高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明考点规范练33基本不等式及其应用文新人教A版.docx

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高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明考点规范练33基本不等式及其应用文新人教A版

2021年高考数学一轮复习第七章不等式推理与证明考点规范练33基本不等式及其应用文新人教A版

1.下列不等式一定成立的是（　　）

A.lg>lgx（x>0）

B.sinx+≥2（x≠kπ,k∈Z）

C.x2+1≥2|x|（x∈R）

D.>1（x∈R）

2.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是（　　）

A.3B.4

C.5D.6

3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b（a

A.a

C.

4.（xx山东日照一模）已知圆x2+y2+4x-2y-1=0上存在两点关于直线ax-2by+2=0（a>0,b>0）对称,则的最小值为（　　）

A.8B.9C.16D.18

5.若正数x,y满足4x2+9y2+3xy=30,则xy的最大值是（　　）

A.B.C.2D.

6.要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是（　　）

A.80元B.120元

C.160元D.240元

7.若两个正实数x,y满足=1,且x+2y>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是（　　）

A.（-∞,-2）∪[4,+∞）

B.（-∞,-4]∪[2,+∞）

C.（-2,4）

D.（-4,2）

8.设x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=2,则的最大值为（　　）

A.2B.C.1D.

9.已知x>1,则logx9+log27x的最小值是　　　　　. 

10.（xx山东,文12）若直线=1（a>0,b>0）过点（1,2）,则2a+b的最小值为　　　　　. 

11.某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:

第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:

每次都提价%,若p>q>0,则提价多的方案是　　　　　. 

12.设a,b均为正实数,求证:

+ab≥2.

能力提升

13.已知不等式2x2-axy+y2≥0对任意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,则实数a的取值范围是（　　）

A.a≤2B.a≥2C.a≤D.a≤

14.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,则实数a的最小值为（　　）

A.1B.2C.3D.4

15.已知实数x,y满足x>y>0,且x+y=1,求的最小值.

16.某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本为C（x）（单元:

万元）,当年产量不足80千件时,C（x）=x2+10x（单位:

万元）.当年产量不少于80千件时,C（x）=51x+-1450（单位:

万元）.每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.

（1）写出年利润L（x）（单位:

万元）关于年产量x（单位:

千件）的函数解析式;

（2）年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?

高考预测

17.若a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围.

答案：

1.C　解析:

因为x>0,所以x2+≥2·x·=x,

所以lg≥lgx（x>0）,故选项A不正确;

当x≠kπ,k∈Z时,sinx的正负不定,故选项B不正确;

由基本不等式可知选项C正确;

当x=0时,有=1,故选项D不正确.

2.B　解析:

由题意知ab=1,则m=b+=2b,n=a+=2a,故m+n=2（a+b）≥4=4（当且仅当a=b=1时,等号成立）.

3.A　解析:

设甲、乙两地相距s,则小王往返两地用时为,

从而v=.

∵0

∴,即,∴a

4.B　解析:

由圆的对称性可得,直线ax-2by+2=0必过圆心（-2,1）,所以a+b=1.

所以（a+b）=5+≥5+4=9,当且仅当,即2a=b=时等号成立,故选B.

5.C　解析:

由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2×（2x）×（3y）+3xy（当且仅当2x=3y时等号成立）,

则12xy+3xy≤30,即xy≤2,

故xy的最大值为2.

6.C　解析:

设底面矩形的长和宽分别为am,bm,则ab=4m2.容器的总造价为20ab+2（a+b）×10=80+20（a+b）≥80+40=160（元）（当且仅当a=b=2时等号成立）.故选C.

7.D　解析:

因为x>0,y>0,=1,

所以x+2y=（x+2y）=2++2≥8,

当且仅当,即x=2y时等号成立.

由x+2y>m2+2m恒成立,

可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-4

8.C　解析:

由ax=by=3,

=,

又a>1,b>1,所以ab≤=3,

所以lg（ab）≤lg3,从而=1,当且仅当a=b=时等号成立.

9.　解析:

∵x>1,∴logx9+log27x=≥2,当且仅当x=时等号成立.

∴logx9+log27x的最小值为.

10.8　解析:

∵直线=1过点（1,2）,∴=1.

∵a>0,b>0,∴2a+b=（2a+b）·

=4+≥4+2=8.

当且仅当b=2a时等号成立.

11.乙　解析:

设原价为a,则方案甲提价后为a（1+p%）（1+q%）,方案乙提价后为a.

由于（1+p%）（1+q%）<

=,

故提价多的是方案乙.

12.证明:

因为a,b均为正实数,

所以≥2,

当且仅当,即a=b时,等号成立,

又因为+ab≥2=2,

当且仅当=ab时,等号成立,

所以+ab≥+ab≥2,

当且仅当即a=b=时,等号成立.

13.A　解析:

因为2x2-axy+y2≥0,且y≠0,所以2-a+1≥0.

令t=,则不等式变为2t2-at+1≥0.

由x∈[1,2],y∈[1,3],可知t∈,

即2t2-at+1≥0在t∈时恒成立.

由2t2-at+1≥0可得a≤,即a≤2t+.

又2t+≥2=2.

当且仅当2t=,即t=时等号成立,所以2t+取得最小值2,所以有a≤2,故选A.

14.D　解析:

令f（y）=|y+4|-|y|,

则f（y）≤|y+4-y|=4,即f（y）max=4.

∵不等式|y+4|-|y|≤2x+对任意实数x,y都成立,

∴2x+≥f（y）max=4,

∴a≥-（2x）2+4×2x=-（2x-2）2+4恒成立;

令g（x）=-（2x）2+4×2x,

则a≥g（x）max=4,∴实数a的最小值为4.

15.解:

∵x>y>0,x+y=1,

∴

=2+2

=2≥2+,

当且仅当2,

即x=,y=时等号成立.

∴的最小值是.

16.解:

（1）因为每件商品售价为0.05万元,则x千件商品销售额为0.05×1000x万元,依题意得,当0

当x≥80时,L（x）=（0.05×1000x）-51x-+1450-250=1200-,

则L（x）=

（2）当0

当x≥80时,L（x）=1200-≤1200-2=1200-200=1000,当且仅当x=时,即x=100时,L（x）取得最大值1000.

因为950<1000,所以当年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大.最大利润为1000万元.

17.解:

∵ab=a+b+3,∴a+b=ab-3,∴（a+b）2=（ab-3）2,

∵（a+b）2≥4ab,∴（ab-3）2≥4ab,

即（ab）2-10ab+9≥0,故ab≤1或ab≥9.

因此ab的取值范围是（-∞,1]∪[9,+∞）.