较为全面的解三角形专题高考题附答案.docx
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较为全面的解三角形专题高考题附答案
..
这是经过我整理的一些解三角形的题目，部分题目没有答案，自己去问老师同学，针
对高考数学第一道大题，一定不要失分。
——（下载之后删掉我）
1、在b、c，向量m2sinB,
3，n
cos2B,2cos2B
1，且m//n。
2
（I）求锐角B的大小；
（II）如果b
2，求ABC的面积SABC的最大值。
B
（1）解：
m∥n2sinB（2cos2
2－1）＝－3cos2B
2sinBcosB＝－3cos2B
tan2B＝－3
⋯⋯4分
2π
π
∵0＜2B＜π,∴2B＝3
∴锐角B＝3
⋯⋯2分
π5π
（2）由tan2B＝－3
B＝3
或6
π
①当B＝3时，已知b＝2，由余弦定理，得：
4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac（当且仅当a＝c＝2时等号成立）
⋯⋯3分
1
3
∵△ABC的面积S△ABC＝2acsinB＝4ac≤3
∴△ABC的面积最大值为
3
⋯⋯1分
5π
②当B＝6时，已知b＝2，由余弦定理，得：
4＝a2＋c2＋3ac≥2ac＋3ac＝（2＋3）ac（当且仅当a＝c＝6－2时等号成立）
∴ac≤4（2－3）⋯⋯1分
11
∵△ABC的面积S△ABC＝2acsinB＝4ac≤2－3
∴△ABC的面积最大值为2－3⋯⋯1分
..
5、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，
b，c，且bcosC3acosB
ccosB.
（
）求
cos
B的值；
（
II
）若BABC
2
，且b22，求和
b的值
.
I
ac
解：
（I）由正弦定理得a
2RsinA,b2RsinB,c
2RsinC，
则2RsinBcosC
6RsinAcosB
2RsinCcosB,
故sinBcosC3sinAcosB
sinCcosB,
可得sinBcosC
sinCcosB
3sinAcosB,
即sin（BC）3sinAcosB,
可得
sinA
又
3sinAcosB.sinA0,
cosB
1.
因此
3⋯⋯⋯⋯6分
（II）解：
由BABC2,可得acosB2，
又cosB
1
故ac
6,
3
由b2
a2
c2
2accosB,
可得a2
c2
12,
所以（a
c）2
0,即a
c,
所以a＝c＝6
6、在ABC中，cosA
5
，cosB
10
.
5
10
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）设AB
2
，求ABC的面积.
cosA
5
10
A、B
0，
cosB
（Ⅰ）解：
由
5
，
10
，得
2
，所以
sinA
2，sinB
3.
5
10
⋯⋯3分
cosC
cos[
（A
B）]
cos（A
B）
cosAcosB
2
sinAsinB
因为
2⋯6分
且0
C
C.
⋯⋯⋯⋯7分
故
4
（Ⅱ）解：
..
根据正弦定理得
AB
AC
AC
ABsinB
6
sinC
sinB
sinC
10，
⋯⋯⋯⋯..10分
1AB
ACsinA
6.
所以ABC的面积为2
5
7、在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量m
（1,2sinA），
n（sinA,1
cosA）,满足m//n,b
c
3a.
（I）求A的大小；（II）求sin（B
6）的值.
解：
（1）由m//n得2sin2A1
cosA
0
⋯⋯2分
即2cos2A
cosA1
0
cosA
1或cosA
1
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
A是ABC的内角,cosA
1舍去
A
⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
3
（2）b
c
3a
sinB
sinC
3sinA
3
2⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
由正弦定理，
B
C
2
sinBsin（2
B）
3
⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分
3
3
2
3cosB
3sinB
3即sin（B
）
3
2
2
2
6
2
8、△ABC中，
a，，
分别是角
，，
的对边，且有
sin2C+
3
cos
（
）
，
当
bc
ABC
A+B
=0.
a4,c13，求△ABC的面积。
解：
由sin2C
3cos（A
B）
0且A
B
C
2sinCcosC
3cosC
0所以,cosC
3
0或sinC
⋯⋯6分
有
2
a4,c13,有c
a,所以只能sinC
3,则C
3，⋯⋯8分
由
2
由余弦定理c2
a2
b2
2ab
cosC有b2
4b
3
0,解得b
1或b
3
b3时,S
1
absinC
33
当b
1时,S
1
3.
2
absinC
当
2
..
9
、在△
中，角
、、
C
所对边分别为a，，
，已知
tanA
1
tanB
1
，且最长边
ABC
AB
bc
2
3
的边长为l.求：
（I）角C的大小；
（II）△ABC最短边的长.
tanA
tanB
1
1
2
3
1
1tanAtanB
1
1
9、解：
（I）tanC＝tan[
π－（A＋B）]＝－tan（A＋B）
1
2
3
3
∵0
C
C
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分
，∴4
（II）∵0
∴最短边为b
，最长边长为c⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7分
tanB
1
sinB
10
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
由
3，解得
10
10
csinB
1
5
b
10
b
c
sinC
2
5
由sinB
sinC
，∴
2
⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
10、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a+b=5，c=
7，且
4sin2AB
cos2C
7.
2
2
（1）求角C的大小；
（2）求△ABC的面积.
10、解：
（1）∵A+B+C=180°
4sin2
AB
cos2C
7得4cos2
C
cos2C
7
由
2
2
2
2⋯⋯⋯⋯1分
41
cosC
（2cos2C
1）
7
⋯⋯⋯⋯⋯⋯3分
∴
2
2
整理，得4cos2
C4cosC
10
⋯⋯⋯⋯4分
..
1
cosC
2
⋯⋯5分
解得：
∵0C
180
∴C=60°⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
（2）解：
由余弦定理得：
c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－ab⋯⋯⋯⋯7分
∴
7（a
b）2
3ab
⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
由条件a+b=5得7=25－3ab⋯⋯9分
ab=6⋯⋯10分
∴
SABC
1absinC
1
6
3
3
3
2
2
2
2
⋯⋯⋯⋯12分
12、在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，m（2bc,a），n（cosA,cosC），
且mn。
⑴求角A的大小；
⑵当y
2sin2B
sin（2B
）取最大值时，求角B的大小
6
解：
⑴由m
n，得mn
0，从而（2b
c）cosA
acosC
0
由正弦定理得2sinBcosA
sinCcosA
sinAcosC
0
2sinBcosA
sin（A
C）
0,
2sinBcosA
sinB
0
sinB
1
A
A,B（0,
0,cosA
（6分）
），
2，
3
y
2sin2B
sin（2B
）
（1
cos2B）
sin2Bcoscos2Bsin
⑵
6
6
6
1
3sin2B
1cos2B
1
sin（2B
）
2
2
6
由
（1）
0
B
2
2B
7
2时，
得，
3
6
66
6
B
即3时，
y取最大值
2
..
13、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若ABACBABCk（kR）.
（Ⅰ）判断△ABC的形状；（Ⅱ）若c2,求k的值.
解：
（I）ABACcbcosA,BABCcacosB⋯⋯⋯⋯1分
又ABACBABCbccosAaccosB
sinBcosA
sinAcosB
⋯⋯⋯⋯3分
即sinAcosB
sinBcosA
0
sin（AB）
0⋯⋯⋯⋯5分
AB
AB
ABC为等腰三角形.⋯⋯⋯⋯7分
（II）由（I）知a
b
AB
AC
bccosA
bcb2
c2
a2
c2
⋯⋯⋯⋯10分
2bc
2
c
2
k1⋯⋯⋯⋯12分
ABC中，a、b、c分别是角A、
B、C的对边，且cosB
b
14、在△
cosC
.
2ac
I
）求角
B
的大小；
（
II
）若
b
13，ac
4
ABC
（
，求△
的面积.
a
b
c
2R
解：
（I）解法一：
由正弦定理sinA
sinB
sinC
得
a
2RsinA，b
2RsinB，cR2
sinC
cosB
b
得cosB
sinB
将上式代入已知cosC
2a
c
cosC
2sinA
sinC
即2sinAcosB
sinCcosBcosCsinB
0
..
即
2sinAcosB
sin（B
C）
0
∵ABC
，∴sin（B
C）sinA，∴2sinAcosBsinA0
sinA≠0，∴cosB
1，
∵
2
2
B
∵B为三角形的内角，∴3.
cosB
a2
c2
b2
，cosC
a2
b2
c2
解法二：
由余弦定理得
2ac
2ab
cosB
b
c得
a2
c2
b2
×a2
2ab
b
将上式代入cosC
2a
2ac
b2
c2
2a
c
整理得a2
c2
b2
ac
a2
c2
b2
ac
1
cosB
2ac
2ac
2
∴
B
2
3
∵B为三角形内角，∴
b
13
，
ac
4
，
2
B
代入余弦定理b
2
a2
c2
2accosB得
（II）将
3
b2
（ac）2
2ac
2accosB，
13
162
ac（1
1），∴ac3
∴
2
S△ABC
1acsinB
3
3
∴
2
4
.
15、（2009全国卷Ⅰ理）
在
ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已
知a2
c2
2b，且sinAcosC
3cosAsinC,
求b
15
、解：
在ABC中
sinAcosC3cos
AsinC,则由正弦定理及余弦定理
..
a2
b2
c2
b2
c2
a2
有:
a
2ab
3
2bc
c,化简并整理得：
2（a2
c2）
b2
.又由已知
a2
c2
2b4bb2.解得b
4或b
0（舍）.
16、（2009浙江）在
ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cosA
2
5，
2
5
ABAC
3．
（I）求ABC的面积；
（II）若b
c6，求a的值．
cosA
2
5
cosA
2cos2A1
3,sinA
4
3，
解析：
（I）因为
2
5
，
2
5
5，又由AB
AC
得bccosA
3,
bc5，
SABC
1bcsinA2
2
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（II）对于bc
5，又bc
6，
b
5,c
1或b1,c
5，由余弦定理得
a2
b2
c2
2bccosA
20，
a
2
5
17、6.（2009北京理）在
ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,B
，
3
cosA
4,b3。
5
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）求ABC的面积.
18、（2009全国卷Ⅱ文）设△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，
cos（AC）
cosB
3,b2
ac，求B.
2
1.
19、（2009
安徽卷理）在
ABC中，sin（C
A）
1,sinB=
3
（I）求sinA
的值，（II）设AC=6
，求
ABC的面积.
20、（2009
江西卷文）在△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，A
，
6
（13）c
2b．
..
（1）求C；
（2）若CBCA1
3，求a,b，c．
21、（2009江西卷理）△ABC中，A,B,C所对的边分别为a,b,c，
tanC
sinA
sinB,sin（B
A）cosC.
cosA
cosB
（1）求A,C；
（2）若SABC3
3,求a,c.21世纪教育网
22、（2009天津卷文）在
ABC中，BC
5,AC3,sinC2sinA
（Ⅰ）求AB的值。
（Ⅱ）求sin（2A
）的值。
4
23、（2010
年高考天津卷理科7）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若
a2
b2
3bc，sinC=23sinB，则A=
（A）30°
（B）60°
（C）120°
（D）150°
24．（2010年高考全国2卷理数17）（本小题满分
10分）
ABC中，D为边BC上的一点，BD
33，sinB
5，cosADC
3，求AD
13
5
25．（2010年高考浙江卷理科18）在ABC中，角A，B,C所对的边分别
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