七年级下学期期末考试数学解答专题2.docx
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七年级下学期期末考试数学解答专题2
七年级下学期期末考试数学解答专题2
一．解答题（共10小题，满分86分）
1．（6分）解方程组：
．
2．（6分）解不等式组：
，并在数轴上把解集表示出来．
3．（8分）为了解黔东南州某县2013届中考学生的体育考试得分情况，从该县参加体育考试的4000名学生中随机抽取了100名学生的体育考试成绩作样本分析，得出如下不完整的频数统计表和频数分布直方图．
成绩分组
组中值
频数
25≤x＜30
27.5
4
30≤x＜35
32.5
m
35≤x＜40
37.5
24
40≤x＜45
a
36
45≤x＜50
47.5
n
50≤x＜55
52.5
4
（1）求a、m、n的值，并补全频数分布直方图；
（2）若体育得分在40分以上（包括40分）为优秀，请问该县中考体育成绩优秀学生人数约为多少？
4．（8分）（2006•贺州）福林制衣厂现有24名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条．
（1）若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应各安排多少人制作衬衫和裤子？
（2）已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润2100元，则需要安排多少名工人制作衬衫？
5．（9分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：
△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
6．（9分）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：
BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：
△AEF≌△BCF．
7．（10分）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：
如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：
AB=CD．
分析：
证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．
8．（10分）（2013•东营）
（1）如图
（1），已知：
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．
证明：
DE=BD+CE．
（2）如图
（2），将
（1）中的条件改为：
在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？
如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：
如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．
8．（10分）（2012•天水）如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：
△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数．
9．（10分）如图所示，在△ABC外作等腰三角形△ABD和等腰三角形△ACE，且使它们的顶角∠DAB=∠EAC，BE、CD相交于点P，AP的延长线交BC于点F，试判断∠BPF与∠CPF的关系，并加以证明．
2014年06月11日陈俊的初中数学组卷
参考答案与试题解析
一．解答题（共10小题，满分86分）
1．（6分）（2005•苏州）解方程组：
．
考点：
解二元一次方程组．菁优网版权所有
分析：
先把方程组中的①化简，利用加减消元法或者代入消元法求解即可．
解答：
解：
原方程组可化为
，
即
，
①+②得，6x=18，x=3．
①﹣②得，﹣4y=﹣2，y=
．
故原方程组的解为
．
点评：
解答此题的关键是掌握解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法．
2．（6分）（2009•新疆）解不等式组：
，并在数轴上把解集表示出来．
考点：
解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
分别解两个不等式，求出其解集，在数轴上表示出来，找出公共部分，即求出了不等式组的解集．
解答：
解：
解第一个不等式得x＜1，
解第二个不等式得x≥﹣2，
所以不等式组的解集为﹣2≤x＜1．
其解集在数轴上表示为：
点评：
不等式组的解集在数轴上表示的方法：
把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”、“≤”要用实心圆点表示；“＜”、“＞”要用空心圆点表示．
3．（8分）（2006•贺州）福林制衣厂现有24名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条．
（1）若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应各安排多少人制作衬衫和裤子？
（2）已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润2100元，则需要安排多少名工人制作衬衫？
考点：
二元一次方程组的应用．菁优网版权所有
专题：
应用题．
分析：
设安排x人制作衬衫，安排y人制作裤子．由关键语句“现有24名制作服装的工人”和“每天制作的衬衫和裤子数量相等”，可得到等量关系．再另外分开设制作衬衫和裤子的人数为a，b求出未知数．
解答：
解：
设制作衬衫和裤子的人为x，y．
可得方程组
解得
答：
制作衬衫和裤子的人为15，9．
（2）设安排a人制作衬衫，b人制作裤子，可获得要求的利润2100元．
可列方程组
解得
所以必须安排18名工人制作衬衫．
答：
需要安排18名工人制作衬衫．
点评：
该例中每人每天生产的衬衫或裤子的数目不变，每件衬衫或裤子的利润也不变，这是解题的关键．
4．（8分）（2013•黔东南州）为了解黔东南州某县2013届中考学生的体育考试得分情况，从该县参加体育考试的4000名学生中随机抽取了100名学生的体育考试成绩作样本分析，得出如下不完整的频数统计表和频数分布直方图．
成绩分组
组中值
频数
25≤x＜30
27.5
4
30≤x＜35
32.5
m
35≤x＜40
37.5
24
40≤x＜45
a
36
45≤x＜50
47.5
n
50≤x＜55
52.5
4
（1）求a、m、n的值，并补全频数分布直方图；
（2）若体育得分在40分以上（包括40分）为优秀，请问该县中考体育成绩优秀学生人数约为多少？
考点：
频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．菁优网版权所有
分析：
（1）求出组距，然后利用37.5加上组距就是a的值；根据频数分布直方图即可求得m的值，然后利用总人数100减去其它各组的人数就是n的值；
（2）利用总人数4000乘以优秀的人数所占的比例即可求得优秀的人数．
解答：
解：
（1）组距是：
37.5﹣32.5=5，则a=37.5+5=42.5；
根据频数分布直方图可得：
m=12，
则n=100﹣4﹣12﹣24﹣36﹣4=20；
（2）优秀的人数所占的比例是：
=0.6，
则该县中考体育成绩优秀学生人数约为：
4000×0.6=2400（人）．
点评：
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
5．（9分）（2013•温州）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：
△ACD≌△AED；
（2）若∠B=30°，CD=1，求BD的长．
考点：
全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形．菁优网版权所有
分析：
（1）根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可；
（2）求出∠DEB=90°，DE=1，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．
解答：
（1）证明：
∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=ED，∠DEA=∠C=90°，
∵在Rt△ACD和Rt△AED中
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；
（2）解：
∵DC=DE=1，DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2．
点评：
本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：
角平分线上的点到角两边的距离相等．
6．（9分）（2013•荆门）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：
BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：
△AEF≌△BCF．
考点：
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
（1）根据等腰三角形三线合一的性质可得∠BAE=∠EAC，然后利用“边角边”证明△ABE和△ACE全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）先判定△ABF为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的两直角边相等可得AF=BF，再根据同角的余角相等求出∠EAF=∠CBF，然后利用“角边角”证明△AEF和△BCF全等即可．
解答：
证明：
（1）∵AB=AC，D是BC的中点，
∴∠BAE=∠EAC，
在△ABE和△ACE中，
，
∴△ABE≌△ACE（SAS），
∴BE=CE；
（2）∵∠BAC=45°，BF⊥AF，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF=BF，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠EAF+∠C=90°，
∵BF⊥AC，
∴∠CBF+∠C=90°，
∴∠EAF=∠CBF，
在△AEF和△BCF中，
，
∴△AEF≌△BCF（ASA）．
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，是基础题，熟记三角形全等的判定方法与各性质是解题的关键．
7．（10分）（2013•东营）
（1）如图
（1），已知：
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．
证明：
DE=BD+CE．
（2）如图
（2），将
（1）中的条件改为：
在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？
如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：
如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．
考点：
全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．菁优网版权所有
专题：
压轴题．
分析：
（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，
则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；
（2）与
（1）的证明方法一样；
（3）与前面的结论得到△ADB≌△CEA，则BD=AE，∠DBA=∠CAE，根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60°，则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，则∠DBF=∠FAE，
利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形．
解答：
证明：
（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAE=90°，
∵∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）成立．
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（3）△DEF是等边三角形．
由
（2）知，△ADB≌△CEA，
BD=AE，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60°，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
∵BF=AF
在△DBF和△EAF中
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，
∴△DEF为等边三角形．
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质：
判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．
8．（10分）（2012•天水）如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F．
（1）求证：
△ABE≌△CAD；
（2）求∠BFD的度数．
考点：
全等三角形的判定；等边三角形的性质．菁优网版权所有
专题：
几何综合题．
分析：
（1）根据等边三角形的性质可知∠BAC=∠C=60°，AB=CA，结合AE=CD，可证明△ABE≌△CAD（SAS）；
（2）根据∠BFD=∠ABE+∠BAD，∠ABE=∠CAD，可知∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
解答：
（1）证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAE=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）．
（2）解：
∵∠BFD=∠ABE+∠BAD，
又∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE=∠CAD．
∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°．
点评：
本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等边三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
9．（10分）如图所示，在△ABC外作等腰三角形△ABD和等腰三角形△ACE，且使它们的顶角∠DAB=∠EAC，BE、CD相交于点P，AP的延长线交BC于点F，试判断∠BPF与∠CPF的关系，并加以证明．
考点：
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．菁优网版权所有
分析：
作AG⊥CD于G，AH⊥BE于H，根据条件可以先证明△ADC≌△ABE，就可以得出CD=EB，就可以证明△AGP≌△AHP就可以得出∠APG=∠APH，再根据对顶角相等就可以得出结论．
解答：
解：
∠BPF=∠CPF
理由：
作AG⊥CD于G，AH⊥BE于H，
∵∠DAB=∠EAC，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE．
在△ADC和△ABE中
，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴DC=BE．
∵AG⊥CD，AH⊥BE，
∴AG=AH．
在Rt△AGP和Rt△AHP中，
，
∴∠APG=∠APH．
∵∠APG=∠CPF，∠APH=∠BPF，
∴∠BPF=∠CPF．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，对顶角的性质的运用，解答时证明三角形是关键，运用全等三角形的对应边上的高相等求解是难点．
10．（10分）（2002•曲靖）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：
如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．
求证：
AB=CD．
分析：
证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明．
考点：
全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
阅读型．
分析：
证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．
解答：
证明：
方法一：
作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．
∴∠F=∠CGE=90°．
又∵∠BEF=∠CEG，BE=CE，
∴△BFE≌△CGE．
∴BF=CG．
在△ABF和△DCG中，∵∠F=∠DGC=90°，∠BAE=∠CDE，BF=CG，
∴△ABF≌△DCG．
∴AB=CD．
方法二：
作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
∴∠F=∠BAE．
又∵∠ABE=∠D，
∴∠F=∠D．
∴CF=CD．
∵∠F=∠BAE，∠AEB=∠FEC，BE=CE，
∴△ABE≌△FCE．
∴AB=CF．
∴AB=CD．
方法三：
延长DE至点F，使EF=DE．
又∵BE=CE，∠BEF=∠CED，
∴△BEF≌△CED．
∴BF=CD，∠D=∠F．
又∵∠BAE=∠D，
∴∠BAE=∠F．
∴AB=BF．
∴AB=CD．
点评：
主要考查辅助线的添加及全等三角形的判定方法的掌握，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
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