例3.计算：
思咯分析：
若a≠0时,a0=1
对此项中的Sin36°是一项干扰支.迷惑同学们，因为Sin36°，不是表内特殊值，求不出来，至使解题陷入僵局，其实不然.不需要求Sin36°之值，只需要知道即可.因而，解题时，必须善于排除干扰支，解除困惑，准确使用数学概念，正确求出答案，对于特殊角三角函数值的计算，一.要准确无误代入三角函数值；二.要按照实数的运算法则进行运算；三.运算的结果必须是最简关系式.于是对上式便一目了然了.
例4.已知方程的两根为tgθ,ctgθ,求k和θ，（θ为锐角）
思路分析：
∵tgθ,ctgθ为二次方程的二根，根据与系数关系式，得
∵tgθ·ctgθ=1∴k=1
∴原方程为
即tgθ=,ctgθ=或tgθ=,ctg=
故θ1=30°θ2=60°
锐角三角函数与二次方程等有着千丝万缕的联系，各种知识交织在一起，因而必须把综合知识进行剖析，分解，然后各个击破，便可打通思路.如本例，首先运用二次方程的有关知识──根与系数关系；再运用锐角三角函数的倒数关系求出K，又回到解一元二次方程来，解出二根，从中求出tgθ,ctgθ之值，再求出对应的θ之值，总之，善于剖析，化整为零，一个一个解决，对复杂的综合题便可攻破了.
例5.在△ABC中，三边之比a：
b：
c=1：
：
2，则SinA+tgA等于（）
A.B.
C.D.
思路分析：
∵a：
b：
c=1：
：
2
∴可设a=k,b=k,c=2k（k>0）
∴a2+b2=k2+（k）2=4k2=（2k）2=c2
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°
根据三角函数定义，可知：
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°
根据三角函数定义，可知：
∴SinA+tgA
∴应选（A）
对于题设是以连比形式出现的，通常都是增设参数K，将未知转化已知，使问题明朗化，进而再研究三角形三边的关系，从而判定为直角三角形，又转化为锐角三角函数问题，找到思路，这是解决此类问题的常用方法，而且又比较方便，请同学们今后遇到此类问题，可小试“牛刀”.
【思维体操】
例1.已知AD是直角△ABC的斜边BC上的高，在△ADB及△ADC中分别作内接正方形，使每个正方形有两条边分别在DB，DA及DC，DA上，而两个正方形的第四个顶点E，F各在AB，AC上，求证：
AE=AF.
揭示思路1：
设∠ABC=α.正方形EMDG与正方形DNFH的边长分别为a,b
∵AD=AG+DG=a·tgα+a
AD=AH+DH=b·Ctgα+b
∴atgα+a=bctgα+b
∴
=b·ctgα=AH.
∴AE=AF
揭示思路2：
设BC=a,且∠ABC=α，则有
AB=acosα
同理：
∴AE=AF
由上两种思路证得AE=AF，可发现用三角法研究几何问题，开门见山，直截了当，只要所给定的几何图形中有直角三角形.便可应用锐角三角函数列出它们的边角关系式，再应用代数法计算一下，便可达到目的.题设所给的问题中，未有给定直角三角形，只要能构造出直角三角形，同样也可转化为用三角法证解之，而且也比较方便，由此可见，用三角法证（解）几何问题为解几何问题又开拓了新的渠道.为数与形结合提供了新的条件，我们应在这条新渠道不断探索，取得新的成果.现沿这思路继续扩散.
扩散一：
如图，Rt△ABC中，有正方形DEFG，D，G分别在AB，AC上，E，F在斜边BC上，求证：
EF2=BE·FC
揭示思路：
从题设及图形中都可发现有直角三角形，所以用三角法证之比较顺畅.
在Rt△BDE中，
在Rt△GFC中，
∵∠B+∠C=90°，∴tgB=tg（90°－C）=ctgC
∴
∵DE=GF=EF
∴EF2=BE·CF
扩散二：
在△ABC外侧作正方形ABDM和ACEN，过D，E向BC作垂线DF，EG，垂足分别为F，G，求证：
BC=DF+EG
提示思路：
观察图形可发现直角三角形DFB及直角三角形EGC.便萌生用三角法证明，可是此时DF，EG比较分散.设法作AH⊥BC再构两个直角三角形，通过正方形为“媒介”，这样把DF，EG就有了联系.此时，应用锐角三角函数定义建立边角关系，便可马到成功！
在Rt△EGC中，
∴EG=bcosβ
在Rt△DBF中，同理，DF=ccosα（设b,c,α,β如图）
∴EG+DF=bCosβ+ccosα
在Rt△ABH中，BH=ccosα
在Rt△ACH中，CH=bcosβ
∵BC=BH+CH,∴BC=bcosβ+ccosα
∴BC=EG+DF
扩散三：
设顶角A=108°的等腰三角形的高为h，∠A的三等分线及其外角的四等分线分别为P1，P2，求证：
揭示思路：
从图形中可发现有几个直角三角形存在，这个信息向我们提供用三角法证明是得天独厚的条件，不要犹豫，不然，将会失去良机.
如图，设△ABC的底边上的高AH=h,∠A的三等分线AD=P1，∠A的外角四等线AE=P2，∠BAC=108°，AB=AC，
∴∠DAH=18°
在Rt△ADH中，cos18°=
∵∠CAE=（180°－108°）=18°
∠ACB=（180°－108°）=36°
∴∠AEC=18°
在Rt△AHE中，Sin18°=
扩散四：
已知：
如∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为D、E、F.
求证：
揭示思路：
本例直角三角形之多，用三角法证之更不宜迟，用锐角三角函数定义，列出边角关系，可十分巧妙就证得结论.
设∠ABC=α，则∠DAF=∠CDF=α
扩散五：
在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F，求证：
EC=20F
揭示思路：
观察图形，图中有许多直角三角形，它启示我们用三角法作为“向导”，可直达目的地.
∠BEF=∠ACB+∠EAC=45°+∠BAE
∵∠BFE=∠CAE,∴∠BEF=∠BFE,
∴BE=BF
进而可知AD=DF
设正方表ABCD边长为1，又设∠BAE=∠CAE=α
则OA=OB=
在Rt△ABE中，BE=AB·tgα=BF
BF=OB－OF=OB－OA·tgα
∴ABtgα=OB－OAtgα
∴OF=OA·tgα=（－1）
EC=BC－BE=1－1·tgα=1－+1=2－=（－1）
∴EC=20F
应用锐角三角函数的定义研究几何问题；直观，又少添或不添设辅助线，充分发挥数的长处.把几何问题通过锐角三角形边角关系，应用计算法，便可曲径通幽，柳暗花明.同学们应加强这方面的学习，以拓宽几何证题思路.
三、智能显示
【动脑动手】
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，则SinB+CosB的值（）
（A）大于1（B）小于1
（C）等于1（D）不确定
2.在△ABC中，它的边角同时满足下列两个条件；
（1）SinC=1；
（2）SinA,CosB是方程4x2－cx+1=0的两个根，求a，b，c及S△ABC
3.证明：
“从平行四边形ABCD的顶点A，B，C，D向形外的任意直线MN引垂线AA＇BB＇CC＇DD＇垂足是A＇B＇C＇D＇（如下图）
求证：
AA＇+CC＇=BB＇+DD＇，现将直线MN向上移动，使得A点在直线的一侧，B、C、D三点在直线的另一侧（如中图），这时，从A、B、C、D向直线MN作垂线，垂足为A＇B＇C＇D＇，那么垂线放AA＇BB＇CC＇DD＇之间存在什么关系？
如将直线MN再问上移动，使两侧各有两个顶点（如下图）.从A，B，C，D向直线MN作的垂线放AA＇BB＇CC＇DD＇之间又有什么关系？
根据左图，中图，右图写出你的猜想，并加以证明.
揭示思路：
1.在Rt△ABC中，∠C=90°
由锐角三角函数定义，得
∵a+b>c
∴SinB+CosB>1,应选A.
2.∵SinC=1,∴∠C=90°
∵SinA+CosB=,SinACosB=
又A+B=90°,∴B=90°－A
∴CosB=Cos（90°－A）=SinA
∴c=4,A=30°,a=2,b=
3.猜想如下：
对于中图有：
CC＇－AA＇=BB＇+DD＇
对于右图有：
CC＇－AA＇=DD＇－BB＇
证法1.如图,设∠AEA＇=α,则AA＇=AESinα=（OA－OE）Sinα=OASinα－OESinα，又CC＇=CESinα=（OC+OE）Sinα=（OA+OE）Sinα=OASinα+OESinα
∴CC＇－AA＇=2OESinα
∵OO＇=OESinα,∴CC＇－AA＇=2OO＇
由题设知，OO’为梯形BB’D’D的中位线.
∴BB＇+DD＇=2OO＇
∴CC＇－AA＇=BB＇+DD＇
（2）如图，仿
（1）证法可得
CC＇－AA＇=2OESinα
DD＇－BB=2OFSinβ
∵OESinα=OFSinβ,
∴CC＇－AA＇=DD＇－BB＇
证法二：
（1）延长CB交MN于E，设AD与MN交于F，又设∠AFA＇=α，则∠BEB＇=α，在Rt△EBB＇中，
∵BE=CE－CB
∴BB＇=BESinα－CBSinα
在Rt△ECC＇中，Sinα=,
∴CC’=CESinα
∵CC＇－BB＇=BCSinα
在Rt△AA＇F与Rt△FDD＇中.
AA＇=AFSinα,DD＇=DFSinα
∵DF=AD－AF
∴DD＇=ADSinα－AFSinA＇
∴DD＇=ADSinα－AA＇
∴DD＇+AA＇=ADSinα
∵AD=BC,∴CC＇－BB＇=DD＇+AA＇
∴CC＇－AA＇=BB＇+DD＇
（2）仿证法
（1）同样可证得
CC＇+BB＇=BCSinα
AA＇+DD＇=ADSinα
∴CC＇+BB＇=AA＇+DD＇，
∴CC＇－AA＇=DD＇－BB＇
证法三：
（1）如图，作DE⊥CC＇，则DD＇C＇E为矩形，∴CE=CC＇－DD＇
设∠AFA＇=α，则易知∠CDE=α在Rt△CDE中，
∴CC＇－DD＇=CDSinα
在Rt△AFA＇中， AA＇=AFSinα
在Rt△FBB＇中， BB＇=BFSinα
∴BB＇=（AB－AF）Sinα=ABSinα－AFSinα
∴AA＇+BB＇=ABSinα
∵AB=CD,∵AA＇+BB＇=CC＇－DD＇∴CC＇－AA＇=DD＇+BB＇
（2）如图，仿
（1）同法可证：
CC＇－AA＇=DD＇－BB＇
【创新园地】
已知△ABC中，∠BAC=120°，∠ABC=15°，
∠A，∠B，∠C的对边分别为a,b,c那么a：
b：
c=_________（本结论中不含任何三角函数，但保留根号，请考虑多种解法）.
解法一：
过点B作BD⊥AC交CA的延长线于点D.
∴∠BAC=120°，
∠ABC=15°,∴∠ACB=∠DBC=45°,∠ABD=30°
在Rt△ABD中，Sin30°=∴AD=c
Cos30°=，∴BD=
∴b－BD－AD=
a=
∴a：
b：
c=
=
解法二：
如图，作AD⊥BC，交BC于D，在AB上取AE=AC，连CE，作AF⊥CE，交CE于F，则∠ACE=∠AEC=，∠BCE=∠ACB－30°=45°－30°=15°
∴△BEC为等腰三角形，∴BE=CE
设AD=CD=1，则AC=，即b=
∴CE=2ACCos30°=
∴AB=AE+EB=+，即c=+
∴BD=
∴BC=BD+DC=3+，即a=3+
∴a：
b：
c=（3+）：
：
（+）
=
解法三：
如图，作AD⊥BC,交BC于D,在BC上取点E，使∠BAE=∠B=15°,那么，连接AE，得：
∠AEC=30°，AE=BE.设AD=DC=1，则AC=，即b=，AE=BE=2AD=2，DE=AE·Cos30°=
∴
即c=+
∴a：
b：
c=（3+）：
：
（+）
=
解法四：
如图，BD=x，则2x2=a2，
∴x=
=（参照解法一图）
解法五：
以BC为直径作⊙o，延长CA交⊙o于在，连BD，设a=2r，则BD=r,AD=
=
解法六：
建立如图坐标系，则可求：
解法七：
建立如图坐标系，由B点引X轴的垂线，垂足为D，则
解法八：
建立如图坐标系，设C（－1，0），B（1，0），延长CA交Y轴于点D，连结BD，则D点坐标是（0，1），那么|BD|=|CD|=
本例还可用面积法证明，如S△CBD=a·BD，Sin45°=BD2∴BD=……
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