第5讲 浓度问题与经济问题完整版.docx
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第5讲浓度问题与经济问题完整版
第五讲浓度问题与经济问题
内容概述
实际生活中与浓度或经济有关的百分数应用题.掌握浓度问题中溶液、溶质、浓度的概念，熟练处理两种溶液混合的问题.掌握经济问题中成本、利润、利润率等概念，熟悉相关问题的计算.体会浓度问题与经济问题的联系和区别.
典型问题
兴趣篇：
1.小高用糖块和开水配制了350克浓度为20%的糖水，那么在配制过程中，月了多少克开水？
答案：
280克
【解析】350克浓度为20%糖水含水350×（1-20%）=280克.
2.在200克浓度为15%的盐水中加入50克盐，这时盐水浓度变为多少？
然后再加入150克水，浓度变为多少？
最后又加入200克浓度为8%的盐水，浓度变为多少？
答案：
32%,20%,16%
【解析】加入50克盐后，盐的重量变为200×15%+50=80克，盐水的重量变为200+50=250克，所以此时盐水的浓度是：
80÷250×100%=32%.
再加入150克水后，盐的重量仍然是80克，盐水的重量则变为250+150=400克，所以这时盐水的浓度是80÷400×100%=20%.
最后又加入200克浓度为8%的盐水后，盐的重量变为80+200×8%=96克，盐水的重量则变为400+200=600克．此时盐水的浓度是96÷600×100%=16%．
3.
（1）在120克浓度为20%的盐水中加入多少克水，才能把它稀释成浓度为10%的盐水？
（2）在900克浓度为20%的糖水中加人多少克糖，才能将其配成浓度为40%的糖水？
答案：
（1）120克
（2）300克
【解析】
（1）加水前后盐的重量始终是：
120×20%=24克．因此浓度为10%的盐水的重量是：
24÷10%=240克．所以加入水的重量是：
240-120=120克．
（2）900克糖水中糖占20%，水占80%，因此水的重量是：
900×80%=720克．加入糖后糖占40%，水占60%，因此糖水的重量是720÷60%=1200克，加入糖的重量就是糖水增加的重量，因此需要加入糖：
1200-900=300克．
4.现有浓度为20%的盐水100克，加入相同质量的盐和水后，变成了浓度为30%的盐水，请问：
加了多少克盐？
答案：
25克
【解析】把相同重量的益和水看成是浓度为50%的盐水．因为混合时溶液重量与浓度差值成反比，所以原来溶液与新加溶液的重量之比应为（50%-30%）：
（30%-20%）=2：
1．
原来浓度为20%的盐水有100克，所以新加的浓度为50%的盐水有lOO÷2×1=50克，因此加入的盐是：
50×50%=25克.
5.在浓度为40%的酒精溶液中加入5千克水，浓度变为30%.再加入多少千克纯酒精，浓度才能变成50%?
答案：
8千克
【解析】把加入的水看作是5千克浓度为0%的酒精溶液，于是问题就变为：
在浓度为40%的酒精溶液中加人多少克浓度为0%的酒精溶液，浓度变为30%?
这时40%的酒精溶液重量：
0%的酒精溶液重量=（30%-O%）：
（40%-30%）=3：
1．而0%的溶液就是水，重量为5千克．因此40%的溶液有5÷1×3=15千克，
所以混合后的溶液重量是15+5=20千克．再加入纯酒精时，我们可以把它看作浓度为100%的酒精溶液．这时问题便变为：
在20千克浓度为30%的酒精溶液中加人多少千克浓度为100%的酒精溶液，混合后的溶液浓度为50%?
同理可求得需要加入酒精20÷5×2=8千克．
6.
（1）一部电话的进价是250元，售出价是320元，这部电话的利润率是多少？
（2）-个鼠标的进价是108元，定价是180元，实际上打七五折出售，这个鼠标的利润率是多少？
（3）-件皮衣的进价是800元，标价是1440元，结果没人来买，店主决定打折出售，但希望利润率不能低于35%，请问：
这件皮衣最低可以打几折？
答案：
（1）28%
（2）25%（3）七五折
【解析】
（1）根据利润=总售价一总成本，因此这部电话的利润是：
320-250=70元．再根据利润率=
．因此这部电话的利润率是：
．
（2）鼠标的价格打了七五折，所以它的实际售出价是：
180×0.75=135元，
所以鼠标的利润是：
135-108=27元．
利润率是：
×100%=25%．
（3）我们只需算出利润率是35%时的售出价即可．
根据：
总售价一总成本×（1+利润率），可知售出价是：
800×（1+35%）=1080元．它与原价相比，是原价的1080÷1440=0.75．
所以这件皮衣最低可以打75折，才能使利润率不低于35%.
7.某商店卖出两件商品，其中一件比进价高10%出售，另一件比进价低10%出售，结果两件的售出价都是990元，试问：
这两件商品售出后，商店是赚了还是赔了？
答案：
赔了
【解析】由题意得，第一件商品的进价为990÷（1+10%）=900元，另一件商品的进价为990÷（1-10%）=1100元．因此两件商品的总成本为900+1100=2000元，而最终两件商品只卖了990+990=1980，比成本少了20元，因此在这两件商品售出后，商店是赔了.
8.甲、乙两种商品，甲商品的成本是125元，乙商品的成本比甲商品低16%，现有以下三种销售方案：
①甲商品按30%的利润率定价？
乙商品按40%的群润率定价；
②甲、乙都以35%利润率定价；
③甲、乙的定价都是155元，
请问：
选择哪种方案最赚钱？
这时能盈利多少元？
答案：
方案②；80.5元
【解析】甲商品的成本是125元，乙商品的成本是：
125×（1-16%）=105元．
①甲商品利润是：
125×30%=37.5元，乙商品的利润是：
105×40%=42元．它们的利润之和是：
37.5+42=79.5元．
②甲商品利润是：
125×35%=43.75元，乙商品的利润是：
105×35%=36.75元，它们的利润之和是：
43.75+36.75=80.5元．
③甲商品利润是：
155-125=30元，乙商品的利润是：
155-105=50元．它们的利润之和是：
30+50=80元．
比较三种方案的利润和，第二种方案最赚钱，共能盈利80.5元.
9.一件衣服，第一天按80%的利润率定价，无人来买；第二天在此基础上再打九折，还是无人来买；第三天再降价96元，终于卖出．已知卖出的价格是进价的1.3倍，求这件衣服的进价．
答案：
300元
【解析】假设进价是1份，则第一天的定价为：
1×（1+80%）=1.8份，那么第二天的定价就为：
1.8×0.9=1.62份．所以96元就相当于1.62-1.3=0.32份，所以1份的价格就是：
96÷0.32=300元．因此这件衣服的进价是300元．
10.王老师有10000元钱，打算存入银行两年，
办法一：
存两年期的整存整取定期储蓄，年利率为4.7%，到期后可取出本金和利息一共多少元？
办法二：
先存一年期的整存整取定期储蓄，年利率为4%；到期后将本金和利息再存一年，最后本金和利息一共多少元？
答案：
10940元,10816元
【解析】如果按办法一存钱，那到期后本金与利息共有：
10000+10000×2×4.7%=10940元：
如果按办法二存钱，那第一年后本金与利息的总和是：
10000+10000×1×4%=10400元，
第二年后本金与利息的总和是：
10400+10400×1×4%=10816元，
所以用办法一存钱，最后本金和利息一共10940元；用办法二存钱，最后本金和利息一共是10316元.
拓展篇：
1.一个瓶子内最初装有25克纯酒精，先倒出5克，再加入5克水后摇匀，这时溶液的浓度是多少？
接着又倒出5克，加入5克水，此时溶液的浓度变为多少？
答案：
80%64%
【解析】最初的纯酒精有25克，倒出5克之后，还剩20克纯酒精．又加入了5克水后，溶液总重量变成25克，但纯酒精还是20克．这时浓度为：
20÷25×100%=80%．
第一问操作完成之后，瓶子里是25克浓度为80%的溶液，其中纯酒精有20克，接着又倒出了5克溶液，这5克溶液的浓度是80%，也就是说这5克里面有酒精5×80%=4克．所以实际上倒出了4克纯酒精和1克水．这时，瓶子里的酒精还剩下20-4=16克．再加入5克水后，总溶液倒出5克、加入5克，重量不变，还是25克，于是浓度为16÷25×100%=64%．
2.墨莫从冰箱里拿出一瓶100%的汇源纯果汁，一口气喝了五分之一后又放回了冰箱．第二天妈妈拿出来喝了剩下的五分之一，觉得太浓，于是就加水兑满，摇匀之后打算明天再喝，第三天墨莫拿出这瓶果汁，一口气喝得只剩一半了，他担心妈妈说他喝得太多，于是就加了些水把果汁兑满，请问：
这时果汁的浓度是多少？
答案：
32%
【解析】设原来纯果汁的重量为100克，则第一天喝了五分之一后，还剩下100×（1-
）=80克.
第二天妈妈先喝了剩下这80克的五分之一，那么这时还剩下80×（1-
）=64克纯果汁．
第三天墨莫喝了一半，即喝了64÷2=32克纯果汁，剩下纯果汁32克，
因为加水兑满后，果汁的重量是100克，所以此时浓度便为32%.
3.
（1）有浓度为20%的糖水500克，另有浓度为56%的糖水625克，将它们混合之后，糖水的浓度是多少？
（2）有浓度为75%的糖水32克，将其稀释成浓度为30%的糖水，需加入水多少克？
答案：
（1）40%
（2）48克
【解析】
（1）混合前浓度为20%的500克糖水中有糖：
500×20%=100克．
浓度为56%的625克糖水中有糖：
625×56%=350克，
所以混合后的溶液中一共有糖100+350=450克．
混合后溶液的总重量就是原来两种溶液的重量和：
500+625=1125克，
那么混合后浓度就是：
450÷1125×100%=40%．
（2）浓度为75%的32克糖水含有糖：
32×75%=24克．
因为加水前后糖的重量不变，所以加水之后得到的30%糖水中，糖的重量仍然是24克．
所以加水后糖水的总重量是：
24÷30%=80克．
加水后比原来重了：
80–32=48克．这48克就是加入的水.
4.有浓度为20%的硫酸溶液450克，要配制成35%的硫酸溶液，需要加入浓度为65%的硫酸溶液多少克？
答案：
225克
【解析】列出十字交叉：
很明显看出需要加入225克65%的硫酸溶液.
5.两个杯子里分别装有浓度为40%与10%的盐水，将这两杯盐水倒在一起混合后，盐水浓度变为30%.若再加入300克20%的盐水，浓度变为25%.请问：
原有40%的盐水多少克？
答案：
200克
【解析】根据题意：
“30%的盐水中加入300克20%的盐水，浓度变为25%”，说明30%的盐水和20%的盐水的质量比是（25%-20%）：
（30%-25%）=1:
1，所以30%的盐水也是300克．原40%与10%的盐水的质量比是（30%-10%）：
（40%-30%）=2:
1，所以原有40%的盐水300×
=200克．
6.有甲、乙、丙三瓶糖水，浓度依次为63%、42%、28%，其中甲瓶有11千克，先将甲、乙两瓶中的糖水混合，浓度变为49%;然后把丙瓶中的糖水全部倒入混合液中，得到浓度为35%的糖水，请问：
原来丙瓶有多少千克糖水？
答案：
66千克
【解析】先分析第一个混合过程：
甲瓶和乙瓶的重量比就是（49%-42%）：
（63%-49%）=7%：
14%=1：
2．
所以乙瓶糖水重量就是11÷1×2=22千克.
甲瓶糖水和乙瓶糖水混合后得到的糖水重量是11+22=33千克，浓度为49%．
同理，分析第二个混合过程．
甲乙两瓶混合后得到的糖水和丙瓶糖水的重量比就是（35%-28%）：
（49%-35%）=1:
2．
所以丙瓶糖水的重量就是33÷1×2=66千克．
7.甲、乙、丙三瓶糖水各有30克、40克、20克，将这三瓶糖水混合后，浓度变为30%．已知甲瓶的浓度比乙瓶和丙瓶混合溶液的浓度高9%，甲瓶的浓度比乙瓶的浓度高9%．请求出丙瓶糖水的浓度．
答案：
25%
【解析】甲的质量和乙、丙混合液的质量的比是30：
（40+20）=1：
2，所以混合时浓度差的比是2：
1；由于浓度差是9%．所以乙、丙混合液的浓度是30%-9%×
=27%，乙和乙、丙混合液的浓度差是9%-8%=1%．由于乙、丙的质量比是40：
20=2:
1，所以乙、丙分别与乙、丙混合液的浓度差的比是1：
2，所以丙的浓度是27%-1%×2=25%．
8.如果取40克甲种酒精溶液和60克乙种酒精溶液混合，那么浓度为62%;如果取同样质量的甲种酒精和乙种酒精混合，那么浓庋为61%.请问：
甲、乙两种酒精溶液的浓度分别是多少？
答案：
甲56%．乙66%
【解析】“40克甲+60克乙”可以看作是“40克甲+40克乙+20克乙”，相当于“80克61%的酒精溶液+20克乙”，列出十字交叉：
得出乙的浓度是66%，由于甲、乙等量混合后浓度是61%，所以甲的浓度是：
61%+（61%-66%）=56%.
9．一件商品如果按180元定价，可获利20%.实际上，该商品售价是240元，那么所得的利润是多少元？
答案：
90元
【解析】这件商品的成本是180÷（1+20%）=150元．
若售价是240元，所得的利润是240-150=90元.
10.某台空调按30%的利润率定价，换季促销时打8折售出后，获得了100元利润．请问：
（1）这台空调的成本是多少元？
（2）最后的利润率是多少？
答案：
（1）2500元
（2）4%
【解析】
（1）设成本为1份，因为利润率是30%，所以按定价销售的利润是0.3份，定价就是1.3份．销售的时候打了八折，实际的销售价格是：
1.3×0.8=1.04份．这样得到的利润就是：
1.04-1=0.04份．这0.04份对应100元的利润，所以空调的成本1份就是：
100÷0.04=2500元．
（2）最后的利润率是：
lOO÷2500×100%=4%．
11.A、B两种商品，A商品成本占定价的80%，B商品按20%的利润率定价，冬冬的妈妈一次性购买了1件A商品和1件B商品．商店给她打了九折后，还获利36元．现在知道B商品的定价为240元，求A商品的成本．
答案：
160元
【解析】设B商品的成本为1份，按照20%的利润率定价，定价就是1.2份，这对应着240元，所以B商品的成本就是：
240÷1.2=200元．
购买A、B两件商品时，商扬在定价的基础上都打了九折．所以B商品售出价是：
240×0.9=216元，由此可知B商品的利润为：
216-200=16元．
而总利润是36元，所以A商品的利润就是：
36-16=20元．
设A商品的定价是1份，A商品成本占定价的80%，所以A商品成本为0.8份．卖出A商品的时候打了九折，所以卖出价是0.9份，那么利润是：
0.9-0.8=0.1份．这0.1份对应着20元，所以定价为：
20÷0.1=200元，从而A商品成本为0.8×200=160元.
12.大超市和小超市出售同一种商品，大超市的进价比小超市的进价便宜10%.大超市按30%的利润率定价，小超市按28%的利润率定价，大超市的定价比小超市的定价便宜22元．请问：
（1）大超市这种商品的进价是多少元？
（2）大超市每件商品赚多少元？
小超市每件商品赚多少元？
答案：
（1）180元
（2）54元，56元
【解析】
（1）设小超市的进价为1份，那大超市的进价为0.9份．大超市按照30%的利润率定价，所以大超市的定价是0.9×（1+30%）=1.17份．而小超市按28%的利润率定价，所以它的定价是1×（1+28%）=1.28份．所以大超市比小超市便宜1.28-1.17=0.11份．这0.11份对应着22元，所以小超市的进价是：
22÷0.11=200元，大超市的进价是0．9份，所以它的进价是：
200×0.9=180元．
（2）大超市的每件商品赚：
30%×180=54元．
小超市的每件商品赚：
28%×200=56元．
13.某玩具厂生产某种款式的变形金刚，如果按原定价销售，每个可获利润48元．现在打八八折促销，结果销售量增加了一倍，获得的利润增加了25%．请问：
打折后每个变形金刚的售价是多少元？
答案：
132元
【解析】设原来销量为1个，打折后销量为2个．打折前利润是：
48×l=48元．打折后利润增加25%，变成了：
48×（1+25%）=60元，这60元利润是销售2个的利润，那么每卖1个变形金刚，可获得利润60÷2=30元．
题目变成这样：
按原定价销售，每个玩具可获得的利润为48元，定价打八八折之后，利润变成了30元．求打折后的售价．
因为定价一进价十利润，进价不会变，所以打折之后利润变少了．如果原来定价是1份，打八八折之后就是0.88份，减少了1-0.88=0.12份．这0.12份对应着利润的减少：
48-30=18元．因此原来的定价是：
18÷0.12=150元．打折后的售价为：
150×0.88=132元.
14．某家商店购入一批苹果，在运输过程中花去100元运费．后来决定将这些苹果的价格降到原定价的70%卖出，这样所得的总利润就只有原计划的号．已知这批苹果的进价是每千克6元4角，原计划可获得利润2700元．问：
这批苹果一共有多少千克？
答案：
500千克
【解析】在这道题中，总售出价=总成本十利润=进价×货物数量+运输费+利润．
如按原价销售，则销售苹果可获利2800元，而打折出售后，销售苹果应得2700×
+100=1000元.
设原来的总售出价为1份，那现在的总售出价就为0.7份，这样1-0.7=0.3份，对应的就是2800-1000=1800元．
所以原来的总售出价为1800÷0.3=6000元，那么原来的总成本就为6000-2800=3200元．所以苹果共有3200÷6.4=500千克．
超越篇：
1.有一杯盐水，如果加入200克水，它的浓度就变为原来的一半；如果加入25克盐，它的浓度则变为原来的两倍．问：
这杯盐水原来的浓度是多少？
答案：
10%
【解析】要求出盐水原来的浓度，就要求出盐水原来的重量，及盐水里的盐原来的重量．而现在只知道对盐水先后进行了两次操作后，浓度有所变化，所以只能从分析这两次操作人手.
第一次操作后，水增加了200克，但盐没有增加，而浓度变为原来一半，可见盐水总重量增加了1倍．所以盐水原来的重量也是200克．
下面再来分析第二次操作．
加入25克盐后，盐水的总重量变为225克，是原来的225÷200=1.125倍．而浓度变为原来两倍，可见盐的重量变为原来的1.125×2=2.25倍.
所以加入25克盐后，盐的重量变为原来的2.25倍，也就是说，这25克盐是原来的盐重量的2.25-1=1.25倍．
故原来的盐的重量为25÷1.25=20克．盐水原来的浓度为20÷200=10%．
2.现有甲、乙、丙三种硫酸溶液，如果把甲、乙按照3：
4的质量比混合，得到浓度为17.5%的硫酸；如果把甲、乙按照2：
5的质量比混合，得到浓度为14.5%的硫酸；如果把甲、乙、丙按照5:
9:
10的质量比混合，可以得到浓度为21%的硫酸．请求出丙溶液的浓度．
答案：
28%
【解析】按题中的条件，我们配置下面的溶液：
（下面每份的量都是一样的）
混合溶液1：
用3份甲溶液和4份乙溶液混合，得到7份浓度为17.5%的硫酸溶液．
混合溶液2：
用2份甲溶液和5份乙溶液混合，得到7份浓度为14.5%的硫酸溶液．
混合溶液3：
我们把上面两种混合得到的溶液各7份混合在一起（注意：
它们正好一样多），得到14份浓度为（17.5%+14.5%）÷2=16%的硫酸溶液，于是这样的溶液也可以用3+2=5份甲溶液和4+5=9份乙溶液混合而成.
题中还有一个条件：
把甲、乙、丙按照5：
9：
10混合，可以得到21%的硫酸溶液．如果在混合溶液3的基础上再加10份丙溶液，正好得到24（=5+9+10）份浓度为21%的硫酸溶液．
于是我们便可看出，上述24份浓度为21%的硫酸溶液也可以用14份浓度为16%的硫酸溶液和10份丙溶液混合而成．列出十字交叉：
所以丙的浓度为28%.
3.甲桶中有若干千克纯水，乙桶中有若干千克纯酒精．第一次从甲桶往乙桶倒水，使得乙桶中液体的质量增加2倍；第二次从乙桶往甲桶倒，使乙桶中液体的质量减少四分之一；第三次再从甲桶往乙桶倒，使甲桶中液体的质量减少五分之一．最后甲桶中液体的质量恰好等于最初乙桶中液体的质量，请问：
最后甲、乙两桶中液体的浓度分别等于多少？
答案：
甲20%，乙32%
【解析】设甲桶原有x千克纯水，乙桶原有y千克纯酒精，通过倒液体的过程倒推得：
由“最后甲桶中液体的重量恰好等于最初乙桶中液体的重量”可列出方程：
即
，亦即x：
y=5：
2．
然后再根据混合过程列出一个表，标出每次甲、乙桶内的液体质量，在括号里标出所含纯酒精的质量：
所以，最后甲中的液体浓度为
÷2×100%=20%，乙中的液体浓度为
÷5×100%=32%．
4.有甲、乙、丙3瓶酒精溶液，它们的质量比是3:
2:
1．如果把两瓶酒精混合后再按原来的质量分配到各自的瓶中，称为一次操作，现在先对甲、乙两瓶酒精进行一次操作，再对乙、丙两瓶酒精进行一次操作，最后对丙、甲两瓶酒精进行一次操作．三次操作后，甲、乙两瓶溶液的浓度分别是67%和61%.求最初丙溶液的浓度．
答案：
45%
【解析】根据题意，先想清楚每一步的变化过程：
然后可列表将由已知条件不用计算就可以知道的每次三瓶溶液的浓度列出来，暂时不知道的用未知数表示，来方便分析和求解．
很明显看出最后的甲、丙操作是将x%的甲和61%的丙混合成67%的溶液，通过十字交叉可以求出%是69%.那么上表变为：
很明显看出乙、丙操作是将69%的乙和y%的丙混合成61%的溶液，通过十字交叉可以求出y%是45%.
5．水果店进了一批水果，希望卖出去之后得到50%的利润．当售出六成数量的水果时，由于天气原因水果无法保存，于是商店决定打折处理，结果还是有一成数量的水果烂了，最终只得到了所期望利润的34%．请问：
商店打折处理时打了几折？
答案：
六折
【解析】设水果店打了x折，把所有的水果看成10份，设总成本为10元，即1份水果的成本是1元，则原期望利润为5元．依题意，有六成是按原定价卖的，得到的利润为：
6×50%=3元；
三成打折卖掉，所得利润为：
3×（1+50%）×x-3=4.5x-3;
还有一成坏掉了，不仅没有利润，还亏了1元，所以总共利润为：
3+4.5x-3-1=4.5x-l元．
实际利润为期望利润的34%，由此列方程：
4.5x-l=5×34%，
解得：
x=0.6，即打六折.
6．某商店将甲、乙两种奶糖混合在一起，甲种每份100克，售价1.65元；乙种每份100克，售价1.2元．原来打算将甲种的两份混合到乙种的一份中去，后来改变混合的方式，将甲种的一份混合到乙种的两份中去．问：
顾客买10千克这种奶糖能比原来省多少元钱？
答案：
15元
【解析】原来将两份甲糖与一份乙糖混合得到300克糖，价格为：
1.65×2+1.2=4.5元，那么100克这样的混合糖价格是：
4.5÷3=1.5元，10千克混合糖的价格是：
1.5×（10×1000÷100）=150元．
同理，后来将一份甲糖与两份乙糖混合，也得到300克糖，价格为：
1.65+1.2×2=4.05元，那么100克这样的新混合糖价格是：
4.05÷3-1.35元，所以10千克新混合糖价格是：
1.35×（10×1000÷100）=135元，比原来节省了：
150-135=15元．
7．有甲、乙、丙三瓶溶液，甲比乙浓度高6%，乙的浓度是丙的4倍．如果把乙溶液倒入甲中，就会使甲溶液的浓度比原来下降2.4%；如果把丙
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