第八章向量代数与空间解析几何教案同济大学版高数.docx
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第八章向量代数与空间解析几何教案同济大学版高数
第八章向量代数与空间解析几何
第一节向量及其线性运算
教学目的：
将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。
使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。
教学重点：
1.空间直角坐标系的概念
2.空间两点间的距离公式
3.向量的概念
4.向量的运算
教学难点：
1.空间思想的建立
2.向量平行与垂直的关系
教学内容：
一、向量的概念
1.向量：
既有大小，又有方向的量。
在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向
量的大小，其方向表示向量的方向。
在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。
2.量的表示方法有：
a、i、F、OM等等。
3.向量相等ab:
如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。
4.量的模：
向量的大小，记为a、|OM|。
模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。
零向量的方向是任意的。
5.量平行a//b:
两个非零向量如果它们的方向相同或相反。
零向量与如何向量都平行。
6.负向量：
大小相等但方向相反的向量，记为a
二、向量的线性运算
1.加减法abc:
加法运算规律：
平行四边形法则（有
时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7
2.abc即a（b）c
3.
向量与数的乘法a:
设是一个数，向量a与的乘积a规定为
a0
定理1：
设向量a工0,那么，向量b平行于a的充分必要条件是：
存在唯一的实数入,
使b=a
例1：
在平行四边形ABCD中，设ABa,ADb，试用
a和b表示向量MA、MB、MC和MD,这里M是平行
四边形对角线的交点。
（见图7-5）
图7-4
1
解：
abAC2AM，于是MA（ab）
2
1
由于MCMA,于是MC寸（ab）
1
又由于abBD2MD，于是MD-（ba）
2
1
由于MBMD,于是MB-（ba）
2
三、空间直角坐标系
1•将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）
如图7-1,其符合右手规则。
即以右手握住Z轴，当右手的四个手指从正向X轴以—角度
2
转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向。
2.间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：
x轴、y轴、z轴，坐标面分别
为xoy面、yoz面、zox面。
坐标面以及卦限的划分如图7-2所示。
图7-1右手规则演示图
7-2空间直角坐标系图图7-3空间两点MiM2的距离图3.空间点M（x,y,z）的坐标表示方法。
通过坐标把空间的点与一个有序数组—对应起来。
注意：
特殊点的表示
a）在原点、坐标轴、坐标面上的点；
b）关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。
4.空间两点间的距离。
若
M1（x1,y1,z1）>M2（x2,y2,z2）为空间任意两点，则MjM2的距离（见图7-3），利用
直角三角形勾股定理为：
222
d2|M1M2M1NNM2
i2i2-2
M1p|pN|NM2
而
M1P
x2%
PN|
y2y1
nm2
Z2乙
所以
}222
dM1M2斗（X2xj（y2yi）（Z2Zi）
特殊地：
若两点分别为M（x,y,z）,o（0,0,0）
doMJx2y2z2
例1：
求证以Mi（4,3,1）、M2（7,1,2）、M3（5,2,3）三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。
2
证明：
MjM2|（47）2（31）2（12）214
2222
M2M3（57）2（21）2（32）26
M3M12（54）2（23）2（31）26
由于IM2M3I|m3m1，原结论成立。
例2：
设P在x轴上，它到P（O,.2,3）的距离为到点P2（0,1,1）的距离的两倍，求点P的坐标。
解：
因为P在x轴上，设P点坐标为（x,0,0）
ppi捉^2~~3^后__iipp27XP__F后__2
PR2PF2Jx2112__2
x1
所求点为：
（1,0,0），（1,0,0）
四、利用坐标系作向量的线性运算
1.向量在坐标系上的分向量与向
量的坐标
通过坐标法，使平面上或空间的点与有序数组之间建立了—对应关系，同样地，为了沟通数与向量的研究，需要建立向量与有序数之间的对应关系。
设a=皿1皿2是以皿1（为，％,乙）为起点、皿2&2」2,乙2）为终点的向量，i、j、k分别表示图7-5
沿x,y,z轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量，由图7-5,并应
用向量的加法规则知：
M1M2（X2X）+（y2yjj+（z2Zjk
或a=axi+ayj+azk
上式称为向量a按基本单位向量的分解式。
有序数组ax、ay、az与向量a一一对应，向量a在三条坐标轴上的投影ax、ay、az就叫做向量a的坐标，并记为
a={ax,ay,az}。
上式叫做向量a的坐标表示式。
于是，起点为皿1（捲，丫1,乙）终点为M2（X2,y2,Z2）的向量可以表示为
M1M2{X2兀山％,Z2z}
特别地，点M（x,y,z）对于原点O的向径
OM{x,y,z}
注意：
向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。
向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az,
2.
向量运算的坐标表示
3.
{bx,by,bz}{ax,ay,az}
也相当于向量的对应坐标成比例即
为非零向量a的方向角，见图7—6，其余弦表示形式cos、cos、cos称为方向余弦。
1.模
2
ax
22
ayaz
2.
方向余弦
ax
mm2
COS
acos
例:
由性质
cos
cos
cos
知ay
az
M1M2
cos
M1M2cos
a
.a：
2
ay
2
az
ay
ay
a
.a；
2
ay
2
az
az
az
ax
2
az
ax
22
xay
任意向量的方向余弦有性质:
cos2
与非零向量a同方向的单位向量为:
已知两点
acos，当afa：
a：
aZ
acos
cos2
cos21
0时，有
1
{ax,ay,az}{cosa
cos,cos}
Mi（2,2,.2）、M2（1,3,0），
计算向量M!
M2的模、方向余弦、
方向角以及与
M1M2同向的单位向量。
解：
MW：
={1-2,3-2,0-2}={-1,
M1M2
八2.2
1）1
（厨
1
1
cos
cos
一,cos
2
2
2
3
3
3，
4
1,-2}
2
2
2
设a0为与M^,”：
同向的单位向量,
即得
由于a0{cos,cos,cos}
3.向量在轴上的投影
（1）轴上有向线段的值：
设有一轴u,AB是轴u上的有向线段，如果数满足
AB,且当AB与轴u同向时是正的，当AB与轴u反向时是负的，那么数叫
做轴u上有向线段AB的值，记做AB,即AB。
设e是与u轴同方向的单位向量，贝U
ABe
（2）设A、B、C是u轴上任意三点，不论三点的相互位置如何，总有ACABBC
（3）两向量夹角的概念：
设有两个非零向量a和b,任取空间一点0,作0Aa,
OBb,规定不超过的AOB称为向量a和b的夹角，记为（a,b）
（4）空间一点A在轴u上的投影：
通过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A'叫做点A在轴u上的投影。
（5）向量AB在轴u上的投影：
设已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A和B,那么轴u上的有向线段的值AB叫做向量AB在轴u上的投影，记做
PrjuAB。
2•投影定理
性质1：
向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：
PrjuABABcos
性质2:
两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和，即
Prju（a1a?
）Prja!
PJa?
性质3:
向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。
即
Prju（a）Prja
小结：
本节讲述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步知识，引导学生对向量（自
由向量）有清楚的理解，并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算，空间直角坐标系（轴、面、卦限），空间两点间距离公式。
本节介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（注意分向量与向量的坐标的区别）、向量的模与方
向余弦的坐标表示式等概念。
作业:
第二节数量积向量积
教学目的：
让学生搞清楚数量积与向量积的概念及其应用，掌握向量平行、垂直等重要的结论，为空间曲面等相关知识打好基础。
教学重点：
1.数量积、向量积的概念及其等价的表示形式
2.向量平行、垂直的应用
教学难点：
1.活学活用数量积、向量积的各种形式
2.向量平行与垂直的相应结论
教学内容：
一、数量积：
a）定义：
ababcos，式中为向量a与b的夹角。
b）物理上：
物体在常力F作用下沿直线位移s，力F所作的功为
WF||scos
其中为F与s的夹角。
2
c）性质：
i.aaa
n.两个非零向量a与b垂直ab的充分必要条件为：
ab0
川.abba
iv.（ab）cacbc
V.（a）c（ac）为数
d）几个等价公式：
i.坐标表示式：
设a{ax,ay,az}，b{bx,by,bz}则
abaxbxaybyazbz
n.投影表示式：
abaPrjabbPrjba
e）例子：
已知三点M（1,1,1）、A（2,2,1）和B（2,1,2），求AMB
提示：
先求出向量MA及MA，应用上求夹角的公式。
、向量积:
a）概念：
设向量c是由向量a与b按下列方式定义:
c的模ca|bsin,式中为向量a与b的夹角。
c的方向垂直与a与b的平面，指向按右手规则从a转向bo
※注意：
数量积得到的是一个数值，而向量积得到的是向量。
b）
形ABC的面积。
解：
根据向量积的定义，
SABC
1ABACsin
2
dII•I♦
丄ABAC
21
由于
AB={2,2,2},
AC={1,2,4}
因此
ABAC
4i
6j2k
十口1
于是SABC
ABAC
2
242（6）222
14
（注意共线、
小结：
向量的数量积（结果是一个数量）向量的向量积（结果是一个向量）共面的条件）
作业：
第三节平面及其方程
教学目的：
介绍最简单也是非常常用的一种曲面平面，平面是本书非常重要的一节，本节让学生了解平面的各种表示方法，学生在学习时领会各种特殊位置平面的表示方法，会求出各种位置上的平面，了解平面与其法向量之间的关系。
教学重点：
1.平面方程的求法
2.两平面的夹角
教学难点：
平面的几种表示及其应用
教学内容：
一、平面的点法式方程
1.平面的法线向量定义：
垂直于一平面的非零向量叫做平面的法线向量。
平面内的任一向量均与该平面的法线向量垂
（1）
直。
2.平面的点法式方程
已知平面上的一点M0（x0,y0,z0）和它的一
个法线向量n{代B,C},对平面上的任一点
M（x,y,z），有向量M0Mn,即nM0M0
代入坐标式有
A（xXo）B（yyo）C（zz°）0
例1:
求过三点M!
（2,—1,4）、
此即平面的点法式方程
M2（—1,3,—2）和M3（0,2,3）的平面方程。
i
j
k
nMM?
M1M3
3
4
6
2
3
1
解：
先找出这平面的法向量n,
14i9jk
由点法式方程得平面方程为
14（x2）9（y1）（z4）0
即：
14x9yz150
二、平面的一般方程
任一平面都可以用三元一次方程来表示。
平面的一般方程为：
AxByCzD0
几个平面图形特点:
1）D=0:
通过原点的平面。
2）A=0:
法线向量垂直于X轴，表示一个平行于X轴的平面。
同理：
B=0或C=0:
分别表示一个平行于y轴或z轴的平面。
3）A=B=0：
方程为CZD0,法线向量{0QC},方程表示一个平行于xoy面的
平面。
面的法向量为n{5,6,7}
解：
设平面为AxByCzD0,由平面过原点知D0
由平面过点（6,3,2）知6A3B2C0,
所求平面方程为2x2y3z0三.两平面的夹角
定义：
两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角。
设平面
1:
AxByC1zD10,2:
A2xB2yC2zD20
ni
{A1,B1,C1},n2{A2,B2,C2}按照两向量夹角余弦公式有：
cos
|A1A2b1b2C1C2|
、A2b12c12,a22b22c22
三、几个常用的结论
设平面1和平面
2的法向量依次为n1
{A1,B1,C1}和n2{A2,B2,C2}
1）
两平面垂直:
A1A2B1B2C1C2
0（法向量垂直）
2）
两平面平行:
A1B1
A2B2C2
（法向量平行）
3）
平面外一点到平面的距离公式：
设平面外的一点P0（x0,y0,z0），平面的方程为
AxByCzD0,则点到平面的距离为
dA%。
ByoCZoD
x2yz
10,
y3z10
（2）2xyz1
0,
4x
2y
2z1
0
（3）2xyz1
0,
4x
2y
2z2
0
|1
02
11
3|
1
解:
（1）cos
1
-
例3:
研究以下各组里两平面的位置关系:
（1）
32
（1）212
1）222
两平面相交，夹角
1
arccos—
V6q
m{2,1,1}，n2
4,2,2}
两平面平行
M（1,1,0）
M（1,1,0）
两平面平行但不重合。
（3）
两平面平行
M（1,1,0）1M（1,1,0）
所以两平面重合小结:
平面的方程三种常用
表示法：
点法式方程，一般方程，截距式方程。
两平面的夹角以及点到平面的距离公式。
作业:
第四节空间直线及其方程
教学目的：
介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点
教学重点：
1.直线方程
2.直线与平面的综合题
教学难点：
1.直线的几种表达式
2.直线与平面的综合题
教学内容：
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看成是两个平面的交线。
故其一般方程为：
AxByGzDi0
A2XB2yC2ZD20
二、空间直线的对称式方程与参数方程
平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。
已知直线上的一点Moko’yo’Zo）和它的一方向向量s{m,n,p}，设直线上任一点为
M（x,y,z），那么M0M与s平行，由平行的坐标表示式有：
xX。
yy°zZo
mnp
此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。
（写时参照书上注释）
如设
xX。
yy°zZot
mnp
就可将对称式方程变成参数方程（t为参数）
xx0mt
yy°nt
zz°pt
三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。
例1:
用对称式方程及参数方程表示直线xy\1^0_
2xy3z40
sBA{2,0,4}，
x2y
~0
两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。
夹角可以按两向量夹角公式来计算
mnm2门肌P1P2
cos/—
/222
⑴n1P1、
/m；
2
n2
2
P2
两直线L1和L2垂直:
m1m2
n
1n2
P1P20（充分必要条件）
两直线L1和L2平行：
m1
匹
P1
（充分必要条件）
m2
n2
P2
3和2xy5z1的交线平行的直线方程
例3:
求过点（3,2,5）且与两平面
X
4z
解：
设所求直线的方向向量为
s
{m,n,p}
，根据题意知直线的方向向量与两个平面的法
向量都垂直，所以可以取s
n1
n2
｛4,3,1｝所求直线的方程X3y2Z
3
4
三、直线与平面的夹角
与平面的夹角，当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为
设直线L的方向向量为s｛m,n,p｝，平面的法线向量为n｛代B,C｝，直线与平面的夹角为，那么
平面束方程:
四、杂例:
例1:
求与两平面x—4z=3和2x—y-5z=1的交线平行且过点（—3,2,5）的直线方程。
解：
由于直线的方向向量与两平面的交线的方向向量平行，故直线的方向向量s一定与两
平面的法线向量垂直，所以
1jk
s104（4i3jk）
215
因此，所求直线的方程为
x3y2z5
431
例2:
求过点（2,1,3）且与直线—_1—_1—垂直相交的直线方程
321
解：
先作一平面过点（2,1,3）且垂直于已知直线（即以已知直线的方向向量为平面的
法线向量），这平面的方程为
3（x2）2（y1）（z3）0
再求已知直线与这平面的交点。
将已知直线改成参数方程形式为
x=-1+31y=1+2tz=-t
32133
并代入上面的平面方程中去，求得t=—,从而求得交点为（一，一,―）
7777
以此交点为起点、已知点为终点可以构成向量s即为所求直线的方向向量
21336
s{2-,1,3—}-{2,1,4}
7777
故所求直线方程为
在平面xyz0上的投影直线的方程
x
例3:
求直线
x
解：
应用平面束的方法
设过直线
0的平面束方程为
0
（1）x
（1）y
（1）z
（1）1
（1）1
（1）10
解之得1
代入平面束方程中得投影平面方程为
y—z—1=0
所以投影直线为
yz10
xyz0
小结：
本节介绍了空间直线的一般方程，空间直线的对称式方程与参数方程，两直线的夹角（注意两直线的位置关系），直线与平面的夹角（注意直线与平面的位置关系）
作业：
第五节曲面及其方程
教学目的：
介绍各种常用的曲面，为下学期学习重积分、线面积分打下基础。
学生应该会写出常用的曲面方程，并对已知曲面方程能知道所表示曲面的形状。
教学重点：
1.球面的方程
2.旋转曲面的方程
教学难点：
旋转曲面
教学内容：
一、曲面方程的概念
1.实例：
水桶的表面、台灯的罩子面等，曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹。
2.曲面方程的定义：
如果曲面S与三元方程
F（x,y,z）0
（1）
有下述关系：
（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程
（1）
（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程
（1）
那么，方程
（1）就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫做方程
（1）的图形。
3•几种常见曲面
（1）球面例1:
建立球心在Mo（Xo,y。
，Zo）、半径为R的球面的方程。
解：
设Modo’yo’Zo）是球面上的任一点，那么
M0MR
即:
、（xXo）2（yy。
）2（zZo）2R
或:
（xxo）2（yyo）2（zzo）2R2
特别地：
如果球心在原点，那么球面方程为（讨论旋转曲面）x2y2z2R2
（2）线段的垂直平分面（平面方程）
例2：
设有点A（1,2,3）和B（2,1,4），求线段AB的垂直平分面的方程。
解：
由题意知道，所求平面为与A和B等距离的点的轨迹，设M（x,y,z）是所求平面上
的任一点，由于|MA||MB|，那么
:
~~2~2c2：
~27"2~2
x1y2z3x2y1z4
化简得所求方程
2x6y2z70
研究空间曲面有两个基本问题：
（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程。
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状。
旋转曲面
定义：
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线
和定直线依次叫旋转曲面的母线和轴。
二、旋转曲面的方程
设在yoz坐标面上有一已知曲线C,它的方程为
f（y,z）=0
把这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲面，设Mi（0,yi，Zi）为曲线C上的任一点，那么有
f（yi,zi）=0
（2）
当曲线C绕z轴旋转时，点Mi也绕z轴旋转到另一点M（x,y,z），这时z=zi保持不变，
且点M到z轴的距离
dJx2y2|yi
将zi=z,yix2y2代入
（2）式，就有螺旋曲面的方程为
f（x2y2,z）0
旋转曲面图绕哪个轴旋转，该变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完全平方根的形式。
常用旋转曲面：
锥面（直线绕直线旋转，两直线的夹角（0°<<90°））,方程为：
22（22、
za（xy）
其中acot
三、柱面
1.定义：
平行于定直线并沿曲线定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面。
定曲线C:
准线动直线L：
母线
2.特征：
x,y,z三个变量中若缺其中之一（例如y）则表示母线平行于y轴的柱面。
3：
几个常用的柱面：
222
b）圆柱面：
xyR（母线平行于z轴）
c）抛物柱面：
y22x（母线平行于z轴）四、二次曲面1、定义:
三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面2、截痕法
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。
3、几种特殊的二次曲面
1.椭球面
方程为
222y_.
1
ab
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