分类思想.docx

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分类思想

分类思想

数学分类思想

1.定义

分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。

分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果

2.运用范围

①涉及的数学概念是分类定义的；

②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；

③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；

④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。

应用分类讨论，往往能使复杂的问题简单化。

分类的过程，注意培养学生思考的周密性，条理性以及学生研究问题和探索规律的能力。

3.分类思想的思维过程

第一，要明确是否需要分类讨论；

引起分类讨论的原因：

1概念本身是分类定义的，如绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系和两圆相切等概念的分类；

2某些公式、定理、性质、法则的条件和范围有限制；

3含有字母系数的问题，需要对该字母不同取值范围进行讨论；

4题设的数量大小或关系确定，而图形的位置或形状不确定；

5题目条件和结论不唯一

第二，确定分类的对象；

第三，确定分类的标准，进行合理分类；（厘清分类的界限，选择分类标准，并做到不重复不遗漏。

第四，逐类逐级分类讨论；

第五，综合、归纳结论.

4.小学数学中分类讨论思想的应用

5.教学中对于学生分类思想的培养

①逐步，逐年级渗透分类思想，养成分类的意识

利用学生在生活中所具有的分类意识，在教学中进行数学分类思想的渗透，挖掘教材提供的机会，把握渗透的契机。

一方面是一般物体的分类，如柜台上的商品、文具等；另一方面要注意从数学的角度分类，如立体图形、平面图形、数的认识和运算等。

同时注意渗透集合的思想，就是说当把某些属性相同的物体放在一起，作为一个整体，就可以看作一个集合。

在三大领导知识的教学中注意经常性地渗透分类思想和集合思想，如平面图形和立体图形的分类、数的分类。

注意从数学思维和解决问题的方法上渗透分类思想，如排列组合、概率的计算、抽屉原理等问题经常运用分类讨论思想解决。

在统计与概率知识的教学中，渗透分类的思想。

②渗透学习分类方法，增强思维的缜密性

应让学生了解，所谓分类就是选取适当的标准，根据对象的属性，不重复、不遗漏地划分为若干类，而后对每一子类的问题加以解答。

例如，用 1、2、3 三个数字卡片可以排成几个三位数，让学生做一做，排一排。

有的学生很快排出来了，但有些学生却排不完整。

这时教师要指导学生分类讨论，首先确定百位上的数字是1时，有哪几个三位数?

（123、132），百位上的数字是2时，有哪几个三位数?

（213、231），百位上的数字是3时，有哪几个三位数?

（312、321）。

③引导学生分类讨论，提高合理解题的能力

 一般来讲，利用分类讨论思想和方法解决的问题有两大类：

其一是涉及代数式或函数或方程中，根据字母不同的取值情况，分别在不同的取值范围内讨论解决问题；其二是根据几何图形的点和线出现不同位置的情况，逐一讨论解决问题

④注意有关数学规律在一般条件下的适用性和特殊条件下的不适用性。

也就是说有些数学规律在一般情况下成立，在特殊情况下不成立；

6.总结：

所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法，具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。

需要根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认知水平，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵，从而达到利用数学分类讨论方法来解决问题的目的。

补充如何渗透分类思想：

1.结合图形教学渗透分类思想

如根据图形的特征或相互间的关系进行分类，如三角形按角分类，则有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

如果按边的长短关系分类，三角形可分为：

不等边三角形和等边三角形，等边三角形又可分为正三角形和等腰三角形。

教学时，我们就要追问学生：

你为什么要这么分？

分类的标准是什么？

你比较了物体图形的哪些特征？

从而使学生明确分类的标准，掌

握概念的本质。

2.结合概念教学渗透分类思想

如，在教学“方程的意义”一课时，学生对方程意义的理解，就要通过式子的二次分类建构，对“相等关系”、“含有未知数”的理解，从而把握方程的本质属性。

教学时，先出示：

180＋□＝300，180＋x＝300，180＋x＞300，180＋x＜300，50×2=100，5×m=85，（）-150=300，500-150＞300，50+3a等，接着，老师引导学生把以上式子进行分类，通过分类让学生在比较中归纳出方程是含有未知数的等式。

学生可按照式子中有无等号可分为：

有等号的式子和不含有等号的式子；按照式子中是否含有未知数又可分为：

含有未知数和不含有未知数的等式。

并将含有未知数的式子按照式子中是否有等号，又可以分成两类：

有含有未知数的等式和有含有未知数的式子。

此时，满足方程的二要素便很清楚了：

含有

未知数、等式。

从而认识方程的本质属性。

3.结合“解决问题”教学渗透分类思想。

在解决问题教学中，引导学生通过合理的分类，有利于帮助学生分析数量关系，归纳解题方法，从而培养学生解决问题的能力。

如，在教学“行程问题”的整理与复习课时，师用多媒体演示，分别演示了四种典型行程问题：

即两地相向而行、两地相背而行、同地点相背而行、同地点同方向前进（追及问题），通过学生的语言叙述，体验题目中关键字的重要作用，要求他们独立进行解答，然后引导学生通过对比、观察、分析把它们分类，结果学生出现了不同的分类标准：

根据出发地点是否相同，根据出发方向是否一致，根据是否相遇，根据解题方法等，再通过交流互动，学生了解行程问题分类与各类解题方法。

这时，师追问：

以后再遇到类似繁杂的行程问题时怎么办？

学生想到了可以通过分类，把题目按自己的标准“对号入座”，从而寻求正确的解题方法。

4.结合“统计与概率”教学渗透分类思想。

学生在日常生活中都会积累一定的分类知识。

如对书籍的分类，水果分类等，我们可以利用学生的生活经验，把生活中的分类迁移到数学学习中来，在“统计与概率”教学中往往要渗透数学分类思想，而且分类思想还是概率与统计知识的重要基础。

如，在教学“购买水果”一课时，师：

“六·一”儿童节就要到了，举办班级联欢会与庆“六·一”活动，班级要买一些水果，现在市场上苹果、梨、香蕉、桃子这四种水果最多，我们就在这四种水果中选择，应该怎样购买呢？

同学们自己独立思考，然后在小组内交流。

生：

先要调查我们班的每一位同学喜欢吃哪一种水果，再按自己最爱吃的水果进行分类，在此基础上才能统计各种水果数量。

5.结合“数学广角”教学渗透分类思想

在“数学广角”教材内容，蕴含许多数学思想与方法，教学时应做到有机渗透。

如，一位教师在教学“数学广角———植树问题”一节课时，当学生掌握了“在20米长的公路一边植树，每隔5米栽一棵，两端要栽，一共要栽几棵树？

”再引导学生探究“只栽一端”

和“两端都不栽”的情况。

让学生通过独立思考，并把表格填完整。

这样通过表格，帮助学生建立分类思想的意识。

然后引导学生认真思考，你发现了什么？

最后指名汇报，使学生感悟到棵数与间隔数的关系：

两端都栽:

栽树棵数=间隔数+1

只栽一端:

栽树棵数=间隔数

两端都不栽:

栽树棵数=间隔数-1

这样，让学生通过自己的观察、猜测、验证、分类这一系列的活动经历，感悟数学规律。

得出各类的解题模式，归纳出解决此类问题的一套有效方法。

6.结合“整理与复习”教学渗透分类思想。

如，教学“长方形、正方形周长与面积的整理复习”时，课前布置学生将这一单元内容自己进行整理，并提出具体的整理要求，然后放手让学生进行整理，构建比较合理的知识结构网络。

设计一堂课

7.分类思想的教学策略

1.用分类思想引入新知识和新概念

（1）用分类活动引入新知识

如在“认识三角形和四边形”时，可以出示点子图，根据图形是否为封闭图形分为封闭和不封闭图形。

在封闭图形中，根据图形有几条线段围成，分为三角形、四边形、五边形三类。

在学生完成点子图上的三角形和四边形后，又根据三角形是否有一个直角再分为两类。

（2）用分类思想引入新概念

如在引入平行线的概念时，不少教师是通过日常生活中的具体事例介绍，再经抽象概括形成“平行线”的概念。

可是，实际生活上见到的都不可能是严格定义上的平行直线，可能是射线，或者是平行线上的两条线段。

因此，我们也可以通过让学生将同一平面内两条线段的关系进行分类，得到有交点和没有交点两种情况，然后再将没有交点的进行分类，得到适当延长后就会有交点的，和无论怎么延长后都没有交点。

然后让学生想象每幅图中的两条线段向两方无限延长，成为两条直线的情况，从而认识同一平面内的两条直线只有有交点和没有交点两种位置关系。

（3）引导学生关注分类的依据

在引入概念时，教师应适时地引导学生思考为什么要这样分类，怎样分类更合理。

例如“三角形分类”的教学，应该将重点集中于“为什么要这样的分类”“怎样分类较为合理”，而不应在“角的度量”等实践活动上花费过多的时间和精力。

教师可首先对角的分类情况作出回顾，特别要提醒：

在各种角中直角是较为特殊的，而后引导学生思考三角形分类和角的分类有什么不同？

能否参照角的分类去进行？

并引导学生对这样一种分类方法的合理性作出具体分析：

第一，是否存在交叉重复的情况，即如一个三角形既是直角三角形，同时又是锐角三角形？

第二，分类是否有遗漏，是否可能存在这样一个三角形，它既不是直角，也不是锐角或钝角三角形？

2.用分类思想归纳整理知识

在小学阶段，学生需要掌握的内容，根据数学分类的方法常有以下几种:

1）根据数量特征和数量关系进行分类。

如整数、小数、分数的分类，运算法则的分类，等等。

2）根据图形的特征或相互间的关系进行分类。

如三角形按角分类,有锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。

如果以边的长短关系分类，三角形可分为不等边三角形和等边三角形;等边三

角形又可分为正三角形和等腰三角形。

3）.根据解决问题的探索方向进行分类。

如:

直线行程问题和环行行程问题,可以看出他们在解决问题的方法上有相似性。

3.用分类思想解题

如2、3、4能排多少个数字，根据数位的分类排列，就不会有遗漏。

4.通过动手实践和合作交流渗透分类思想

新课程强调动手实践、自主探索和合作交流的学习方式，对于分类思想的教学同样也需要联系学生的实际经验，强调通过动手实践和合作交流来让学生亲身体会为什么要分类和新程中关于分类的方法，即“同一标准下的一致性，不同标准下的多样性”。

如吴正宪老师教学二年级《搭配问题》一课中，首先联系学生穿衣搭配的情境，让学生在多层次的活动中体验无序之乱，从读中悟序，然后通过学生之间合作交流，学生演示和教师演示，用符合表示，等等，让学生体会在分类的过程是否可能出现交叉重复的情况，是否

有遗漏，使分类思想的渗透润物细无声。

4.引导学生根据数学的量性特征进行分类

南京师范大学数学哲学教授郑毓信认为，因为数学抽象的特殊性，决定了在数学分类中我们所关注的只是对象的量性特征即数量关系和空间形式等，而完全不去考虑它们质的内容。