若x＝0是f（x）的极值点，求m＞0，并讨论f（x）的单调性；
（2）当m≤2时，求证：
f（x）＞0.
例15.已知函数f（x）=ex+m-x3,g（x）=ln（x+1）+2．
（1）若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1，求实数m的值；
（2）当m≥1时，证明：
f（x）>g（x）-x3.
-17-
QQ群545423319
例16.已知函数f（x）=lnx+1ax2+x+1.
2
（2）当a=0时，证明：
对任意的x＞0，不等式xex≥f（x）恒成立。
专题五极值点偏移
例1.已知函数f（x）=2lnx+x2+x，若正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）=4，
求证:
x1+x2≥2
例2.已知函数f（x）=lnx+x2+x，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，求证：
x+x≥
5-1．
122
-18-
QQ群545423319
例3.已知函数f（x）=xe-x．
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）已知函数g（x）的图像与f（x）的图像关于直线x=1对称，证明：
当x>1时，
f（x）>g（x）；
（3）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），证明：
x1+x2>2．
例4.已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有两个零点．
（1）求a的取值范围；
（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：
x1+x2<2．
例5.已知函数f（x）=xlnx的图像与直线y=m交于不同的两点A（x1,y1），B（x2,y2），求
证：
x1x2
-19-
QQ群545423319
例6.已知函数f（x）=lnx和g（x）=ax，若存在两个实数x1，x2，且x1≠x2，满足
f（x1）=g（x1），f（x2）=g（x2），
（1）求证：
x1+x2>2e；
（2）求证：
x1x2>e2．
例7.已知函数f（x）=ex-ax有两个不同的零点x1，x2，其极值点为x0．
（1）求a的取值范围；
（2）求证：
x1+x2<2x0；
（3）求证：
x1+x2>2；
（4）求证：
x1x2<1．
-20-
QQ群545423319
例8.已知f（x）=ln（x+m）-mx
（1）求f（x）的单调区间
（2）设m>1,x1，x2为函数f（x）的两个零点，求证x1+x2<0
例9.已知函数f（x）=x-lnx，若两相异正实数x1，x2满足f（x1）=f（x2），求证：
f'（x1）+f'（x2）<0．
例10.
已知函数f（x）=
xlnx
．
x-1
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若h（x）=（x2-x）f（x），且方程h（x）=m有两个不相等的实根x1，x2，求证：
x12+x22>2e．
-21-
QQ群545423319
例11.已知b>a>0，且blna-alnb=a-b．
（1）求证：
a+b-ab>1；
（2）求证：
a+b>2；
（3）求证：
1a+b1>2．
例12.
已知函数f（x）=2lnx-ax，若x1，x2（x1⎛x+2x
⎫
f'ç
12
⎪
<0．
3
⎝
⎭
例13.设函数f（x）=ex-ax+a，其图像与x轴交于点A（x1,0），B（x2,0），证明：
f'（
x1x2）<0
-22-
QQ群545423319
例14.
已知函数f（x）=lnx-x，设x>x
>0，求证：
x1
-
f（x1）-f（x2）
<1．
x2
+x2
x-x
12
1
2
1
2
例15.设f（x）=x-aex（a∈R），x∈R．已知函数y=f（x）有两个零点x1，x2，且
x1（1）求a的取值范围；
x
（2）证明：
2随着a的减小而增大；
（3）证明：
x1+x2随着a的减小而增大．
-23-
QQ群545423319
例16.
对于正数a，b，且a≠b，求证：
<
a-b
<
a+b
ab
，
lna-lnb
升级会员 