矩阵论在电气工程中的应用.docx

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矩阵论在电气工程中的应用

题目:

矩阵论在电气工程中的应用

指导老师:

xxx

学生姓名：

xxx

所属院系：

电气工程学院

专业：

电气工程

学号：

xxx

完成日期：

20xx年x月x日

矩阵论在电气工程中的应用

摘要

电路分析是电气专业领域人员必需的一项能力。

该知识具有概念性强、电路分析繁杂求解计算量大的特点。

为了解决这个问题，因此引入了矩阵理论，并结合软件对矩阵分析的良好支持，以期达到优化分析电路的目的。

本文就矩阵理论中的网络拓扑知识展开，介绍了网络拓扑在电路中的应用，并以给予求解。

关键词：

电路分析矩阵法网络拓扑

ABSTRACT：

Circuitanalysisisanessentialabilityofprofessionalpersonnelinthefieldofelectronic.Theconceptofstrong,complexcircuitanalysiscalculationwiththeknowledgeofthecharacteristicsoflargeamount.Inordertoalleviatethisproblem,soweintroducedmatrixtheory,combinedwithgoodsupportanalysissoftwareformatrix,inordertoachievethepurposeofoptimizationofcircuitanalysis.Inthispaper,thenetworktopologyinmatrixtheoryunfolds,introducestheapplicationofnetworktopologyincircuit,andtogivethesolution.

KEYWORDS：

circuitanalysis；matrixmethod；networktopology

0前言

矩阵是线性代数里的一个重要概念，在电路网络分析、工程结构分析等方面，矩阵都是一个强自力的工具，因为它能使较复杂的计算过程简化成一系列的四则运算，便于用计算机的算法语言或程序进行描述和解答。

当运行这些程序时，能迅速地得到较准确的计算结果。

在电子领域基础知识电路分析中，经过理论分析后形成线性方程组，求未知解是电路分析的一项基本技能。

而求解线性方程组使用矩阵理论优势十分明显。

例如某电路网孔法求网孔电流ia，ib，ic，其中电阻供电电压为已知网孔方程为：

（1）

上述方程

（1），在求解过程中相对简单，但如果未知量继续增多，则利用初等代数方法求解线性方程组就比较困难，相当繁杂，借助矩阵理论可将方程式变换为如下矩阵形式

矩阵形式方程

（2），可表述为为AI=BuS。

（A表示方程组系数矩阵，I表示网孔电流列向量，BuS表示网孔电源列向量）

1、网络拓扑性质的矩阵表示

当电路结构比较简单时直接利用或网络的各种方法，列出必要的方程并不十分困难。

但当电路结构比较复杂时，前述方法就显得很不适应。

特别是如何在计算机上把输入的数据自动地转换为所需要的方程，就需要利用网络拓扑和矩阵代数的概念去完成这一任务。

网络图论又称为网络拓扑学，适应用图的理论（教学领域的一个分支），对电路的结构及其连接性质进行分析和研究。

在网络分析中，列写网络方程的主要问题是如何正确地选择其独立变量，“网络图论”的基本概念为选取这种独立变量提供了理论依据。

网络图论的基本概念包括支路（btanch），节点（node），图（graph），树（tree），回路（loop），割集（cut）等。

在网络图论中，图所涉及的仅表明网络中各支路的联接情况，而不涉及元件的性质，即它只是用以表示网络的几何结构或拓扑结构的图形。

1.1关联矩阵

关联矩阵描述支路与节点的关联性质。

图1所示有向连通拓扑图有如下特征：

节点数n=4，支路数b=5。

关联矩阵中行对应于节点，列对应于支路。

取值1、-1表示支路与节点关联，并体现出流出或流入节点，取值0表示不关联。

其中KCL方程：

AI=0;KVL方程：

U=AV。

其中A为关联矩阵；I为支路电流列向量；U为支路电压列向量；V为n-1个独立节点电压列向量。

图1关联矩阵有向连通拓扑图图

图2回路有向连通拓扑图

1．2回路矩阵

回路矩阵：

描述支路与回路的关联性质。

具有独立回路如图2所示有向连通拓扑图有如下特征：

节点数n=4、支路数b=6；树支数n-1=3，连支数b-（n-1）=3。

若选定支路b1、b2、b3为树支，则b4、b5、b6为连支。

行对应一回路，列对应一支路。

1．3割集矩阵

割集矩阵：

描述支路与割集的关联性质。

具有割集状态如图3所示有向连通拓扑图有如下特征：

节点数n=4、支路数b=6;树支数n-1=3，连支数b-（n-1）=3。

若选定支路b1、b2、b3为树支，则b4、b5、b6为连支。

基本割集为单树支割集如3所示C1，C2，C3。

割集矩阵C中行对应于基本割集，列对应于支路。

KCL：

CI=0；KVL：

U=CTUx。

Ux为割集电压列向量。

图3割集矩阵有向拓扑图图4基本电路结构

1．4A、B、C与节点法、回路法的关系

根据关联矩阵A、回路矩阵B、割集矩阵C基本知识，分析图4所示电路结构可得如下关系：

（1）标准支路伏安关系：

（2）矩阵支路伏安关系：

（其中Yb为支路导纳矩阵，等于阻抗的倒数）

（3）支路电压与节点电压关系：

（4）支路电流关系：

（5）节点电压关系：

（其中

，

）

2利用节点法求解电路具体实例

图5电路结构图

2.1节点法求电路各支路电流、支路电压

（1）图5所示左图为电路结构，右图为其拓扑图。

选定地点作为参考点，对其余节点分别编号为①、②、③；

（2）拓扑图支路分别编号为1、2、3、4、5并按图中所示选定支路方向。

（3）列出相关矩阵。

（4）求解矩阵参数

，

（5）计算结果。

由此可知：

①点电压为0.68V；②点电压为0.04V；③点电压为-0.48V。

2.2利用MATLAB实现计算机程序求解

A=［10010；-11100；0-1001］；

Yb=［10000；01000；00300；00020；00001］；

Us=［000-10］；

Is=［0000-1］；

Yn=A*Yb*A’；

In=A*Is-A*Yb*Us；

Un=inv（Yn）*In；

3结束语

通过对电路的矩阵论分析，充分展现出了数学所发挥的优势。

在实际应用当中，网络拓扑理论既达到了优化电路求解的目的，又实现了数学的学科转移，真正做到了学以致用。

实践证明，基于矩阵的网络拓扑分析和电路求解的完美结合，使电路分析趋于简单。

参考文献

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[7]于锟.网络拓扑分析算法的研究与设计[D].大连海事大学,2008.

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