62等差数列典型例题及详细解答.docx

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62等差数列典型例题及详细解答

1．等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母__d__表示．

2．等差数列的通项公式

如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋（n－1）d.

3．等差中项

如果A＝，那么A叫做a与b的等差中项．

4．等差数列的常用性质

（1）通项公式的推广：

an＝am＋（n－m）d（n，m∈N*）．

（2）若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n（k，l，m，n∈N*），则ak＋al＝am＋an.

（3）若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.

（4）若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

（5）若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…（k，m∈N*）是公差为md的等差数列．

5．等差数列的前n项和公式

设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝或Sn＝na1＋d.

6．等差数列的前n项和公式与函数的关系

Sn＝n2＋n.

数列{an}是等差数列?

Sn＝An2＋Bn（A、B为常数）．

7．等差数列的前n项和的最值

在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最__大__值；若a1<0，d>0，则Sn存在最__小__值．

【思考辨析】

判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．（　×　）

（2）数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.（　√　）

（3）等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．（　√　）

（4）数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．（　×　）

（5）数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．（　×　）

（6）已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q（其中p，q为常数），则数列{an}一定是等差数列．（　√　）

1．（2015·重庆）在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于（　　）

A．－1B．0C．1D．6

答案　B

解析　由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，选B.

2．（2014·福建）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于（　　）

A．8B．10C．12D．14

答案　C

解析　由题意知a1＝2，由S3＝3a1＋×d＝12，

解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C.

3．在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于（　　）

A．58B．88C．143D．176

答案　B

解析　S11＝＝＝88.

4．设数列{an}是等差数列，若a3＋a4＋a5＝12，则a1＋a2＋…＋a7等于（　　）

A．14B．21C．28D．35

答案　C

解析　∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4，

∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝28.

5．（2014·北京）若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．

答案　8

解析　因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8＞0，所以a8＞0.又a7＋a10＝a8＋a9＜0，所以a9＜0.故当n＝8时，其前n项和最大．

题型一　等差数列基本量的运算

例1　

（1）在数列{an}中，若a1＝－2，且对任意的n∈N*有2an＋1＝1＋2an，则数列{an}前10项的和为（　　）

A．2B．10C.D.

（2）已知在等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则前10项和S10等于（　　）

A．100B．210

C．380D．400

答案　

（1）C　

（2）B

解析　

（1）由2an＋1＝1＋2an得an＋1－an＝，

所以数列{an}是首项为－2，公差为的等差数列，

所以S10＝10×（－2）＋×＝.

（2）因为a2＝7，a4＝15，所以d＝4，a1＝3，

故S10＝10×3＋×10×9×4＝210.

思维升华　

（1）等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程（组）求解．

（2）等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．

（1）（2015·课标全国Ⅱ）设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5等于（　　）

A．5B．7C．9D．11

（2）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差是（　　）

A.B．1C．2D．3

答案　

（1）A　

（2）C

解析　

（1）∵{an}为等差数列，∴a1＋a5＝2a3，

∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，得a3＝1，

∴S5＝＝5a3＝5.故选A.

（2）∵Sn＝，∴＝，又－＝1，

得－＝1，即a3－a2＝2，

∴数列{an}的公差为2.

题型二　等差数列的判定与证明

例2　已知数列{an}中，a1＝，an＝2－（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足bn＝（n∈N*）．

（1）求证：

数列{bn}是等差数列；

（2）求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．

（1）证明　因为an＝2－（n≥2，n∈N*），

bn＝（n∈N*），

所以bn＋1－bn＝－

＝－＝－＝1.

又b1＝＝－.

所以数列{bn}是以－为首项，1为公差的等差数列．

（2）解　由

（1）知bn＝n－，

则an＝1＋＝1＋.

设f（x）＝1＋，

则f（x）在区间（－∞，）和（，＋∞）上为减函数．

所以当n＝3时，an取得最小值－1，当n＝4时，an取得最大值3.

引申探究

例2中，若条件变为a1＝，nan＋1＝（n＋1）an＋n（n＋1），探求数列{an}的通项公式．

解　由已知可得＝＋1，

即－＝1，又a1＝，

∴是以＝为首项，1为公差的等差数列，

∴＝＋（n－1）·1＝n－，

∴an＝n2－n.

思维升华　等差数列的四个判定方法

（1）定义法：

证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．

（2）等差中项法：

证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2后，可递推得出an＋2－an＋1＝an＋1－an＝an－an－1＝an－1－an－2＝…＝a2－a1，根据定义得出数列{an}为等差数列．

（3）通项公式法：

得出an＝pn＋q后，得an＋1－an＝p对任意正整数n恒成立，根据定义判定数列{an}为等差数列．

（4）前n项和公式法：

得出Sn＝An2＋Bn后，根据Sn，an的关系，得出an，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．

（1）若{an}是公差为1的等差数列，则{a2n－1＋2a2n}是（　　）

A．公差为3的等差数列B．公差为4的等差数列

C．公差为6的等差数列D．公差为9的等差数列

（2）在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋（n∈N*），则该数列的通项为（　　）

A．an＝B．an＝

C．an＝D．an＝

答案　

（1）C　

（2）A

解析　

（1）∵a2n－1＋2a2n－（a2n－3＋2a2n－2）

＝（a2n－1－a2n－3）＋2（a2n－a2n－2）

＝2＋2×2＝6，

∴{a2n－1＋2a2n}是公差为6的等差数列．

（2）由已知式＝＋可得

－＝－，知{}是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.

题型三　等差数列的性质及应用

命题点1　等差数列的性质

例3　

（1）（2015·广东）在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.

（2）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.

答案　

（1）10　

（2）60

解析　

（1）因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.

（2）∵S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，且S10＝10，S20＝30，S20－S10＝20，

∴S30－30＝10＋2×10＝30，∴S30＝60.

命题点2　等差数列前n项和的最值

例4　在等差数列{an}中，已知a1＝20，前n项和为Sn，且S10＝S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并求出它的最大值．

解　∵a1＝20，S10＝S15，

∴10×20＋d＝15×20＋d，

∴d＝－.

方法一　由an＝20＋（n－1）×＝－n＋.

得a13＝0.

即当n≤12时，an＞0，当n≥14时，an＜0.

∴当n＝12或13时，Sn取得最大值，

且最大值为S12＝S13＝12×20＋×＝130.

方法二　Sn＝20n＋·

＝－n2＋n

＝－2＋.

∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.

方法三　由S10＝S15得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0.

∴5a13＝0，即a13＝0.

∴当n＝12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12＝S13＝130.

引申探究

例4中，若条件“a1＝20”改为a1＝－20，其他条件不变，求当n取何值时，Sn取得最小值，并求出最小值．

解　由S10＝S15，得a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0，

∴a13＝0.又a1＝－20，∴a12<0，a14>0，

∴当n＝12或13时，Sn取得最小值，

最小值S12＝S13＝＝－130.

思维升华　

（1）等差数列的性质：

①项的性质：

在等差数列{an}中，am－an＝（m－n）d?

＝d（m≠n），其几何意义是点（n，an），（m，am）所在直线的斜率等于等差数列的公差．

②和的性质：

在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则

a．S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；

b．S2n－1＝（2n－1）an.

（2）求等差数列前n项和Sn最值的两种方法：

①函数法：

利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．

②邻项变号法：

a．当a1＞0，d＜0时，满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；

b．当a1＜0，d＞0时，满足的项数m使得Sn取得最小值Sm.

（1）等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是（　　）

A．5B．6C．7D．8

（2）设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n的值为（　　）

A．5B．6

C．5或6D．11

（3）已知等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，则前n项和Sn的最大值为________．

答案　

（1）B　

（2）C　（3）110

解析　

（1）依题意得2a6＝4,2a7＝－2，a6＝2＞0，a7＝－1＜0；又数列{an}是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n＝6，选B.

（2）由题意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a6＝0，故当n＝5或6时，Sn最大，选C.

（3）因为等差数列{an}的首项a1＝20，公差d＝－2，代入求和公式得，

Sn＝na1＋d＝20n－×2

＝－n2＋21n＝－2＋2，

又因为n∈N*，所以n＝10或n＝11时，Sn取得最大值，最大值为110.

6．等差数列的前n项和及其最值

典例　

（1）在等差数列{an}中，2（a1＋a3＋a5）＋3（a7＋a9）＝54，则此数列前10项的和S10等于（　　）

A．45B．60

C．75D．90

（2）在等差数列{an}中，S10＝100，S100＝10，则S110＝________.

（3）等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前n项和Sn的最大值为（　　）

A．S4B．S5C．S6D．S7

思维点拨　

（1）求等差数列前n项和，可以通过求解基本量a1，d，代入前n项和公式计算，也可以利用等差数列的性质：

a1＋an＝a2＋an－1＝…；

（2）求等差数列前n项和的最值，可以将Sn化为关于n的二次函数，求二次函数的最值，也可以观察等差数列的符号变化趋势，找最后的非负项或非正项．

解析　

（1）由题意得a3＋a8＝9，

所以S10＝＝＝＝45.

（2）方法一　设数列{an}的公差为d，首项为a1，

则解得

所以S110＝110a1＋d＝－110.

方法二　因为S100－S10＝＝－90，

所以a11＋a100＝－2，

所以S110＝

＝＝－110.

（3）因为所以

所以Sn的最大值为S5.

答案　

（1）A　

（2）－110　（3）B

温馨提醒　

（1）利用函数思想求等差数列前n项和Sn的最值时，要注意到n∈N*；

（2）利用等差数列的性质求Sn，突出了整体思想，减少了运算量．

[方法与技巧]

1．在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解．

2．证明等差数列要用定义；另外还可以用等差中项法，通项公式法，前n项和公式法判定一个数列是否为等差数列．

3．等差数列性质灵活使用，可以大大减少运算量．

4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为

（1）a，a＋d，a＋2d；

（2）a－d，a，a＋d；（3）a－d，a＋d，a＋3d等，可视具体情况而定．

[失误与防范]

1．当公差d≠0时，等差数列的通项公式是n的一次函数，当公差d＝0时，an为常数．

2．公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数，且常数项为0.若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数，则该数列不是等差数列，它从第二项起成等差数列．

A组　专项基础训练

（时间：

35分钟）

1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于（　　）

A．63B．45C．36D．27

答案　B

解析　由{an}是等差数列，得S3，S6－S3，S9－S6为等差数列．

即2（S6－S3）＝S3＋（S9－S6），

得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，故选B.

2．（2015·北京）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（　　）

A．若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0

B．若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0

C．若0＜a1＜a2，则a2＞

D．若a1＜0，则（a2－a1）（a2－a3）＞0

答案　C

解析　设等差数列{an}的公差为d，若a1＋a2>0，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝（a1＋a2）＋2d，由于d正负不确定，因而a2＋a3符号不确定，故选项A错；若a1＋a3<0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝（a1＋a3）－d，由于d正负不确定，因而a1＋a2符号不确定，故选项B错；若00，d>0，a2>0，a3>0，所以a－a1a3＝（a1＋d）2－a1（a1＋2d）＝d2>0，所以a2>，故选项C正确；若a1<0，则（a2－a1）·（a2－a3）＝d·（－d）＝－d2≤0，故选项D错．

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m等于（　　）

A．3B．4

C．5D．6

答案　C

解析　∵数列{an}为等差数列，且前n项和为Sn，

∴数列也为等差数列．

∴＋＝，即＋＝0，

解得m＝5，经检验为原方程的解，故选C.

4．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列，且bn＝an＋1－an（n∈N*），若b3＝－2，b10＝12，则a8等于（　　）

A．0B．3

C．8D．11

答案　B

解析　设{bn}的公差为d，

∵b10－b3＝7d＝12－（－2）＝14，∴d＝2.

∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6.

∴b1＋b2＋…＋b7＝7b1＋d

＝7×（－6）＋21×2＝0.

又b1＋b2＋…＋b7＝（a2－a1）＋（a3－a2）＋…＋（a8－a7）＝a8－a1＝a8－3＝0，

∴a8＝3.故选B.

5．已知数列{an}满足an＋1＝an－，且a1＝5，设{an}的前n项和为Sn，则使得Sn取得最大值的序号n的值为（　　）

A．7B．8

C．7或8D．8或9

答案　C

解析　由题意可知数列{an}是首项为5，公差为－的等差数列，所以an＝5－（n－1）＝，该数列前7项是正数项，第8项是0，从第9项开始是负数项，所以Sn取得最大值时，n＝7或8，故选C.

6．已知数列{an}中，a1＝1且＝＋（n∈N*），则a10＝________.

答案　

解析　由已知得＝＋（10－1）×＝1＋3＝4，

故a10＝.

7．已知递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝a－4，则an＝________.

答案　2n－1

解析　设等差数列的公差为d，

∵a3＝a－4，∴1＋2d＝（1＋d）2－4，

解得d2＝4，即d＝±2.

由于该数列为递增数列，故d＝2.

∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1.

8．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10（n∈N*），则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.

答案　130

解析　由an＝2n－10（n∈N*）知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴n≤5时，an≤0，当n＞5时，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－（a1＋a2＋a3＋a4）＋（a5＋a6＋…＋a15）＝20＋110＝130.

9．若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0（n≥2），a1＝.

（1）求证：

成等差数列；

（2）求数列{an}的通项公式．

（1）证明　当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，

得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，

又＝＝2，故是首项为2，公差为2的等差数列．

（2）解　由

（1）可得＝2n，∴Sn＝.

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.

当n＝1时，a1＝不适合上式．

故an＝

10．等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？

解　方法一　由S3＝S11得

3a1＋d＝11a1＋d，则d＝－a1.

从而Sn＝n2＋n＝－（n－7）2＋a1，

又a1＞0，所以－＜0.故当n＝7时，Sn最大．

方法二　由于Sn＝an2＋bn是关于n的二次函数，由S3＝S11，可知Sn＝an2＋bn的图象关于n＝＝7对称．由方法一可知a＝－＜0，故当n＝7时，Sn最大．

方法三　由方法一可知，d＝－a1.

要使Sn最大，则有

即

解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大．

方法四　由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，

即（a1＋6d）＋（a1＋7d）＝0，

故a7＋a8＝0，又由a1＞0，S3＝S11可知d＜0，

所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，Sn最大．

B组　专项能力提升

（时间：

20分钟）

11．设Sn为等差数列{an}的前n项和，（n＋1）Sn＜nSn＋1（n∈N*）．若＜－1，则（　　）

A．Sn的最大值是S8B．Sn的最小值是S8

C．Sn的最大值是S7D．Sn的最小值是S7

答案　D

解析　由条件得＜，即＜，所以an＜an＋1，所以等差数列{an}为递增数列．又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即数列{an}前7项均小于0，第8项大于零，所以Sn的最小值为S7，故选D.

12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－3，ak＋1＝，Sk＝－12，则正整数k＝________.

答案　13

解析　Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝－12＋＝－，

又Sk＋1＝

＝

＝－，

解得k＝13.

13．设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意自然数n都有＝，则＋的值为________．

答案　

解析　∵{an}，{bn}为等差数列，

∴＋＝＋＝＝.

∵＝＝＝＝，

∴＝.

14．已知数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，bn＝，若对任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，则实数a的取值范围为________．

答案　（－8，－7）

解析　依题意得bn＝1＋，对任意的n∈N*，都有bn≥b8，即数列{bn}的最小项是第8项，于是有≥.又数列{an}是公差为1的等差数列，因此有

即由此解得－8＜a＜－7，

即实数a的取值范围是（－8，－7）．

15．已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a3·a4＝117，a2＋a5＝22.

（1）求通项an；

（2）求Sn的最小值；

（3）若数列{bn}是等差数列，且bn＝，求非零常数c.

解　

（1）因为数列{an}为等差数列，

所以a3＋a4＝a2＋a5＝22.又a3·a4＝117，

所以a3，a4是方程x2－22x＋117＝0的两实根，

又公差d＞0，所以a3＜a4，

所以a3＝9，a4＝13，

所以所以

所以通项an＝4n－3.

（2）由

（1）知a1＝1，d＝4，

所以Sn＝na1＋×d＝2n2－n＝22－.

所以当n＝1时，Sn最小，

最小值为S1＝a1＝1.

（3）由

（2）知Sn＝2n2－n，

所以bn＝＝，

所以b1＝，b2＝，b3＝.

因为数列{bn}是等差数列，

所以2b2＝b1＋b3，

即×2＝＋，

所以2c2＋c＝0，

所以c＝－或c＝0（舍去），

经验证c＝－时，{bn}是等差数列，

故c＝－.