整数本质与整数计算的概念.docx
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整数本质与整数计算的概念
一、整數的意義
✧數的基本架構（簡圖）
Ø數是類的類
自然數是一種概念，凡是概念都是按照某些屬性歸類事物而成的。
羅素的定義是：
Thecardinalnumberofagivenclassisthesetofallthoseclassesthataresimilartothegivenclass.（一集合之基數乃是與此集合相似之所有集合所成的集合）由這個定義可知數是集合的集合，了解此等集合共同性質才懂得數，只會唸數字而不了解此性質算不算是懂得數。
羅素認為構成數的主要性質乃是一對一的對應。
例如甲={◎◎}，乙={◎◎◎}，丙={＊＊＊}，三集合中乙丙兩集合可以構成一對一的對應，因此有相似性，中文以「三」英文則以「three」代表此性質。
Ø數是計算事物的系統
我們知道2比1多1，3比2多1，5比3多2，這種關係不僅靠一對一的對應而已，而是各個數構成了一個系統，數數或「計數count」便是這個系統的表現。
Gelman和Galsis（1987）認為一活動若要被視為「計數」，則必須滿足四個邏輯規則：
（1）在被數之物與計數的名稱之間要建立一對一的對應，
（2）計數的名稱要維持不變的順序（3）了解物件被數的順序無關緊要，（4）要運用基數原理，亦即以計數的最後一個名稱來代表該集合的數。
兒童要使用這個系統必須：
（1）學會本國文化的數字的順序，
（2）學會本國文化的點數的動作（通常是用手指指點），（3）用點數的動作將所點數之物體與數詞連結起來，（4）記住已點數過的物體以免重數（5）學會計數的基數原則。
Ø數是集合與不對稱關係的綜合
計數的單位有一特殊的地位；他們既是集合的元素同時也是不對稱關係的元素。
由以上看來，數是類的類，數也是計數的系統。
在點數事物時，我們依數字的順序一一和所點數的事物對應起來，以最後一個數字代表該集合的個數。
每一個數代表與其聯結的個別東西（序數），同時也代表到它為止的所數到的所有事物，亦即代表所有已被數的東西的集合（基數）。
基數義的數字代表可以和一以之集合構成一對一對應之所有集合的集合，或者類的類。
✧整數的意義
Ø正整數
◆正整數即自然計物數或全數=其特徵為「加一」或「下一個」，最早是由於計物的需要而有。
Ø零
何謂”0”？
不同的層面有著不同的解釋與其代表意義：
◆零是一個概念，它表示”一無所有”。
如3減3等於零；
◆在位值制記數法中，零表示”空位”，同時起到指示數碼所在位置的作用。
如阿拉伯數碼中零記作”0”，在304中的0表示十位上沒有數，而3是在百位上，表示三百；
◆零本身是一個數，可以同其他的數一起參與運算；
◆零是標度的起點或分界，如每天的時間從0時開始，數軸上0是正負數的分界，溫度計以0℃為零上零下的分界等等。
Ø負整數
◆代表相反意義的量。
二、整數本質與整數計算的概念
此概念主要兼顧兒童的發展次序以及傳統數學之分類。
1.線性順序現象
✧數學結構
ØDefinition:
Anorderdefinedforallpairsofitemsofaset.Forinstance,
（lessthanorequalto）isatotalorderonintegers,thatis,foranytwointegers,oneofthemislessthanorequaltotheother.
線性順序如果就是linearorder的話，那麼≦這個關係在整數間會是線性順序，也就是說，任兩個整數中,一定有一個整數≦另一個整數。
✧認知結構
Ø幼兒會唱數是人類神經系統的自然表現。
Ø相當多的學童，在進入學校之前，已習得標準數詞序列，如由1唱數至10，有的學童甚至可以唱至100，但他（她）們並不必然能夠利用標準數詞序列進行數數活動，或解決數量的問題。
Ø兒童數數的發展可以分成六個階段，他們稱之為兒童的數數型態。
◆數序（Thenumbersequence）
兒童將各個數由1開始依序唸出來，但不知其意義。
這是一種機械記憶。
數東西總得先會唱數。
◆以知覺單位為計數對象（Countersofperceptualunititems）
兒童用手拿具體物，拿一個物體唱一個數，最後一個數代表那堆具體物的數。
兒童先會「動手」拿著東西或者摸著東西數數，一堆東西若不用手接觸到就數不來。
之後，便能僅憑「視覺」、「聽覺」數數。
不過在這個階段的數數都有東西出現在知覺中作為數數的對象。
這種摸的到，看的見或聽的見的對象稱為「知覺單位」。
兒童開始會數東西時只能數知覺單位。
◆以心像單位為計數的對象（Countersoffiguralunititems）
在心中想像有東西在桌上或某個地方，數著心中的事物。
此階段兒童看不見要數的東西，所以在心中想像有東西在桌上或在那兒，代表看的見的東西，他便數著想像的東西。
以心中想像的東西作為數數的對象，稱為心像單位。
◆以動作單位為計數的對象（Countersofmotorunititems）
一邊唱數，一邊點頭或點指頭或居伸手指，不數想像中的東西，而是數自己的動作。
◆以語言單位為計數的單位（Countersofverbalunititems）
數數時不須動作，而只唸出聲音，以自己的語言為數數的對象。
這時的唸數字不是機械的動作，他知道口中所唸的數代表一堆東西的多寡。
本階段的數數行為必須有意地控制唸數字之間開始與結束的時機，意識的控制力要比以前強才行。
◆以抽象單位為計數的單位（Countersofabstractunititems）
知道一個數字代表一個集合的數，例如要數7+5=時不必由1數到7，再由8數到12。
他直接從8數到12。
2.一對一對應與標準計數活動
✧數學結構
Ø利用標準數詞語言序列，以一對一對應的方式，建立標準計數活動。
✧認知結構
Ø學童需要觀察他人如何使用標準數詞序列進行數數活動，如何使用最後的數詞來表達（「說」）個體的數量。
學童首先可以立即模仿相同的活動，累積相當的模仿經驗後，才能逐漸地在沒有示範的情況下，獨立進行數數活動，解決數量的問題。
Ø當學童開始學習數數活動時，他（她）們需要將注意力集中在：
（一）維持標準數詞序列的順序；
（二）保持數詞與物體的一對一對應關係，來完成正確的數數活動，單純的情境將有助於活動的進行（例如：
可移動的具體物；個體排列整齊的圖卡）。
Ø在學習的過程中，需逐漸的昇高情境的複雜性，例如：
使用個體散置的圖卡，學童必須在數數的同時，注意哪些個體是已經數過的；或者使用混合兩、三類物體的圖卡（具體物），學童需同時進行分類與數數的活動。
3.分解合成的解題活動
✧數學結構
Ø「分解」與「合成」是數系統中的兩種基本運作，透過「合成」運作，兩個數可以合成一個新的數（如2和5是7），同樣的，透過逆向的「分解」運作，一個數可以分為兩個數，（如7是2和5）。
此概念增加學童對數的理解，並作為嗣後學習加減計算的基礎。
✧認知結構
Ø累積數數活動的經驗，學童逐漸具備說、讀、聽、寫、做10以內數字的能力，以數數能力為基礎，增加分解與合成的活動，一方面使學童經驗分解與合成兩種運作，一方面增加數與數之間關係的經驗；選擇「添加型」、「併加型」和「拿走型」、「比較型」四種加減應用題，製作合成與分解的問題情境。
◆併加型（合成）：
媽媽買了2個紅蘋果和3個青蘋果，媽媽一共買了多少個蘋果？
例如
和
共有5個蘋果。
學生可用a）
全數--1，2，3...5。
或b）
續數--3，4，5。
或c）
數字事實（numberfact）--學生已掌握數目的組合，明白5是由2和3組成的。
◆添加型（增加）：
弟弟有3個橡皮擦，哥哥再給他3個橡皮擦，現在弟弟有幾個橡皮？
例如
再加
是多少呢？
◆拿去型
例如
移（拿）去
還有
◆比較型
例如
比
多了
值得注意的部分
例如：
a-b=c，c未知，即問a比b多多少？
此為順向，較易。
問b比a少多少？
此為逆向，較難。
a.比較型問題的解題活動導入算式紀錄時，兒童依其策略之差異，可以有a-c=b，c+b=a及a-b=c三種。
若強調比完了要拿走，則可以回到a-b=c的形式。
b.考慮將比較型做為減法的原型意義。
c.考慮讓差量有符號，反映兒童的解題，如3-8=欠5。
4.認識「零到負」的意義
✧數學結構
Ø開始使用自然數1、2、3……的人類，使數的概念更為發展的一個方向，是在於學到在1和2、2和3、3和4，……等之間的分數或小數。
同時，另一個方向是在於發現0的概念，再承認負的值。
Ø零到負：
把1一直相加下去時，是為2、3、4，……；反之，由3減去1時，是為2；由2減去1時，是為1；由1減去1時，是為0，就在不知如何是好的當時，於是發現了以0的數來表示該狀態，所以，懷著由0減去1時，會變成如何？
如此，變創造出負數。
✧認知結構
Ø「分與合」引入0的初步概念，在「拿走型」的問題情境中介紹「0」代表「沒有」的意義，認識「0」的說、讀、聽、寫，使「0」成為一個表達特殊數量的溝通工具。
例如：
4塊餅吃去了4塊，碟上還有餅多少塊？
4－4=0（如圖示）
Ø減法的符號即有負數的概念存在。
5.認識和應用符號「+」「－」「=」
✧數學結構
Ø介紹「＋」、「－」、「＝」等符號的意義，引導學童在口述解題過程後，亦能使用「算式」來記錄解題活動的過程，使算式成為解題的溝通（記錄）工具，並且在使用具體物操作的解題過程中，繼續體驗加減運算的意義，以及累積「基本加減計算」的經驗。
✧認知結構
Ø使用「添加型」與「併加型」的問題情境，來介紹「＋」運算符號；「拿走型」及「比較型」來介紹「－」運算符號。
Ø在具體物的問題情境中，合成、分解、及比較運作，強調如何操弄具體物，例如：
合成運作要求將兩堆物件「合」在一起；分解運作要求將一堆物件「分」成兩堆；比較運作要求進行兩堆物件間的對應，而「加」、「減」運算則開始重視如何計算運作的結果。
Ø注重運算符號與運作方式的聯結，用運算符號及數字來記錄運作的方式、內容及結果，使學童獲得運算符號的具體意義。
Ø此概念的教學目標，在於「算式」符號的認識，因此教師的教學步驟應採下列的順序：
（一）教師提出問題，學童提供答案；
（二）學童口述解題過程（如何獲得答案？
）；（三）使用算式描述解題過程；（四）討論算式中的符號，分別代表什麼？
與問題的關聯為何？
期望於討論中，學童能將注意力，由計算的細節（數數活動），轉移至運作與「＋」、「－」、及「＝」符號的聯結，獲得運算符號的具體意義。
6.數的加減法問題的解題策略
✧數學結構
Ø序列性合成運思
將數個獨立的個體合為一整体的動作稱為「合成運思」，而所謂的序列性合成運思是指兒童依數詞序列將指示的量依序表現出來，再進行量的合成與分解，並將合成與分解的結果數值化。
Ø累進性合成運思
所謂累進性合成運思是指兒童從某個指示的量為基礎出發點，而且一邊進行合成或是分解的活動，一邊將累進的結果數值化。
Ø部分全體運思
「部份全體運思」指當混用高低階單位時，不會混淆，而且能明顯的區分此兩單位間的部分和全體的關係。
✧認知策略
Ø序列性合成運思
例如：
15＋3＝（？
）時，兒童先畫出15個圈圈，接著畫出3個圈圈，再把兩堆圈合在一起，最後從頭數得到答案是18。
圖示：
○○○○○
12345
○○○○○678910○○○
○○○○○1112131415161718
當學童解8－3＝（？
），同樣地，先畫出8個圈圈，在拿走3個圈圈，最後點選剩下的圈圈，而得到答案5。
圖示：
○○○○○○○○
12345123
從上面二個例子中，可以發現二個解的題的操作活動，都是表現做數後再一個個數數。
Ø累進性合成運思
例如：
解決15＋3＝（？
）時，兒童只需畫出3個圈圈，之後由15往上數3個數而得到答案18。
圖示：
○○○
161718
當學童解8－3＝（？
），同樣地，只畫出3個圈圈，之後由8往前數3個數而得到答案5。
圖示：
8○○○
765
從上面二個例子中，可以發現二個解的題的操作活動，都是一個表現及一個數數。
已比序列性合成運思的解法精簡了。
Ø部分全體運思
例如：
問兒童9隻手有多少手指頭呢？
兒童可以答出「45」隻；再加上4隻手呢？
兒童答「65」。
如果移除其中3隻手呢？
學童可能答「62」。
因為混淆了一隻手和一根手指頭之間的差異，也就是無法掌握1個「一」和1個「五」間的「部份全體關係」。
7.加減算式
✧數學結構
Ø算式填充題
算式填充題可做為對學生的佈題，代替以往的計算題。
亦可做為紀錄文字題之用，代替以往的立式。
文字題先用算式填充題方式來記錄問題，透過解決算式填充題的活動，再回答文字題的問題。
Ø算式
用「＋」、「－」、「＝」及數字來記錄整個解題活動，產生「算式」的具體經驗。
✧認知結構
Ø在學童的以往經驗中，都是在「量」的合成與分解活動中解決問題，而算式填充題中只有「數」，這是一種新的問題，大部份學童需將算式填充題想像成一個「量」的合成（分解）活動，才能理解問題的要求，並且在想像的「量」情境中，進行解題活動，例如：
面臨「8+5=（ ）」的問題時，大部份學童將此問題想像成「8個東西，再加上5個，會變成幾個﹖」，再利用以往「量」合成活動的經驗，決定應會變成13個，而進一步地知道括號中應填寫13，透過算式填充題的介紹，我們希望學童將「量」的活動類型，延伸至「數」的運算活動。
Ø數的加減法分為三類
◆和數未知
例如：
操場上有十五個人，又進去了三個人，請問操場上現在有幾個人？
15＋3＝（）
◆加數未知
例如：
操場上有九個人，又來了一些人後，操場上現在有十八個人，請問剛才來了多少人？
9＋（）＝18
◆被加數未知
例如：
操場上原有一些人，又來了三個人後變成有十八個人，請問操場上原有多少人？
（）＋3＝18
所以，再把數的加（減）法問題的解題策略和數的加（減）法問題合在一起討論可以發現如下：
在和數未知型中，兒童只要具有序列性合成運思便能成功的解題（只要時間允許），他們就可以一個圈圈的畫，再一個個的數數。
在加數未知型中，序列性合成運思的兒童無法順利完成解題，但仍可以靠試誤法來解題成功。
如：
解9＋（）＝18時，兒童先算「9＋1＝10」、「9＋2＝11」、「9＋3＝12」、「9＋4＝13」、、、最後得到答案18。
而累進性合成運思的兒童會從9開使往上數，每畫一個圈圈同時往上數1個數，直到數到18為止，再最後清點畫了幾個圈圈。
所以，當兒童由一年級到二年級時練習數的加減法時，隨著他們年齡的增長，教師在進行解題時，應限制具體物的使用，來使整個解題活動，區隔成數個獨立且完成的活動，來促使學童進行累進性合成運思的活動。
8.乘除
✧數學結構
Ø數的乘除運算，採用單位量轉換活動的觀點，認為乘除法是用來解決單位量間變換的問題。
Ø在乘法中，一個量本來是用高階單位量來描述的，現在要重新用「壹」為單位來重新描述，例如：
在「3×4」的問題中，其總量本來是以「3」為單位來描述，共有4個「3」，而現在須要用使用「壹」為單位，重新來描述此量為12。
Ø在除法中，一個量本來是用低階的「1」單位量來描述，而現在須要用異於「1」的高階單位量來描述，例如在「12÷3」的問題中，總量本來是以「1」為單位來描述為12，而現在須用4個「3」來描述。
✧認知結構
Ø引進倍數活動，希望增強學童倍數活動的經驗，以作為乘法運算活動的基礎。
步驟－認識100以內同數連加，例3+3+3+3=4個3→「╳」號的認識，寫成3╳4→認識倍的意義，並明白同數連加與倍數的關係，亦可寫成4╳3。
《註:
教倍數時宜由簡單倍數開始，例如2，3...，學生亦需明白乘法交換性》
Ø正式進入乘法後，主要有六個步驟
◆認識和計算10以內的乘數（可用計算機輔助學習）。
例如：
1╳5=5
2╳5=10
3╳5=15
:
:
10╳5=50
◆製作10以內的乘數表。
◆從10行表中找出10以內乘數的積和探究其分佈。
◆認識0乘以任何數皆為0（可用計算機輔助練習）－重複第1點做法。
◆以直式表示和計算乘法。
◆利用乘法解簡單應用題。
例如：
小明有蘋果3個，小芬的數目是小明的4倍，小芬有蘋果多少個？
Ø除法概念
◆認識等分均分物與除的關係。
●學生通過分物活動，將適量的物品分成10以內的等份。
例如：
把10粒糖分給五人，每人可得多少粒？
●學生以「÷」表示和計算分物結果。
例如：
10粒糖分給五人，每人得10÷5=2（粒）
◆認識包含與除的關係。
●學生通過實物活動，認識包含的概念。
例如：
把12枝原子筆每3枝一扎，可分成幾扎？
’
●學生以「÷」表示和計算「包含」問題。
例如：
把12枝鉛筆，每3枝一扎，可分成12÷3=4（扎）
◆認識連減與除的關係。
●學生通過實物活動，認識連減的概念。
例如：
有餅12塊，每天吃2塊，可吃多少天？
●以「÷」表示和計算「連減」問題。
例如：
有餅12塊，每天吃2塊，可吃12÷2=6（天）
◆計算被除數為100以內的除法（可用計算機輔助算出或以乘數表作參考）。
●例如：
12÷2=6
12÷6=2《註:
給學生的例子，應為可整除盡的數字》
●認識乘除的關係。
10÷2=5
2╳5=10
10÷5=2
5╳2=10
●以直式表示除法。
●計算除法簡單應用題。
例如：
把15粒糖分給5人，每人得糖若干？
◆有餘數的除法。
●計算兩位無餘數除法。
例:
96÷16=？
●計算兩位有餘數除法。
例:
100÷16=？
●可用計算機列出16的倍數來，然後找出最接近而不大於100的那個倍數，
16╳1=16
16╳2=32
16╳3=48
16╳4=64
16╳5=80
16╳6=96
100-96=4
100÷16=6....4
《註:
利用計算機計算有餘數的除法只能用小數表示，故此學生需先明白小數》
9.四則運算
✧數學結構
Ø四則運算乃是混合加減乘除的概念。
✧認知結構
Ø兒童已能在整數範圍內，使用併式填充題，記錄四則多步驟問題。
Ø進一步討論併式填充題的格式，引入成人習慣的「括號先算」、「先乘除，後加減」與「由最左往右依序運算」共識。
Ø透過介紹與討論，協助學童看得懂使用這些共識書寫的算式填充題，看的懂這格式下所指示的運算次序，以方便與他人溝通。
Ø步驟：
◆計算加減混合題和應用題。
例如：
巴士上有乘客42人，到站後有18人下車，25人上車，問現在車上有乘客多少人？
◆計算乘、加、減混合題和應用題。
例如：
蘋果每個5元，西瓜每個32元，購買6個蘋果2個西瓜要付多少元？
◆計算除、加、減混合題和應用題。
例如：
三位朋友一起到茶樓喝茶，吃了點心38元，粉麵34元，問平均每人要付多少元？
◆計算乘、除混合式題和應用題。
例如：
糖15包，每包重10公斤，如果將全部分裝成5大袋，每袋重多少公斤？
三、教學策略
（一）加法與減法
1.透過具體物的合成或分解來解決問題情境，提供學童分解與合成運作的具意意義。
2.經常問學童的解題過程，或「你怎麼想到（知道）這個答案的？
」，可引導學童的注意力，由「答案是什麼？
」轉移到「這是怎麼做的？
」另一方面，開始培養學童自我檢查過程、驗證答案的習慣。
3.初教新題型，先分段佈題，如『比較型』：
多多少？
少多少？
→先問「誰多？
誰少？
」再問「多多少？
少多少」
4.算式填充題剛出現時，應先強調「這個問題要我們做什麼」的溝通問題，再強調「括號裡應填什麼」的運算問題。
5.練習新題型時，如：
兩步驟的應用問題、進退位…，在「添加」「併加」、「拿走」三種基本問題類型範圍，加以變化，並使用適當數字作練習。
（二）乘法
1.先進行單位數為一位數之「單位量轉換問題」的解題活動，例如，「一輛汽車有四個輪子，五輛汽車共有幾個輪子？
」。
（由兒童自行解題）
2.其次是溝通所謂的5個「4」來描述上述的「單位量轉換問題」的意義。
並進行「幾個幾」的數之「單位量轉換問題」的解題活動。
3.然後進行形成用「4的5倍」來表示「5個4」的活動。
4.最後進行形成用「４Ｘ５＝２０」的格式來記錄「單位量轉換問題」的問題與結果。
（三）除法
1.直接表徵
指透過某些具體物或圖示表徵問題，並模擬問題的情境以解決此問題。
例如，15塊餅乾平分給三個人的問題。
（一年級）的圖示如下。
♀♀♀
○○○○○○○○○○○
○○○○○○15○○6○○6○○6
○○○○○○○○○○
2.數值上的加速處理
首先學童畫出問題中除數的圖像表徵（可能只是點或更具體的圖畫），接著以數字表示每一回處理的物件個數，寫在除數的圖像表徵底下。
例如，B生（一年級）處理24個汽球平分給4個人，及C生（二年級）處理66÷3的方式如下。
B生♀♀♀♀C生66÷3＝22
5555202020
1111222
666622
3.減法
（1）以「一次分一個」的方式解決等分除問題。
例如D生（一年級）解「18個糖果平分給3個小朋友，一個人分到幾個？
」解釋他如下的作法為，每一次用掉（分出去）3個糖果。
18－3＝1515－3＝1212－3＝9
9－3＝66－3＝33－3＝0
（2）以估計處理等分除問題。
例如E生（三年級）解「81個蘋果平分在三個箱子，一個箱子分到幾個？
」的作法為︰
80－20－20－2020
20－6－6－62
2＋13－1－1－10
81÷3＝27
（3）重複地減去除數，以解決包含除的問題。
例如F生（三年級）解「有350個學生，每70個學生搭一部遊覽車，共需多少部？
」︰
350－70280－70210－70140－1400350÷70＝5
4.加、減與乘法︰
學生首先是以累加或累減的方法解決除法問題。
例如，27÷3，學生可能寫下3＋3＝6，再寫下6＋3＝9，一直累加3直到27。
然後回去點數（或心算）累加了幾個3，就可以得到答案。
當學生累積相當多的這種經驗，逐漸形成如此的策略及乘法概念了解的提升後，最後以乘法來表示這些累加（或累減）的過程。
例如F生處理473÷12＝39餘5
（1）起初的版本
30＋30＋30＋30＋30＋30＋30＋30＋30＋30＋30＋30＝360
7＋7＋7＋7＋7＋7＋7＋7＋7＋7＋7＋7＝84
2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＋2＝24
（2）最後的版本
30×12＝3605×12＝602×12＝242×12＝24
5.分配率︰
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