高考数学复习同步练习 第2讲空间几何体的表面积与体积.docx

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高考数学复习同步练习第2讲空间几何体的表面积与体积

第2讲空间几何体的表面积与体积

一、选择题

1．棱长为2的正四面体的表面积是（　　）．

A.B．4C．4D．16

解析　每个面的面积为：

×2×2×＝.∴正四面体的表面积为：

4.

答案　C

2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的（　　）．

A．2倍B．2倍C.倍D.倍

解析　由题意知球的半径扩大到原来的倍，则体积V＝πR3，知体积扩大到原来的2倍．

答案　B

3．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：

cm2）为（　　）．

A．48B．64C．80D．120

解析　据三视图知，该几何体是一个正四棱锥（底面边长为8），直观图如图，PE为侧面△PAB的边AB上的高，且PE＝5.∴此几何体的侧面积是S＝4S△PAB＝4××8×5＝80（cm2）．

答案　C

4．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为

（　　）．

A.B.C.D.

解析　在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，∴SA＝＝；同理SB＝.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB，因△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD为等腰三角形，因∠ASC＝30°，故AD＝SA＝，则△ABD的面积为×1×

＝，则三棱锥的体积为××2＝.

答案　A

5．某品牌香水瓶的三视图如下（单位：

cm），则该几何体的表面积为（　　）．

A.cm2B.cm2

C.cm2D.cm2

解析　该几何体的上下为长方体，中间为圆柱．

S表面积＝S下长方体＋S上长方体＋S圆柱侧－2S圆柱底＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π××1－2×π2＝94＋.

答案　C

6．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S-ABC的体积为（　　）．

A．3B．2C.D．1

解析　由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，设SD＝x，则DC＝4－x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD和C-ABD，在△SAD和△SBD中，由已知条件可得AD＝BD＝x，又因为SC为直径，所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DCB＝∠DCA＝60°，在△BDC中，BD＝（4－x），所以x＝（4－x），所以x＝3，AD＝BD＝，所以三角形ABD为正三角形，所以V＝S△ABD×4＝.

答案　C

二、填空题

7．已知S、A、B、C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积等于________．

解析　将三棱锥S－ABC补形成以SA、AB、BC为棱的长方体，其对角线SC为球O的直径，所以2R＝SC＝2，R＝1，∴表面积为4πR2＝4π.

答案　4π

8．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．

解析　由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V＝×1×1×＝.

答案　

9．已知某几何体的直观图及三视图如图所示，三视图的轮廓均为正方形，则该几何体的表面积为________．

解析　借助常见的正方体模型解决．由三视图知，该几何体由正方体沿面AB1D1与面CB1D1截去两个角所得，其表面由两个等边三角形、四个直角三角形和一个正方形组成．计算得其表面积为12＋4.

答案　12＋4

10．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为6，则以正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为顶点，以平面AB1D1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为________．

解析　设O为正方体外接球的球心，则O也是正方体的中心，O到平面AB1D1的距离是体对角线长的，即为.又球的半径是正方体对角线长的一半，即为3，由勾股定理可知，截面圆的半径为＝2，圆锥底面面积为S1＝π·

（2）2＝24π，圆锥的母线即为球的半径3，圆锥的侧面积为S2＝π×2×3＝18π.因此圆锥的全面积为S＝S2＋S1＝18π＋24π＝（18＋24）π.

答案　（18＋24）π

三、解答题

11.一个几何体的三视图如图所示．已知主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．

（1）求该几何体的体积V；

（2）求该几何体的表面积S.

解

（1）由三视图可知，该几何体是一个平行六面体（如图），其底面是边长为1的正方形，高为，

所以V＝1×1×＝.

（2）由三视图可知，该平行六面体中，

A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，

所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，

S＝2×（1×1＋1×＋1×2）＝6＋2.

12．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，如图所示，求CP＋PA1的最小值．

解　PA1在平面A1BC1内，PC在平面BCC1内，将其铺平后转化为平面上的问题解决．铺平平面A1BC1、平面BCC1，如图所示．计算A1B＝AB1＝，BC1＝2，又A1C1＝6，故△A1BC1是∠A1C1B＝90°的直角三角形．

CP＋PA1≥A1C.在△AC1C中，由余弦定理，得

A1C＝＝＝5，

故（CP＋PA1）min＝5.

13．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的主视图和俯视图．

（1）请画出该安全标识墩的左视图；

（2）求该安全标识墩的体积．

解　

（1）左视图同主视图，如图所示：

（2）该安全标识墩的体积为

V＝VPEFGH＋VABCDEFGH

＝×402×60＋402×20

＝64000（cm3）．

14．如图（a），在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC，如图（b）所示．

（1）求证：

BC⊥平面ACD；

（2）求几何体D－ABC的体积．

（1）证明　在图中，可得AC＝BC＝2，

从而AC2＋BC2＝AB2，

故AC⊥BC，

又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC＝AC，BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面ACD.

（2）解　由

（1）可知，BC为三棱锥B－ACD的高，BC＝2，S△ACD＝2，

∴VB－ACD＝S△ACD·BC＝×2×2＝，

由等体积性可知，几何体D－ABC的体积为.

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系

一、选择题

1．下列命题正确的个数为（　　）．

①经过三点确定一个平面；

②梯形可以确定一个平面；

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；

④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．

A．0B．1C．2D．3

解析　①④错误，②③正确．

答案　C

2．若两条直线和一个平面相交成等角，则这两条直线的位置关系是（　　）．

A．平行B．异面

C．相交D．平行、异面或相交

解析　经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选D.

答案　D

3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分为（　　）

A．5部分B．6部分

C．7部分D．8部分

解析垂直于交线的截面如图，把空间分为7部分．

答案C

4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是BD1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论错误的是（　　）．

A．A1、M、O三点共线B．M、O、A1、A四点共面

C．A、O、C、M四点共面D．B、B1、O、M四点共面

解析　因为O是BD1的中点．由正方体的性质知，点O在直线A1C上，O也是A1C的中点，又直线A1C交平面AB1D1于点M，则A1、M、O三点共线，A正确；又直线与直线外一点确定一个平面，所以B、C正确．

答案　D

5．一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（　　）．

A．AB∥CD

B．AB与CD相交

C．AB⊥CD

D．AB与CD所成的角为60°

解析　如图，把展开图中的各正方形按图（a）所示的方式分别作为正方体的前、后、左、右、上、下面还原，得到图（b）所示的直观图，可见选项A、B、C不正确．∴正确选项为D.图（b）中，DE∥AB，∠CDE为AB与CD所成的角，△CDE为等边三角形，∴∠CDE＝60°.

答案　D

6．如图，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（　　）．

A．AC⊥SB

B．AB∥平面SCD

C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

解析　选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD中，所以AC垂直于SD；再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD；而BD与SD相交，所以，AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为O，连接SO，则SA与平面SBD所成的角就是∠ASO，SC与平面SBD所成的角就是∠CSO，易知这两个角相等．选项D错误，AB与SC所成的角等于∠SCD，而DC与SA所成的角是∠SAB，这两个角不相等．

答案　D

二、填空题

7．已知a，b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a，b在α上的射影有可能是：

①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．

在上面结论中，正确结论的编号是________（写出所有正确结论的编号）．

解析　只有当a∥b时，a，b在α上的射影才可能是同一条直线，故③错，其余都有可能．

答案　①②④

8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为________（注：

把你认为正确的结论的序号都填上）．

解析　直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．

答案　③④

9．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为________．

解析如题图所示，

由A′O⊥平面ABCD，

可得平面A′BC⊥平面ABCD，

又由DC⊥BC可得DC⊥平面A′BC，DC⊥A′B，

即得异面直线A′B与CD所成角的大小为90°.

答案90°

10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．

解析　法一　在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，