湖北省武汉市新洲区届高三联考数学理PDF版含答案.docx
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湖北省武汉市新洲区届高三联考数学理PDF版含答案
机密★启用前
２０１９年高三年级１０月联考理科数学
考试时间:
２０１９年１０月１８日上午１０:
００—１２:
００试卷满分:
１５０分
注意事项:
１答卷前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
２选择题的作答:
每小题选出答案后,用２B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.
３非选择题的作答:
用黑色墨水的签字笔直接答在答题卡上的对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
４考试结束后,请将答题卡上交.
一、选择题:
本题共１２小题,每小题５分,共６０分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
１设集合M＝{x|x＝２k＋１,k∈Z},集合N＝{x|x＝４k±１,k∈Z},则（）AM＝NBM⫋NCN⫋MDN＝∁zM
２已知复数Z满足Z（１－２i）＝３＋i,则共轭复数Z的模为（）
５
A７
B１C２D２
３“（x－１）（y－２）＝０”是“x＝１且y＝２”的（）
A充分不必要条件B必要不充分条件
C充要条件D既不充分也不必要条件
４若正整数N除以正整数m后的余数为n,则记为N≡n（modm）,例如１０≡３（mod７）．下面程序框图的算法源于我国南北朝时期闻名中外的«中国剩余定理»,执行该程序框图,则输出n的值等于（）
A２９B３０
C３１D３２
５已知x＝３ln２,y＝２ln３,z＝２,则x,y,z的大小关系是（）
Ax＞y＞zBy＞x＞zCx＝y＞zDy＞z＞x
６设A、B、C为三角形三内角,且方程（sinB－sinA）x２＋（sinA－sinC）x＋sinC－sinB＝０有两相等的实根,那么角B（）
AB＞６０°BB≥６０°CB＜６０°DB≤６０°
７某同学研究曲线C:
x３＋y３＝１的性质,得到如下结论:
①x,y的取值范围是R;②曲线
８
C是轴对称图形;③曲线C上的点到坐标原点的距离的最小值为２．其中正确的结论序
号为（）
A①②B①③C②③
２→
D①②③
８若在直线l上存在不同的三点A、B、C,使得关于x的方程xOA＋xOB→＋B→C＝O→有解
（O∉l）,则方程解集为（）
AØB{－１}
C{－１,０}D{－１＋５,－１－５}
２２
９将函数f（x）＝２sin（２x＋φ）（|φ|＜π）的图象向右平移π个单位长度后所得的图象关于
２１２
２
y轴对称,则f（x）在[０,π]上的最小值为（）
A－３B－１
→
C－２D０
→
１０已知O为△ABC的外心,且|AC|＝４,|AB|＝２３,则AO→（A→C－AB→）等于（）A２B４C６D８
１１已知实数a、b、c、d满足a－２ea＝１－c＝１（e是自然对数的底数）,则（a－c）２＋（b－d）２
的最小值为（）
bd－３
A１０B１８C８D１２
１２１７７７年法国著名数学家蒲丰曾提出过著名的投针问题,此后人们根据蒲丰投针原理,运用随机模拟方法可以估算圆周率π的近似值．请你运用所学知识,解决蒲丰投针问题:
平面上画着一些平行线,它们之间的距离都等于a（a＞０）,向此平面任投一根长度为
l（l＜a）的针,已知此针与其中一条线相交的概率是p,则圆周率π的近似值为（）
A２ap
Bal
C２l
Dpa
二、填空题:
本题共４小题,每小题５分,共２０分．
１３已知f（x）为奇函数,函数g（x）与f（x）的图象关于直线y＝x＋２对称,若g（１）＝７,则
f（－５）＝．
⎧⎪－sinπx,－２≤x≤０
１４已知f（x）＝⎪２
若关于x的方程f（x）＝k有四个实根x,x,x,
⎨⎩⎪⎪|lnx|,x＞０
x４,则这四根之和x１＋x２＋x３＋x４的取值范围是．
１２３
１５已知△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,sinA＝１＋cosA,cosA＝４,
S△ABC＝６,则a＝．
sinB
２－cosB５
１６定义在区间（０,＋∞）上函数f（x）使不等式２f（x）＜xf′（x）＜３f（x）恒成立（f′（x）为
f（１）
f（x）的导数）,则f（２）的取值范围是．
三、解答题:
共７０分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．
１７（１０分）已知△ABC是圆O（O为坐标原点）的内接三角形,其中A（１,０）,B（－１,－３）
角A,B,C所对的边分别是a,b,c．２２
（１）若点C的坐标是（－３,４）,求cos∠COB的值;
（）︵５５
２若点C在优弧AB上运动,求△ABC周长的取值范围．
１８（１２分）如图,在四棱锥PＧABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,AC＝２,
BD＝２３,且AC,BD交于点O,E是PB上任意一点．
（１）求证:
AC⊥DE;
４
（２）已知二面角AＧPBＧD的余弦值为３,若E为PB的中点,求EC与平面PAB所成角
的正弦值．
１９（１２分）若a∈R,函数f（x）＝|x２－ax|在区间[０,１]上的最大值记为g（a）,求g（a）的表达式并求当a为何值时,g（a）的值最小．
２０（１２分）已知椭圆x２＋y２＝１（a＞１）,过原点的两条直线l１和l２分别与椭圆交于点A、B
和C、D．记得到的平行四边形ACBD的面积为S．
（１）设A（x１,y１）,C（x２,y２）,用A,C的坐标表示S;
２
（２）设l１与l２的斜率之积与直线CA、CB的斜率之积均为－１,求面积S的值．
２１（１２分）有人玩掷均匀硬币走跳棋的游戏,棋盘上标有第０站（出发地）,在第１站,第２站,
第１００站．一枚棋子开始在出发地,棋手每掷一次硬币,这枚棋子向前跳动一次,若掷出正向,棋子向前跳一站,若掷出反面,棋子向前跳两站,直到棋子跳到第９９站（失败收容地）或跳到第１００站（胜利大本营）,该游戏结束．设棋子跳到第n站的概率为Pn．
（１）求P０,P１,P２;
（２）写出Pn与Pn－１、Pn－２的递推关系（２≤n≤９９）;
（３）求玩该游戏获胜的概率．
x
２２（１２分）已知函数f（x）＝ax－a－２lnx（a∈R）．
（１）若f（x）是定义域上的增函数,求a的取值范围;
５
（２）设a＞３,m,n分别为f（x）的极大值和极小值,若S＝m－n,求S的取值范围．
２０１９１０
年高三年级月联考理科数学参考答案与评分细则
一、选择题:
本题共１２小题,每小题５分,共６０分.
题号
１
２
３
４
５
６
７
８
９
１０
１１
１２
答案
A
C
B
D
C
C
D
B
A
A
B
C
二、填空题:
本题共４小题,每小题５分,共２０分．
１３－３１４（０,e＋１－２）１５２６１６（４,８）
三、解答题:
共７０分．e
１７（１０分）
→→
（１）cos∠COB＝cos＜O→C,O→B＞＝OCOB
＝３－４３＝３－４３
|O→C||O→B|１０１０１０
（２）∵∠AOB＝１２０°,C＝３,∴∠ACB＝６０°
∴a＝b＝３＝２
（５分）
（７分）
（８分）
sinAsinBsin６０°
∴a＋b＝２sinA＋２sin（２π－A）＝２３sin（A＋π）,
３６
２π,
O＜A＜３
３＜a＋b≤２３
（９分）
∴２３＜a＋b＋c≤３３
１８（１２分）
（１０分）
（１）∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥AC．
（１分）
又∵四边形ABCD为菱形,∴BD⊥AC又BD∩PD＝D,∴AC⊥平面PBD
（２分）
DE⊂平面PBD,∴AC⊥DE（４分）
（２）连OE,在△PBD中,OE∥PD,∴OE⊥平面ABCD
分别以OA,OB,OE为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系．设PD＝t,则A（１,０,０,）,B（０,３,０）,
C（－１,０,０）,E（０,０,t）,P（０,－３,t）．
由（１）知,平面PBD２n→＝（１,０,０）（５分）
的一个法向量为１→→
设平面PAB的一个法向量为n→２＝（x,y,z）,则由{n２AB＝０
即{－x＋３y＝０
令y＝１,则n→２＝（３,１,２t３）．
（７分）
－x－３y＋tz＝０
因二面角AＧPBＧD的余弦值为３,∴|cos＜n→１,n→２＞|＝３＝３,∴t＝３．
（１０分）
４４＋t１２２４
设EC与平面PAB所成角为θ,∵E→C＝（－１,０,－３）,n→２＝（３,１,２３）,
２
∴sinθ＝|cos＜E→C,n→２＞|＝|－３－３|＝２３＝３
３
１３
（１２分）
１＋９
４＋４
１３４１３
４３２３
１９（１２分）
（１）a≤０时,∵０≤x≤１,∴f（x）＝x２－ax,f（x）单调递增．
∴g（a）＝f（１）＝１－a（２分）
（２）当a＞０,如图所示,令f（x）＝a２,得x＝a或x＝２＋１a
a,４２２
①当２≥１即a≥２时,g（a）＝f（１）＝a－１
（４分）
②当a＜１＜２＋１a,即２（２－１）＜a＜２时,g（a）＝f（a）＝a２
（６分）
２２２４
③当２＋１a≤１,即０＜a≤２（２－１）时,g（a）＝f（１）＝１－a
（８分）
⎧⎪１－a,a≤２（２－１）
综上,g（a）＝⎪a２,（）
（１０分）
⎪４２－１＜a＜２
⎩⎪a－１,a≥２
２分）（:
－＝０
２０（１显然当a＝２（２－１）时,g（a）取最小值．
１）直线l１xy１yx１．
d＝|x１y２－x２y１|,则|AB|＝２|AO|＝２
（１２分）
∴S＝２S△ABC＝|AB|ydxy|
x１２＋y１２
＝２x１２＋y１２|x１２－２１
x１２＋y１２
１２２１（２）
＝２|xy－xy|
设l１:
y＝K１x,l２:
y＝K２x;
（４分）
∵KK
＝y２－y１y２＋y１＝y２２－y１２
CACB
x２－x１x２＋x１x２２－x１２
又x１２２x２２２y２２－y１２１
∵a２＋y１＝a２＋y２
∴x２２－x１２＝－a２
∴KK＝－１＝－１∴a２＝２∴椭圆方程为x２＋y２＝１
（６分）
CACBa２２２
y＝K１x２
２
∴２２,
２２
２＝２
（８）
x１＝１＋２K１２
同理可得x２
１＋２K２２分
又∵S＝２|x１y２－x２y１|＝２|K２－K１||x１x２|∴S２＝４（K２－K１）２x１２x２２
∴S２＝４（K２－K１）２（
K２４
K２
（１０分）
１＋２
１
１）（１＋２２）
将K２＝－２K
代入得S２＝４（K１＋K１）２（
４１
１
１２１
１＋２K１２）（１＋２K２）
S２＝４（２K１２＋１）２×（８K１２
）＝８∴S＝２２
（１２分）
（）４K１２
１＋２K１２２
２１１２分
１１１１３
（１）依题意得P０＝１,P１＝２,P２＝２＋２×２＝４
（２）依题意知,棋子跳到第n站有两种情况:
（３分）
２
第一种,棋子先到n－２站,又掷出反面,其概率为１Pn－２;
第二种,棋子先到n－１站,又掷出正面,其概率为１Pn－１．
１１（２
∴Pn＝２Pn－１＋２Pn－２２≤n≤９９）（６分）
（没写２≤n≤９９,得５分）
（３）【解法一】由（２）知,Pn－Pn－１＝－１（Pn－１－Pn－２）,且P１－P０＝－１
（８分）
∴{Pn
－Pn－１
}是以
－１为首项
２
２２
－１为公比的等比数列．
P９９＝P０＋（P１－P０）＋（P２－P１２P－P２）＋＋（P９９－P９８）
１１）＋（
２
１－（－１）１００
＝２＝２（１－１１００）
（１０分）
１＋１３２
２
＋＝１∴P
＝１（１＋１）P＝
１＝１（１＋１）
（１２）
又P９９
P１００
１００３
２９９或
１００
P９８２３
２９９分
∴玩该游戏获胜的概率为１（１＋１９９）
３２
【】∵＝１PPn≤９９
解法二Pn２n－１＋１n－２,２≤
∴P＋１P
２
＝P＋１
＝＝P＋１P＝１
（８分）
n２n－１n－１２Pn－２
２２１
Pn－２＝－１（Pn－１－２）
３２２
３
n－１n－１n
∴Pn－３＝（P１－２）（－１）
＝－１（－１）
＝１（－１）
∴Pn＝２＋１（－１）n,１≤n≤９９P９９＝２－１＋１９９＝２（１－１１００）
（１０分）
３３２３３２３２
∴P１００＝１－P９９＝１（１＋１９９）
３２
∴玩该游戏获胜的概率为１（１＋１９９）．
（１２分）
２２（１２分）３２
（１）f（x）的定义域为（０,＋∞）,f′（x）＝a＋a－２＝ax２－２x＋a
（１分）
∵f（x）在定义域内单调递增,∴f′（x）≥０,即ax２－２x＋a≥０对x＞０恒成立．
则a≥x２x
恒成立．
２＋１
∴a≥（x２x
）max∵x２x
≤１∴a≥１
２＋１２＋１
（２）
所以a的取值范围是[１,＋∞）
【解法一】将S表示为关于x１的函数,
（４分）
设方程f′（x）＝０,即ax２５x５a＝０的两根为x１,x２,且０＜x１＜x２．
由△＝４－４a２＞０且a＞３,得３＜a＜１
（５分）
－２＋２
则m＝f（x１）,n＝f（x２）,∵x１x２＝１,x１＋x２＝a
∴２＜x１＋x１＝a２＜１０
∴１＜x１＜１．
（７分）
１a３３a
S＝m－n＝ax１－x１－２lnx１－（ax２－x２－２lnx２）
＝ax１－a－２lnx１－（a－ax１＋２lnx１）＝２（ax１－a－２lnx１）
（６分）
x１x１x１
∵ax１２－２x１＋a＝０
∴a＝S＝４－lnx）＝４（－lnx）
（８分）
x１２＋１
x１２＋１１
x１２＋１２１
令x１２＝t,则１＜t＜１,得g（t）＝t－１－１lnt,１＜t＜１,则S＝４g（t）
９２t＋１２９
g′（t）＝－（t－１）２＜０∴g（t）而且（１,１）上递减,从而g（１）＜g（t）＜g（１）
２t（t＋１）４９１６９
即０＜g（t）＜ln３－５∴０＜S＜４ln３－５
（１２分）
【解法二】将S
表示x１的函数
为
x２
S＝m－n＝ax１－a－２lnx１－（ax２－a－２lnx２）＝a（x１－x２）－a（１－１）－２lnx１
x１x２
２x－x
xx１－１
x１x２x２
x
∵x１＋x２＝a,x１x２＝１∴S＝４
１＋２－２ln
１＝４x２
－２ln１
x１,
t－１
x１x２
x２x１x２x２
令x２＝t则S＝４t＋１－２lnt
∵t＋１＝x１２＋x２２＝（x１＋x２）２－２x１x２＝４－２,∵３＜a＜１
tx１x２
x１x２
a２５
∴２＜t＋t１＜８２∴１＜t＜１
（８分）
t９９１
（）２
设g（t）＝４
－１－２lnt（
＜t＜１）,g′（t）＝８
２－２＝－２t－１２＜０
（１０分）
t＋１９
（t＋１）t
t（t＋１）
∴g（t）在（１,１）上为减函数∴g（１）＜g（t）＜g（１）
９１６１６９
５５
∴０＜g（t）＜４ln３－即０＜S＜４ln３－．
【解法三】将S表示为关于a的函数．
∵x＝１－１－a２,x＝１＋１－a２,S＝４x１－x２－２lnx１
（１２分）
（６分）
１a２a
x１＋x２x２
∴S＝－４１－a２－２ln１－１－a２
令１－a２＝t∵３＜a＜１,∴０＜t＜４
（８分）
１－t５５４
∴S＝－４t－２ln１＋t＝－４t－２[ln（１－t）－ln（１＋t）],０＜t＜５
（１０分）
∴S′＝－４－２（１
－１）＝４t２＞０
t－１t＋１１－t２
５
∴S关于t单调递增,故０＜S＜４ln３－１６
（１２分）
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