初中数学规律探究题的解题方法.doc

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初中数学规律探究题的解法指导

一、数式规律探究

1.一般地，常用字母n表示正整数，从1开始。

2.在数据中，分清奇偶，记住常用表达式。

正整数…n-1,n,n+1…奇数…2n-3,2n-1,2n+1,2n+3…偶数…2n-2,2n,2n+2…

3.熟记常见的规律

①1、4、9、16......n2②1、3、6、10……

③1、3、7、15……2n-1④1+2+3+4+…n=

⑤1+3+5+…+（2n-1）=n2⑥2+4+6+…+2n=n（n+1）

⑦12+22+32….+n2=n（n+1）（2n+1）⑧13+23+33….+n3=n2（n+1）（9）2，4.8.16.32......2n

数字规律探究反映了由特殊到一般的数学方法，解决此类问题常用的方法有以下两种：

3.观察法

例1.观察下列等式：

①1×=1-②2×=2-③3×=3-

④4×=4-……猜想第几个等式为（用含n的式子表示）

分析：

将等式竖排：

①1×=1-观察相应位置上变化的数字与序列号

②②2×=2-的对应关系（注意分清正整数的奇偶）

③3×=3-易观察出结果为：

③4×=4-

例2.探索规律：

31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……，那么32009的个位数字是。

3200的个位数字是。

分析：

这类问题，主要是通过观察末位数字，找出其循环节共几位，然后用指数除以循环节的位数，结果余几，就和第几个数的末位数字相同，易得出本题结果为：

4.作差法

例3.将一正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成更小的正三角形…，如此继续下去，结果如下表：

所剪次数

1

2

3

4

…

n

正三角形个数

4

7

10

13

…

an

则an=（用含n的代数式表示）

分析：

对结果数据做求差处理（相邻两数求差，大数减小数）

例4.有一组数：

1、2、5、10、17、26……请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为。

尝试练习：

1.观察下列等式：

1×3=12+2×1；2×4=22+2×2；3×5=32+2×3……请将

你猜想到的规律用含自然数n（n≥1）的代数式表示出来：

。

2.观察下列各式：

×2=+2；×3=+3；×4=+4；×5=+5……

设n为正整数，用关于n的等式表示这个规律为。

3.观察下列各式：

=2；=3；=4……请你将猜想到的规律用含正整数n（n≥1）的代数式表示出来为。

4.已知：

2+=22×；3+=32×；4+=42×；5+=52×…，若

10+=102×符合前面式子的规律，则a+b=。

5.已知下列等式：

①13=12；②13+23=32；③13+23+33=62；④13+23+33+43=102…由此规律可推出第n等式：

。

二、图形规律探究

解决思路有两种：

一种是数图形，将图形转化为数字规律，用作差法看能否解决

另一种在过程中找规律（图形的构成或者是作差法的过程）

例5．如图，由若干火柴棒摆成的正方形，第①图用了4根火柴，第②图用了7根火柴棒，第③图用了10根火柴棒，依次类推，第⑩图用根火柴棒，摆第n个图时，要用根火柴棒。

（1）

（2）

（3）

例6．按如下规律摆放三角形：

则第④堆三角形的个数为；第（n）堆三角形的个数为。

△△△

△△△

△△△△△

△△△△△△

△△△△△△△

①②③

尝试练习：

1.如图7－①，图7－②，图7－③，图7－④，，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第个“广”字中的棋子个数是________

2．观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有个．

……

n=1

n=2

n=3

3．图（3）是用火柴棍摆成的边长分别是1，2，3根火柴棍时的正方形．当边长为n根火柴棍时，设摆出的正方形所用的火柴棍的根数为，则＝．（用n的代数式表示）

（1）

（2）

（3）

4．用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖__________块，第个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含的代数式表示）．

5．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第个图形需要黑色棋子的个数是．

三、课外拓展：

1.探索规律：

31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729……那么32008的个位数字是。

2.观察下列等式：

71=7，72=49，73=343，74=2041……由此可判断7100的个位数字是。

3.瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据，，，……中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按此规律第七个数据是。

4.已知a1=+=，a2=+=，a3=+=……按此规律，则a99=。

5.已知=1-，=-，=-……，则+++

…+=；用相同思路探究：

++…+=。

6．如图5，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有个，第n幅图中共有个．

…

…

第1幅

第2幅

第3幅

第n幅

图5

7．如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由_______个圆组成．

8．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：

第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有个小圆．

第1个图形

第2个图形

第3个图形

第4个图形

…

第1次第2次第3次第4次···

···

9．用边长为1cm的小正方形搭成如下的塔状图形，则第n次所搭图形的周长是_______________cm（用含n的代数式表示）。

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