【提示及点评】
•判断两个函数y==是否可以复合,关键就看
E*={x\g(x)e£>}cE是否为空集。
是空集则不能复合,不是空集则可以复合.
【解】
(1)由于{兀12+疋h—1}c/?
h0,因此它们可以复合•且复合得到
3+x
(2)由于{x\-\<2+x2<\}r>R=^,因此它们不能复合。
■
【例5】在什么条件下,函数『=上凹的反函数就是它本身?
cx+d
【提示及点评】
•反函数存在的充分必要条件是:
一一对应。
对这种类型的题目,首先要保证反函
数存在、再在存在的条件下把反函数求岀来.
【解】
(1)函数要存在反函数,则对于定义内的任意两个值“工忑,必有/(xj丰/(X,),从而得到:
”巴1岁工-佟J即
cxx+dcx2+cl
acx}x2+adxx+bcx2+bdacxxx2+bcx{+adx2+bcl
(ad一Z?
c)(m—兀)工0
从而eul-bc^O所以函数存在反函数的条件是:
ad-be^0
(2)在存在反函数的条件下求反函数
ax+b—b-dym-dx+b
由y=解得:
x=,因此反函数为y=
ex+(1cy-aex-a
根据两个函数相等的条件:
立义域相同,对应法则相同•
当CHO时,原函数的左义域为X丰一一、反函数的泄义域为—,因此两者要相同,CC
必须要a=-d,而在a=-d时,两个函数的表达式也相同,因此这时原函数与反函数相同.
当住=0时,由反函数存在条件ad-bc^Q.则皿工0,这时原函数为y=-x+-9反dd
函数为:
y=-x--:
泄义都是xe/?
:
只要表达式相同,两个函数就相同•因此,必须有aa
—=-—»解得:
a=—d或者a=d,h=0
dada
综上述得到:
函数y=巴凹的反函数就是它本身的条件是:
cx+d
(1)ad—beH0,cHO,a=-d或
(2)cut—be0,c=0,a=—d或
(3)ad—be工0,a=d.b=c=0■
【例6]判断函数y=x\-\【提示及点评】
•函数要是奇函数或偶函数,必须具备两个条件:
定义域必须关于原点对称,是奇函数还必须满足/(-X)=-/(x),是偶函数还必须满足/(-A-)=f(x)•左义域要
求关于原点对称的,很容易被忽略.
【解】由于该函数的泄义域不关于原点对称,因此它没有奇偶性。
■
【例7】设{(“”,»)}是一个严格开区间套,即满足
®且lim(0—d”)=O。
证明:
存在唯一的一点使得5<§<"小=1,2,…
【提示及点评】
•这个题目表明对于严格的开区间套也有类似于闭区间套泄理的结论,但是要求一定要是严格开区间套,不是严格的就不一定成立:
•首先把它看作闭区间套,利用闭区间套立理证明,再证明所存在的点满足题目要求.
【证明滞虑闭区间序列{%"]},由条件<«2<■且lim(仇一y)=0,可知它是闭区间套,因此存在唯一的点满足
an因为%"<化利曲=12…而an【知识扩展提示】确界存在左理、闭区间套泄理、聚点左理、有限覆盖立理是是数学分析
的理论基础,必须牢牢掌握。
只要碰到与定理的结论或结论类似的情况,都要想起这些泄理.
【例8】试举例说明:
在有理数集内,确界原理、单调有界定理、聚点泄理和柯西收敛准则一般不能成立.
【提示及点评】
•实数的这些完备性圧理,只在实数域内才能成立,在有理数域一般是不成立的.
•对这个题,只要做一个有理数列,而它的极限却是无理数就可以说明问题.
【解】作一有理数列:
5=(1+丄)"
n
(1)由基本极限公式lim(l+丄)它是递增、且有界,所以它的上确界就是w,
fl
因此在有理数集内无确界.
(2)该数列单调有界,但由
(1)可知,数列在有理数集上没有极限.
(3)由lim(l+丄)"=e可知,数列有唯一一个聚点,就是c,因此在有理数集上没有
28n
聚点.
(4)由于数列lim(l+丄)〃=£,因此它必左满足柯西收敛准则,但若从有理数集合看,它2*n
却没有极限,因为极限是无理数.■
【例9】设/7={(丄丄)5=12・・・}・问
(1)14能否覆盖(0,1)?
(2)能否从H中选n+2n
出有限个开区间覆盖(a)(0,丄),(b)(丄,1)?
2100
【提示及点评】
•这是关于覆盖的问题,有限覆盖立理是指一个开覆盖H,它覆盖一个闭区间,则可以从这选出有限个出来覆盖这个闭区间,但现在不是一个闭区间,因此,结论
未必成立.
【证明】
(1)H可以覆盖(0,1),因为对于任意的re(0J)>则->1,取«=[-]:
则:
当n=l,必有一!
—<—!
——,丄):
当n>2时,n+2/?
+1nn+2n
—<—•
<—,这时re(——!
——•丄)。
因此H能否该(0J).
+2n+\nn-\(n-1)+2/z-1
(2)不能选出有限个覆盖(0,1).反证法•
2
设可以/7人={(一1^,丄)|也=12・・・灯这k个能覆盖(0丄),令
心+2%2
p=max{厲+2ji2+2,・・・y+2)
显然(0,召)上的点不属于•中的任何一个区间,矛盾•因此不能选出有限个覆盖(0,|).
可以选出有限个覆盖(丄,1),首先选一个覆盖端点1附近的,选取的区间为:
(丄」)•
1001+2考虑闭区间[丄丄].则H中可以选出有限个覆盖[丄丄],这有限个再加上(丄
100210021+2则它们能覆盖由于(丄」)•■
100
【例10】设I为有限区间.证明:
若/在I上一致连续,则/在I上有界•举例说明此结论当I为无限区间时未必成立.
【提示及点评】
•这是实数的完备性证明函数的性质:
【证明】设区间I的左、右端点为a、b,不妨设区间是开区间。
由f(x)在I上一致连续,
h~(I
所以对于£=\,存在0vSv——,使得当且l#—£lvd时,就有
2
考虑闭区间S+—“-一],则/(X)在该闭区间上亦连续,从而有界,设这时有22
55
I/(x)\22
对于任意xe(a.a+-],由于I%-(«+-)1<-222
I/(x)-f(a+1)1<1,I1<1f(a+£)丨+1W+1
同理可以证明xe[b--,h),有l/3lvl/(d+?
)l+lSM|+l
22
因此,任意的xe(a,b)都有\f(x)\若区域不是有界时,则结论未必成立,例如函数y=2x.xeR是一致连续,但不是有界函数.
【例11]试用有限覆盖左理证明根的存在左理.
【提示及点评】
•利用有限覆盖圮理证明问题的最关键是:
构造一个开覆盖.
【证明】设f(x)在[a,b]±连续,且/⑷与/'(b)异号,证明方程f(x)=0在(a,b)内至少有一个根.
反证法:
假设方程f(x)=0在(a,b)内没有根,则任意的xw(a,b),都有/(a)H0,根据连续的局部保号性,因此存在一个邻域〃(兀,①),使得函数在该邻域内的函数值同号.构造开覆盖H={U(x^x)\x&[a,b}},则H覆盖H,由有限覆盖泄理得到,存在有限个邻域U(x,,),t/(x2,),•■•,t/(xn,)覆盖[a.b];且不妨设x,"(»,&.)cU(x州,g)*(p、j=1,2,…”一1。
而/(x)在每个邻域内都不变号,因此推出/(X)在(兀,盒)不变号,故/(X)在[a.b]上不变号,因此,同号,矛盾;
r-1
从而/(x)=0在[a.b]上至少有一个根.■
【知识扩展提示】实数的完备性左理不仅可以用来证明连续函数的一些性质,在英他的证明
方面也经常用到,所以对这些立理必须做到能灵活应用.
五.扩展例题解题点击
【例1】下列各对函数是同一个函数的是().
g(x)=sin(arcsinx)
(A)/(x)=-,g(x)=ln(V7)(B)/(x)=x,
2
i工+]
(C)f(x)=—,g(x)=-(D)f(x)=1,g(x)=x°
x-1jc-1
【提示及点评】
•这是2009年浙江理工大学2009年数学分析研究生入学考试试题:
•两个函数相同的的条件:
对应法则相同,左义域相同.
【解】由答案是(A),其他三个答案的两个函数的左义域都不相同.
【例2】若数M是非空数集S的上界,但不是S的上确界,则下列结论中错误的是().(A)任何大于M的数都是S的上界(B)任何小于M的数都不是S的上界
(C)数集S必有上确界(D)M>sup{5}
设x,y为实数,x存在有理数r满足x存在无理数a满足x•这是2009年浙江理工大学2009年数学分析研究生入学考试试题:
•集合的上下确界是一个重要的概念,需要很好地理解.
【解】根据上确界是:
(1)是上界:
(2)是最小的上界。
可知答案(B)是错的.■
【例3】若林,厲为闭集,则()•
(A)F.DF,为闭集,F.UF,不一定是闭集(B)都为闭集
(C)仟11竹为闭集,许门巴不一定是闭集(D)片门朽,斥11朽都不一定为闭集
【提示及点评】
•这是2009年浙江理工大学2009年数学分析研究生入学考试试题:
•这是关于闭集的定义.
【解】如果一个点集的所有聚点都属于它,则这个点集称为闭。
根据这个立义可知,答案
B是正确,其他都不对.■
【例4】设几g为D上的有界函数.证明
(1)inf{f(x)+g(x)}>inff(x)+infg(x)
xeDxeDa€D
(2)sup{/(x)+g(x)}.v€DxsD.teD
【提示及点评】
•这是关于上下确界和的运算法则:
直接利用左义就可以证明.
【证明】对任意xeD有:
inff(x)(x),infg(x)xeDxeD
inff(x)+infg(x)上的一个下界,因此,inf{/(x)+^(x)}>inf/(x)+inf
v€DvcDxeD
同理可以证明
(2)■
【知识扩展提示】上下确界的证明是本章的难点。
掌握上下确界的一些运算性质,对证明英
他的问题将带来很大的帮助•
(2)sup{f(x)+g(x)}>sup/(x)+infg(x).
V€OxgDV€/;
【提示及点评】
•直接利用上面的例4就可以很简洁地证明.
【证明]由于inf{/(x)+g(x)}+inf-g(x)inf{/W+g(x)}.veD.veDxeD
inf{/(x)+g(x)}®Y€DXeD
同理可以证明
(2)■
【知识扩展提示】实数的稠密性是实数的重要性质,在证明有关稠密性方而的时候,经常利用不足近似与过剩近似值来证明,在证明过程两边同时加一个数或减一个数也是常常利用的
【例6】设八g为D上的非负有界函数,证明:
(1)inf{/(x)^Cv)}>inf/(x)-infg(x)
.veD.vcD.veD
(2)sup{/(x)g(x))xeDxel)xeD
【提示及点