最新人教版高中数学必修2第二章《直线平面简单几何体a版》单元测试.docx
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最新人教版高中数学必修2第二章《直线平面简单几何体a版》单元测试
单元测试九直线、平面、简单几何体（A版）
【说明】本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知平面α∩平面β=l，m是平面α内的一条直线，则在平面β内（）
A.一定存在直线与直线m平行，也一定存在直线与直线m垂直
B.一定存在直线与直线m平行，但不一定存在直线与直线m垂直
C.不一定存在直线与直线m平行，但一定存在直线与直线m垂直
D.不一定存在直线与直线m平行，也不一定存在直线与直线m垂直
答案：
C
解析：
若m∥l，则β内必有与m平行的直线；若m与l相交，则β内无直线与m平行.∴不一定存在直线与直线m平行，排除A、B.又β内一定存在与m在β内的射影垂直的直线，由三垂线定理知，β内一定存在直线与m垂直，故选C.
2.已知α，β表示平面，m，n表示直线.下列命题中正确的是（）
A.若α∥β,mα,nβ,则m∥nB.若α⊥β,mα,nβ,则m⊥n
C.若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥βD.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β
答案：
C
解析：
垂直于两平行直线的两平面平行，故选C.
3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱BB1，B1C1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD1与DM所成的角为（）
A.30°B.45°C.60°D.90°
答案：
D
解析：
由题知DM在平面BC1内的射影为MC，又MC⊥MN，则由三垂线定理知DM⊥MN，则∠DMN=90°，故选D.
4.设b、c表示两条直线，α、β表示两个平面，下列命题中真命题是（）
A.若bα,c∥α，则b∥cB.若bα,b∥c，则c∥α
C.若c∥α,c⊥β,则α⊥βD.若c∥α,α⊥β,则c⊥β
答案：
C
解析：
如果一条直线平行于一个平面，它不是与平面内的所有直线平行，只有部分平行，故A错；若一条直线与平面内的直线平行，该直线不一定与该平面平行，该直线可能是该平面内的直线，故B错；如果一个平面与另一个平面的一条垂线平行，那么这两个平面垂直，这是一个真命题，故C对；对D来讲若c∥α，α⊥β，则c与β的位置关系不定，故选C.
5.如右图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，AB≠AC,D、E分别是BC、AB的中点，AC＞AD，设PC与DE所成的角为α，PD与平面ABC所成的角为β，二面角P-BC-A的平面角为γ，则α、β、γ的大小关系是（）
A.α<β<γB.α<γ<β
C.β<α<γD.γ<β<α
答案：
A
解析：
过A作AF⊥BC于F，连PF，则∠PFA为二面角P-BC-A的平面角，
∴∠PFA=γ，∠PCA为异面直线DE与PC的夹角，即∠PCA=α，连AD，PD与平面ABC的夹角为∠PDA∠PDA=β.
∵AC≠AB,
∴AFADAEtanβ>tanα.
又α、β、γ为锐角，
∴α<β<γ，故选A.
6.设一个正多面体的面数为F，顶点数为V，若F+V=8，且它的各条棱长都等于4，则这一多面体的外接球的球面面积是（）
A.12πB.24πC.16πD.28π
答案：
B
解析：
此题即求棱长为4的正四面体的外接球面积.
7.在长方体交于一点的三条棱长各取一点，过这三点作一截面，那么这个截面是（）
A.钝角三角形B.锐角三角形
C.直角三角形D.锐角三角形或直角三角形
答案：
B
解析：
如右图，由∠ANP<90°,∠ANM<90°,
∴cosANP·cosANM>0，
又cosPNM=cosANP·cosANM>0，
∴0°<∠PNM<90°.
同理可得
∠MPN<90°,∠PMN<90°.
综上,三角形PMN为锐角三角形，故选B.
8.三棱锥PABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥面ABC，且PA=AB，则二面角A-PB-C的平面角的正切值为（）
A.B.C.D.
答案：
A
解析：
过C作CE⊥AB交AB于E，过E作EF⊥PB交PB于F，连CP，则∠EFC即为所求.
设PA=a，则EF=a,CE=a，
∴tanEFC=.故选A.
9.如右图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点.则直线EF和BC1所成的角是（）
A.45°B.60°C.90°D.120°
答案：
B
解析：
将其补成正方体如图所示，连C1D、DB，则EF∥C1D，则△C1DB为正三角形，∠DC1B即为所求，
∴∠DC1B=60°，故选B.
10.已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H.设四面体EFGH的表面积为T，则TS等于（）
A.B.C.D.
答案：
A
解析：
连结各面中心如右图所示，EG∶BD=1∶3，同理可得：
四面体EFGH的棱与四面体ABCD相对应的棱之比均为1∶3，则面积之比为其相对棱的比的平方T∶S=1∶9，故选A.
11.对于直线m、n和平面α，下列命题中的真命题是（）
A.如果mα,nα,m、n是异面直线，那么n∥α
B.如果mα,nα,m、n是异面直线，那么n与α相交
C.如果mα,n∥α,m、n共面，那么m∥n
D.如果m∥α,n∥α,m、n共面，那么m∥n
答案：
C
解析：
A中n与α关系不确定，B同A，C为真命题，D中m与n也可能相交，故选C.
12.如右图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，且BD=1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则α等于（）
A.B.C.arcsinD.arcsin
答案：
D
解析：
如右图，E、O为B、D在平面A1C上的射影，则∠DAO即为所求.易知EO=1，EA=,DO=EB=AO=.AD=，则
sinDAO=，故选D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13.设正方体的棱长为a，则以其六个面的中心为顶点的多面体的体积是________________.
答案：
解析：
多面体的体积等于底面边长为a（底面为正方形），高为a的四棱锥的体积，即为：
·（a）2×a=.
14.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________________.（写出所有符合要求的图形序号）
答案：
①③
解析：
∵面AB∥面MNP.
∴AB∥面MNP.
过N作AB的平行线交底面正方形的中心O，NO面MNP，
∴AB与面MNP不平行，
易知AB∥MP，
∴AB∥面MNP.
过M作MC∥AB.
∵MC面MNP，
∴AB与面MNP不平行.
15.三棱锥P-ABC的四个顶点在同一球面上，若PA⊥底面ABC，底面ABC是直角三角形，PA=2，AC=BC=1，则此球的表面积为________________.
答案：
6π
解析：
如图所示，PA⊥底面ABC，即PA⊥ABC所在的圆面，且△ABC是Rt△，AB是圆面的直径.BC=AC=1∠ACB是直角，AB=.又PA=2，由四点内接于球面BP是球面直径，BP=球半径r=表面积S=4πR26π.
16.已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是：
①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点
在上面结论中，正确结论的编号是_________________（写出所有正确结论的编号）.
答案：
①②④
解析：
两条异面直线在同一平面内的射影不可能出现共线情况，其他都有可能，故有①②④.
三、解答题（17—21题每小题12分，22题14分，共74分）
17.如下图，在△ABC中，AC=BC=1，∠ACB=90°，点D在斜边AB上，∠BCD=α（0<α<）.把△BCD沿CD折起到△B′CD的位置，使平面B′CD⊥平面ACD.
（1）求点B′到平面ACD的距离（用α表示）；
（2）当AD⊥B′C时，求三棱锥B′-ACD的体积；
（3）当点B′在平面ACD内的射影为线段CD的中点时，求异面直线AD与B′C所成角的大小.
解析：
（1）作B′E⊥CD于E.
∵平面B′CD⊥平面ACD，
∴B′E⊥平面ACD.
∴B′E的长为点B′到平面ACD的距离.
B′E=B′C·sinα=sinα；
（2）∵B′E⊥平面ACD，
∴CE为B′C在平面ACD内的射影.
又AD⊥B′C，∴AD⊥CD（CE）.
∵AC=BC=1，∠ACB=90°，
∴D为AB中点，且α＝.
∴S△ACD=·AC·BC=，B′E=sin=.
∴VB′-ACD=··=；
（3）∵E为CD中点，且B′F⊥CD，
∴B′D=B′C=1,∠B′DC=α=.作CF∥DA，并作EF⊥CF于F，连接B′F，则∠B′CF为B′C与AD所成的角.
在Rt△FCE中，∠FCE=∠BDC=∠B′DC=∠B′CD=，
∴CF=B′C（cos）2=.
∵B′E⊥平面ACD，EF⊥CF，
∴B′F⊥CF.
∴cosB′CF=>0.
∴∠B′CF=arccos.
即B′C与AD所成的角为arccos.
18.如右图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC中点.
（1）求证：
平面BEC1⊥平面ACC1A1；
（2）求证：
AB1∥平面BEC1；
（3）若，求二面角E-BC1-C的大小.
证明：
（1）∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，
∴AA1⊥平面ABC.
∴BE⊥AA1.
∴BE⊥AC.
∵△ABC是正三角形，E是AC中点，
∴BE⊥平面ACC1A1.
又∵BE平面BEC1，
∴平面BEC1⊥平面ACC1A1.
（2）连B1C，设BC1∩B1C=D.
∵ABC-A1B1C1是正三棱柱，
∴BCC1B1是矩形，D是B1C的中点.
∵E是AC的中点，
∴AB1∥DE.
∵DE平面BEC1，AB1平面BEC1，
∴AB1∥平面BEC1.
解析：
（3）作CF⊥EC1于F，FG⊥BC1于G，连CG.
∵平面BEC1⊥平面ACC1A1，
∴CF⊥平面BEC1.
∴FG是CG在平面BEC1上的射影.根据三垂线定理得CG⊥BC1.
∴∠CGF是二面角E-BC1-C的平面角.
设AB=a，
∵，则A1A=a.
在Rt△ECC1中，CF=.
在Rt△BCC1中，CG=.
在Rt△CFG中，
∵sinCGF=，
∴∠CGF=45°.
∴二面角E-BC1-C的大小是45°.
19.如右图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD=2，点M、N分别在棱PD、PC上，且PC⊥平面AMN.
（1）求证：
AM⊥PD；
（2）求二面角P-AM-N的大小；
（3）求直线CD与平面AMN所成角的大小.
（1）证明：
∵ABCD是正方形，
∴CD⊥AD.
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD.
∴CD⊥平面PAD.
∵AM平面PAD，
∴CD⊥AM.
∵PC⊥平面AMN，
∴PC⊥AM.
∴AM⊥平面PCD.
∴AM⊥PD.
（2）解析：
∵AM⊥平面PCD（已证），
∴AM⊥PM，AM⊥NM.
∴∠PMN为二面角P-AM-N的平面角.
∵PN⊥平面AMN，
∴PN⊥NM.
在直角Rt△PCD中，CD=2，PD=2，
∴PC=2.
∵PA=AD，AM⊥PD，
∴M为PD的中点，PM=PD=.由Rt△PMN∽Rt△PCD，得MN=.
∴cosPMN=
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