步步高选修22第二章 222.docx

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步步高选修22第二章222

2.2.2　反证法

学习目标

　1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．

知识点　反证法

王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！

他们都问王戎：

“你怎么知道李子是苦的呢？

”王戎说：

“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．”

思考1　本故事中王戎运用了什么论证思想？

答案　运用了反证法思想．

思考2　反证法解题的实质是什么？

答案　否定结论，导出矛盾，从而证明原结论正确．

梳理　

（1）定义：

假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．

（2）反证法常见的矛盾类型

反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．

类型一　用反证法证明否定性命题

例1　设{an}是公比为q的等比数列．设q≠1，证明：

数列{an＋1}不是等比数列．

证明　假设{an＋1}是等比数列，则对任意的k∈N*，

（ak＋1＋1）2＝（ak＋1）（ak＋2＋1），

∴a

＋2ak＋1＋1＝akak＋2＋ak＋ak＋2＋1，

即a

q2k＋2a1qk＝a1qk－1·a1qk＋1＋a1qk－1＋a1qk＋1，

∵a1≠0，∴2qk＝qk－1＋qk＋1.

∵q≠0，∴q2－2q＋1＝0，

∴q＝1，这与已知矛盾．

∴假设不成立，故{an＋1}不是等比数列．

反思与感悟　

（1）用反证法证明否定性命题的适用类型：

结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．

（2）用反证法证明数学命题的步骤

跟踪训练1　已知三个正数a，b，c成等比数列但不成等差数列，求证：

，

，

不成等差数列．

证明　假设

，

，

成等差数列，

则2

＝

＋

，

∴4b＝a＋c＋2

.①

∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，②

由②得b＝

，代入①式，

得a＋c－2

＝（

－

）2＝0，

∴a＝c，从而a＝b＝c.

这与已知a，b，c不成等差数列相矛盾，

∴假设不成立．故

，

，

不成等差数列．

类型二　用反证法证明“至多、至少”类问题

例2　a，b，c∈（0,2），求证：

（2－a）b，（2－b）c，（2－c）a不能都大于1.

证明　假设（2－a）b，（2－b）c，（2－c）a都大于1.

因为a，b，c∈（0,2），

所以2－a>0,2－b>0,2－c>0.

所以

≥

>1.

同理，

≥

>1，

≥

>1.

三式相加，得

＋

＋

>3，

即3>3，矛盾．

所以（2－a）b，（2－b）c，（2－c）a不能都大于1.

引申探究　

已知a，b，c∈（0,1），求证：

（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a不能都大于

.

证明　假设（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a都大于

.

∵a，b，c都是小于1的正数，

∴1－a,1－b,1－c都是正数．

∴

≥

>

＝

.

同理，

>

，

>

.

三式相加，得

＋

＋

>

，

即

>

，显然不成立．

∴（1－a）b，（1－b）c，（1－c）a不能都大于

.

反思与感悟　应用反证法常见的“结论词”与“反设词”

当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂．这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如下：

结论词

反设词

结论词

反设词

至少有一个

一个也没有

对所有x成立

存在某个x0不成立

至多有一个

至少有两个

对任意x不成立

存在某个x0成立

至少有n个

至多有n－1个

p或q

綈p且綈q

至多有n个

至少有n＋1个

p且q

綈p或綈q

跟踪训练2　已知a，b，c是互不相等的实数，求证：

由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a和y3＝cx2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．

证明　假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点，

由y1＝ax2＋2bx＋c，y2＝bx2＋2cx＋a，y3＝cx2＋2ax＋b，

得Δ1＝（2b）2－4ac≤0，Δ2＝（2c）2－4ab≤0，

且Δ3＝（2a）2－4bc≤0.

同向不等式求和，得

4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0，

所以2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0，

所以（a－b）2＋（b－c）2＋（a－c）2≤0，所以a＝b＝c.

这与题设a，b，c互不相等矛盾，

因此假设不成立，从而命题得证．

类型三　用反证法证明唯一性命题

例3　求证：

方程2x＝3有且只有一个根．

证明　∵2x＝3，∴x＝log23.

这说明方程2x＝3有根．

下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的．

假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2（b1≠b2），

则2b1＝3,2b2＝3，两式相除得2b1－b2＝1，

∴b1－b2＝0，则b1＝b2，这与b1≠b2矛盾．

∴假设不成立，从而原命题得证．

反思与感悟　用反证法证明唯一性命题的一般思路：

证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，可先证“存在性”，由于假设“唯一性”结论不成立易导出矛盾，因此可用反证法证其唯一性．

跟踪训练3　若函数f（x）在区间[a，b]上是增函数，求证：

方程f（x）＝0在区间[a，b]上至多有一个实根．

证明　假设方程f（x）＝0在区间[a，b]上至少有两个实根，设α、β为其中的两个实根．因为α≠β，不妨设α<β，又因为函数f（x）在[a，b]上是增函数，所以f（α）

1．证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设（　　）

A．三角形中至少有一个直角或钝角

B．三角形中至少有两个直角或钝角

C．三角形中没有直角或钝角

D．三角形中三个角都是直角或钝角

答案　B

2．用反证法证明“在三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中（　　）

A．有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°

C．有一个内角大于60°D．每一个内角都大于60°

答案　B

3．“a

A．a≠bB．a>b

C．a＝bD．a＝b或a>b

答案　D

4．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设（　　）

A．a不垂直于cB．a，b都不垂直于c

C．a⊥bD．a与b相交

答案　D

5．用反证法证明：

关于x的方程x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋（a－1）x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，当a≤－

或a≥－1时，至少有一个方程有实数根．

证明　假设三个方程都没有实数根，则由判别式都小于零，得

则

解得－

与a≤－

或a≥－1矛盾，故原命题成立．

用反证法证题要把握三点：

（1）必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．

（2）反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．

（3）反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．

课时作业

一、选择题

1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是

①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾．

其中正确的为（　　）

A．①②B．①③

C．①③④D．①②③④

答案　D

2．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为（　　）

A．a，b，c都是偶数

B．a，b，c都是奇数

C．a，b，c中至少有两个偶数

D．a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数

答案　D

解析　自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：

3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”．

3．有下列叙述：

①“a>b”的反面是“ay或x

A．0个B．1个C．2个D．3个

答案　B

解析　①错，应为a≤b；②对；③错，应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错，应为三角形至少有2个钝角．

4．用反证法证明命题：

“a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（　　）

A．a，b都能被5整除

B．a，b都不能被5整除

C．a，b不都能被5整除

D．a不能被5整除

答案　B

解析　“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”．

5．①已知p3＋q3＝2，证明：

p＋q≤2.用反证法证明时，可假设p＋q≥2；

②若a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证：

方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.

以下结论正确的是（　　）

A．①与②的假设都错误

B．①的假设正确；②的假设错误

C．①与②的假设都正确

D．①的假设错误；②的假设正确

答案　D

解析　对于①，结论的否定是p＋q>2，故①中的假设错误；对于②，其假设正确，故选D.

6．设a，b，c都是正数，则三个数a＋

，b＋

，c＋

（　　）

A．都大于2

B．至少有一个大于2

C．至少有一个不小于2

D．至少有一个不大于2

答案　C

解析　假设a＋

<2，b＋

<2，c＋

<2，

则（a＋

）＋（b＋

）＋（c＋

）<6.

又（a＋

）＋（b＋

）＋（c＋

）

＝（a＋

）＋（b＋

）＋（c＋

）≥2＋2＋2＝6，

这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.

二、填空题

7．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是

________________________________________________________________________.

答案　存在一个三角形，其外角最多有一个钝角

解析　“任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”．

8．用反证法证明命题“若x2－（a＋b）x＋ab≠0，则x≠a且x≠b”时，应假设________________．

答案　x＝a或x＝b

9．设a，b是两个实数，给出下列条件：

①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是______．（填序号）

答案　③

10．某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说真话，只有一人偷了珠宝．甲：

我没有偷；乙：

丙是小偷；丙：

丁是小偷；丁：

我没有偷．

根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是________．

答案　甲

解析　假如甲：

我没有偷是真的，则乙：

丙是小偷；丙：

丁是小偷是假的；丁：

我没有偷就是真的，与他们四人中有一人说真话矛盾．

假如甲：

我没有偷是假的，则丁：

我没有偷就是真的，

乙：

丙是小偷，丙：

丁是小偷是假的，成立．

∴可以判断偷珠宝的人是甲．

11．若下列两个方程x2＋（a－2）x＋a2＝0，x2＋ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围是____________________．

答案　（－∞，－8]∪[－2，＋∞）

解析　若两方程均无实根，

则Δ1＝（a－2）2－4a2＝（3a－2）（－a－2）<0，

∴a<－2或a>

.

Δ2＝a2＋8a＝a（a＋8）<0，

∴－8

若两个方程至少有一个方程有实根，

则a≤－8或a≥－2.

三、解答题

12．若a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋

，b＝y2－2z＋

，c＝z2－2x＋

.求证a，b，c中至少有一个是大于0的．

证明　假设a，b，c都不大于0，

则a≤0，b≤0，c≤0，

∴a＋b＋c≤0，

而a＋b＋c＝（x2－2y＋

）＋（y2－2z＋

）＋（z2－2x＋

）＝（x2－2x）＋（y2－2y）＋（z2－2z）＋π＝（x－1）2＋（y－1）2＋（z－1）2＋π－3，

∴a＋b＋c>0.这与a＋b＋c≤0矛盾，

∴假设不成立，

故a，b，c中至少有一个是大于0的．

13．已知f（x）＝ax＋

（a>1），求证：

方程f（x）＝0没有负数根．

证明　假设x0是f（x）＝0的负数根，

则x0<0且x0≠－1，且ax0＝－

，

∴0

<1，

解得

故方程f（x）＝0没有负数根．

四、探究与拓展

14．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤：

①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误；

②所以一个三角形不能有两个直角；

③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.

上述步骤的正确顺序为__________．（填序号）

答案　③①②

15．对于直线l：

y＝kx＋1，是否存在这样的实数k，使得l与双曲线C：

3x2－y2＝1的交点A、B关于直线y＝ax（a为常数）对称？

若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

解　假设存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称，设A（x1，y1），B（x2，y2），则

由

⇒（3－k2）x2－2kx－2＝0.④

由②③得a（x1＋x2）＝k（x1＋x2）＋2，⑤

由④知x1＋x2＝

，

代入⑤整理得ak＝3，与①矛盾．

故不存在实数k，使得A、B关于直线y＝ax对称．