《等腰三角形性质的应用》第2课时教案探究版.docx

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《等腰三角形性质的应用》第2课时教案探究版

《等腰三角形性质的应用》教案探究版

教学目标

知识与技能

能够运用等腰三角形的性质证明等腰三角形两底角的平分线、两条腰上的中线、高相等．

过程与方法

进一步感受证明过程，掌握推理证明的基本要求，明确条件和结论，能够借助数学符号语言、借助等腰三角形的性质并利用综合法证明等腰三角形中与线段相等相关的结论．

经历“探索－发现－猜想－证明”的过程，让学生进一步体会证明是探索活动的自然延续和必要发展，发展学生的初步的演绎逻辑推理的能力．

情感、态度

启发引导学生体会探索结论和证明结论，及合情推理与演绎的相互依赖和相互补充的辩证关系；培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.

教学重点

探索利用等腰三角形的性质证明等腰三角形相关结论的思路与方法．

教学难点

明确推理证明的基本要求如明确条件和结论，能否用数学语言正确表达等．

教学过程

一、复习导入

回忆上节课证明过的等腰三角形的性质与判断定理：

性质定理：

（1）等腰三角形的两个底角相等．

（2）等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合

判定定理：

有两个角相等的三角形是等腰三角形．

你能运用这些定理证明等腰三角形中与线段长度（如两底角的平分线、两腰的中线与高等）相关的结论吗？

今天我们共同来探究这一问题

设计意图：

回顾性质，既为后续研究判定提供了基础；同时，直接提出新的问题，过渡自然，引入本课研究内容，而新的问题是原有性质的一个自然拓展，有助于提高学生提出问题的能力．

二、探究新知

（一）在等腰三角形中作出两底角的平分线，你能发现这两底角的平分线什么关系吗?

你能证明你的结论吗?

如图，在等腰三角形中作出两底角的平分线，测量发现这两条线段相等．

证明过程如下：

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线．

求证：

BD=CE．

证明：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．

∵∠1=

∠ABC，∠2=

∠ACB，

∴∠1=∠2．

在△BDC和△CEB中，

∠ACB=∠ABC，BC=CB，∠1=∠2．

∴△BDC≌△CEB（ASA）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）．

依照上述证明思路与过程，你还能思考出其他的证明方法吗？

证明：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB．

∴∠3=∠4．

在△ABD和△ACE中，

∠3=∠4，AB=AC，∠A=∠A．

∴△ABD≌△ACE（ASA）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）．

特别提醒：

在证明过程中，学生思路一般还较为清楚，但毕竟严格证明表述经验尚显不足，因此，教学中教师应注意对证明规范提出一定的要求，因此，注意请学生板书其中部分证明过程，借助课件展示部分证明过程；可能部分学生还有一些困难，注意对有困难的学生给予帮助和指导．

（二）上面我们探究了等腰三角形两底角的平分线相等，你能仿照上述探究过程继续探究等腰三角形两腰上的中线、两腰上的高是否相等？

并同样完成对探究结论的证明．

1.如图，在等腰三角形中作出两腰的中线，测量发现这两条线段相等．

证明过程如下：

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC两腰上的中线．

求证：

BD=CE．

证明：

∵AD=

AC，AE=

AB，AB=AC，

∴AD=AE．

在△ABD与△ACE中，

∵AB=AC（已知），∠A=∠A（公共角），AD=AE（已证），

∴△ABD≌△ACE（SAS）．

∴BD=CE．

2.如图，在等腰三角形中作出两腰的高，测量发现这两条线段相等．

证明过程如下：

已知：

如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC两腰上的高．

求证：

BD=CE．

证明：

在△ABD与△ACE中，

∵∠A=∠A（公共角），

∠ADB=∠AEC=90°（高的定义），

AB=AC（已知），

∴△ABD≌△ACE（AAS）．

∴BD=CE．

通过以上探究总结得到：

1．等腰三角形两底角的平分线相等．

2．等腰三角形两腰上的中线相等．

3．等腰三角形两腰上的高相等．

三、典例精讲

例1已知：

如图，点D，E在△ABC的边AB上，AB=AC，AD=AE．

求证：

BD=CE．

证明：

作AF⊥BC，垂足为点F，则AF⊥DE．

∵AB=AC，AD=AE．

∴BF=CF，DF=EF．（等腰三角形底边上的中线、底边上的高互相重合）

∴BF-DF=CF-EF，

即BD=CE．

例2．在等腰三角形ABC中，

已知：

∠ABD=

∠ABC，∠ACE=

∠ACB，

求证：

BD=CE．

证明：

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）．

又∵∠ABD=

∠ABC，∠ACE=

∠ACB，

∴∠ABD=∠ACE．

∴∠DBC＝∠ECB．

在△BDC和△CEB中，

∵∠DBC=∠ECB，BC=CB，∠ACB=∠ABC，

∴△BDC≌△CEB（ASA）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）

设计意图：

通过此例让学生学会在三角形中，如何正确运用等腰三角形的判定与性质定理证明几何问题．

例3．在等腰三角形ABC中，

已知：

AD=

AC，AE=

AB，

求证：

BD=CE．

证明：

∵AB=AC．

又∵AD=

AC，AE=

AB，

∴AD=AE．

在△ADB和△AEC中，

AB=AC，∠A=∠A，AD=AE，

∴△ADB≌△AEC（SAS）．

∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）．

设计意图：

通过此例，加深学生对运用等腰三角形判定与性质定理的理解与应用．

四、课堂练习

1．如下图，在△ABC中，∠A=20°，D在AB上，AD=DC，∠ACD∶∠BCD=2∶3，求：

∠ABC的度数．

2．如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠BAC的平分线于点D，求证：

MD=MA．

答案：

1．∵AD=DC，且∠A=20°，

∴∠A=∠ACD=20°．

又∵∠ACD∶∠BCD=2∶3，

∴∠BCD=30°．∴∠ACB=50°．

∴∠ABC=180°－∠A－∠ACB

=180°－20°－50°=110°．

2．∵MD⊥BC，且∠B=90°，

∴AB∥MD．∴∠BAD=∠D．

又∵AD为∠BAC的平分线，

∴∠BAD=∠MAD．∴∠D=∠MAD．

∴MA=MD．

设计意图：

通过练习解题实践，锻炼学生探索与发现问题的能力．

五、课堂小结

由等腰三角形的判定与性质定理得到以下结论：

1．等腰三角形两底角的平分线相等．

2．等腰三角形两腰上的中线相等．

3．等腰三角形两腰上的高相等．

设计意图：

培养学生归纳整理知识的能力和习惯．

六、布置作业

1．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF平分∠AED，问在这个图形中，有哪几个等腰三角形？

请分别写出来．

2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为____________．

3．已知：

如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且∠1=∠2．求证：

AB=AC

4．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，DE⊥BC，E是垂足，ED的延长线交CA的延长线于点F，求证：

AD=AF．

答案：

1．△ABC、△BCD、△EBD、△EDF、△FAE、△ADE、△ABD．

2．30°或150°

3．证明：

∵AD∥BC，

∴∠1=∠B，∠2=∠C．

又∵∠1=∠2，

∴∠B=∠C．

∴AB=AC（等角对等边）．

4．证明：

∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∴EF⊥BC．∴∠FEB=∠FEC=90°．

∴∠B+∠BDE=∠C+∠F=90°．

∴∠BDE=∠F．∵∠BDE=∠FDA，

∴∠F=∠FDA．∴AD=AF．

七、课堂检测

1．给出下列命题，正确的有（）

①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形最小边是底边；④等腰三角形都是锐角三角形

A、1个B、2个C、3个D、4个

2．等腰三角形底边上的__________，底边上的__________，顶角__________，均把它分成两个全等三角形．

3．如图，已知AD是△ABC的外角平分线，且AD∥BC，则∠1_____∠B，∠2______∠C，△ABC是_______三角形．

答案：

1．A．解析：

①等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高重合．③等腰三角形最小边不一定是底边．④等腰三角形不一定是锐角三角形．⑤等腰三角形不一定都是锐角三角形．故正确的只有②1个，选A．

2．高线中线平分线

3．＝＝等腰