山东省届高三第二次模拟考试数学试题新高考卷含答案解析.docx

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山东省届高三第二次模拟考试数学试题新高考卷含答案解析

山东省（新高考）2021届高三第二次模拟考试卷

数学（—）2021.3

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：

每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：

用签字笔直接答在答题卡上对应的答題区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I卷

一、单项选择题：

本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合“={0,0,B={xez|a:

2-x-2^0},若JA5={0,l},则CBA=（）

A.{-1,1}B.{1,2}C.{-1,1,2}D.{-1,2}

2.已知复数z=（a-3i）（3+2i）（gR）的实部与虚部的和为7,则"的值为（）

A.1B.0C.2D.-23.某自來水厂一蓄水池可以用甲、乙两个水泵注水，单开甲泵需15小时注满，单开乙泵需18小时

注满，若要求10小时注满水池，并且使两泵同时开敖的时间尽可能地少，则甲、乙两水泵同时开放

的时间最少需（

B.（0,2）

D.（&+8）

A.（yo,2）U（8,+<»）

C.（0,2）U（8,+oo）

6.己知数列｛%｝中，角=1,叱也=1应冲）,则加=（）

an^\*an10

-＞多项选择题：

本题共4小題，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求•全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9・已知正方体ABC-A｝B｝Cfi｝的棱长为4,M为DQ的中点.N为ABCD所在平面上一动点,

则下列命题正确的是（）

71

A.若MN与平面ABCD所成的角为丁，则点N的轨迹为圆

4

B.若MN=4,则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2兀

C.若点7V到直线与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线

D.若9N与所成的角为扌，则点N的轨迹为双曲线

10.将4男、4女共8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组，则下列说法正确的是（）

A.4位女同学分到同一组的概率为厶

35

3

B・男生甲和女生乙分到甲组的概率为打

14

32

C・有且只有3位女同学分到同一组的概率为訂

34

D.4位男同学不同时分到甲组的概率为看

11.总:

大利画家列奥纳多•达•芬奇（1452.4-1519.5）的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达•芬奇提出：

固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？

这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式：

/（x）=acosh-,其中。

为悬链线系数，coshx称为双曲余弦函数，其函数表达式为a

coshx=e-+—>相应地双曲正弦函数的表达式为sinhx=C——・若直线兀=加与双曲余弦函22

数0与双曲正弦函数C2的图象分别相交于点虫，B,曲线。

在点/处的切线人与曲线Q在点3处的切线/2相交于点则下列结论正确的为（）

A・cosh（x-y）=coshxcoshy-sinhxsinhy

B・v=sinhxcoshx是偶函数

C・（coshx）f=sinhx

D.若△MB是以力为直角顶点的直角三角形，则实数m=0

2

12・关于函数/（x）=-+lnx,下列判断正确的是（）

A.x=2是/（X）的极大值点

B.函数y=/（x）-x有且只有1个零点

C.存在正实数上，使得f（x）>kx恒成立

D.对任意两个正实数X],X2,且x2>xlt若/（可）=/（兀），则4-x2>4

第II卷

三.填空题：

本大题共4小题，每小题5分・

13.（x+p—z）6的展开式中卩宁的系数是・

14.如图，在平而四边形ABCD中，=BD=辻,MB丄AC,AC=41AB则CD的

最小值为・

cos—、—1SXS1

15.已知函数/（%）=2,则关于兀的方程/2（x）-3/（x）+2=0的实根的个数

X2-l,IX|>1

是.

16.已知圆G：

（x+3）2+b=l，C2:

（x-3）2+y2=81,动圆C与圆G、C?

都相切，则动圆C

的圆心轨迹E的方程为:

直线/与曲线E仅有三个公共点，依次为P.Q、R，则\PR\

的最大值为

四、解答题：

本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.S

17・（10分〉已知为为等差数列｛色｝的前/?

项和，-^-=9,an=21.

^21

（1）求数列｛陽｝的通项公式:

（2）若4=一一，求数列｛$｝的前〃项和人・

an•%+1

18.（12分）在①川二C+2②5c-4a=15cosJ：

（^）AABC的面积5=3・这三个条件中任选

2

两个，补充在下面问題中，然后解答补充完整的题目.

在ZBC中，内角曲，B,C的对边分别为a,b,c,己知6=3,且,,求c.

注：

如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19.（12分）已知四棱锥E-4BCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AB//DC.AD=DC=2,

AB=49为等边三角形，且平面/DE•丄平面ABCD・

（1）求证:

AE±BD；

（2）是否存在一点尺满足EF=AEB（O

的余弦值为逅.若疗在，求出久的值，否则请说明理由.

13

20.（12分）某医院为筛查某种疾病，需要检验血液是否为阳性，现有"（neNj份血液样本，有以下两种检验方式：

①逐份检验，需要检验n次；②混合检验，将其k（keN*且£»2）份血液样木分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这Q份血液究竟哪几份为阳性，就要对这R份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为斤+1次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（O

（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验的方式，求恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；

（2）现取其中k（kGN*且力12）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为冬.

1记E（f）为随机变量f的数学期望.若E（gJ=E（§2），运用概率统计的知识，求出P关于《的函数关系式p=M，并写出定义域；

丄

2若p=l-e^,且采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求R的最大值.

参考数据:

ln2«0.693bIn3«1.0986,In5«1.6094・

圆C的左、右焦点.

（1）求椭圆C的方程：

（2）过点斤分别作两条互相垂直的宜线也，且A与椭圆交于不同两点九B,【2与宜线x=l交于点

P.若AF}=^F\B9且点。

满足QA=AQB,求△尺0片面积的最小值・

22・（12分）已知函数f（x）=ex-ax2-x.

（1）当4=1时，求曲线，=/（X）在点（1,/

（1））处的切线方程；

（2）若函数F（x）=f（x）+x有两个极值点西，勺，求证：

x^2<（ln（2a））2.

数学答案

第I卷

一、单项选择题：

本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【答案】D

【解析】由不等式疋一x-2=（x-2）（x+l）＜0,解得-1SXS2,所以3={-1,0,1,2},

又由^05={0,1}且/j={0,a},所以a=\,即心0,1},

由补集的概念及运算，可得匚异={一1,2},故选D.

2.【答案】C

【解析】z=（a-3i）（3+2i）=3a+2ai-9i-6i2=：

3a+6+（2n-9）i,

所以复数z的实部与虚部分别为3“+6,加-9,

于是3a+6+2a-9=7,解得a=2,故选C.

3.【答案】C

【解析】根据题意开放水泵的工序流程图有两个方案：

方案I;甲、乙两泵同时开放一＞甲泵开放方案二：

甲、乙两泵同吋开放一＞乙泵开放

如果用方案一注水，可设甲、乙两泵同时开放的时间为X个小时，

（11A1

由题意得方程—+—bv+—（10-x）=l,解得x=6（小时）；

\1815丿15

如果用方案二注水，可设甲、乙两泵同时注水的时间为y个小时，则（£+右）"+占。

0一刃=1‘解得^=v=6|（小时）'

所以选方案一注水，可得甲、乙两水泵同时开放注水的吋I、可最少，需6个小时，故选C.

4.【答案】A

【解析】充分性显然成立，

必要性可以举反例：

X=10,丁=|，显然必要性不成立，故选A・

5.【答案】C

【解析】•・・/（4一力=311+（4-才一4（4一乂）=31日+*2一4兀=/（小，

•••/（x）的图彖关于直线x=2对称，

Vy=3**-21和一4x都在（-00,2）±是减函数，在（2,-H0）上是增函数,

A/V）在（-92）上为减函数，在（2,炖）上为增函数.

又/（log2a）>/（3）,?

.|log2a-2|>|3-2|=1,

即log2a3,解得08,故选C・

6.【答案】C

a,,—aw.|11.

【解析】-~==1,

粘1•绻«.+i皱

所以—=l+（n-l）x1=«,所以陽=丄yann

由,所以w=10,故选C・m10

7・【答案】B

【解折】由题盘可得—=71,求得0）=2,

CD

令2kit-—<2x-—2/ai+—ykeZ,求得后--

2321212

由2比牛加送咖+尹皿求得航+誇“细+慘心,

巴S竺

3_12m5冗—2■

所以实約的取值范围是注討,故选B.

8.【答案】B

【解析】由题意知,|a|2=|6|2=|c|2=b

又a・b=0,

•••（a-c）・（b—c）=q•b—a・c—b・c+|c|"<0,

•：

a^c+b-c>a-b+\c^=1>

A|«+A—c|2=”「+”「+|c|2+2a・b-2（u・c+b・c）51+1+1+0—2x1=I,

••・0+Q-c|Sl,即k+b-c|的最大值为】，故选B.

二、多项选择题：

本题共4小題，每小题5分，共20分.在每小題给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.【答案】ACD

【解析】如图:

对于A,根据正方体的性质可知，MD丄平面ABCD,所以ZMND为与平面ABCD所成的角，

所以AMND=-9所以DN=DM=-DD,=丄x4=2,所以点N的紈迹为以D为圆心，2为半422

径的圆，故A正确；

对于B,在直角三角形MDN中，DN-4MNl-MD2=^42-22=2>/3-取MD的中点E，因为P为MV的中点，所以PE//DN,且PE=：

DN=®,

2

因为DN丄ED,所以PE丄ED,即点P在过点E且与DQ垂直的平面内，

又PE=£，所以点P的轨迹为以巧为半径的圆，其面积为兀•（命兀，故B不正确；

对于C,连接NB,因为BB、丄平面ABCD，所以丄棚，所以点N到立线BBX的距离为NB,所以点N到点B的距离等于点N到定直线CD的距离，

又B不在育•线CD上，所以点“的轨迹为以〃为焦点，QD为准线的抛物线，故C正确；

对于D,以D为原点，DA、DC、DD\分别为x.y.z轴建立空间直角坐标系,则«4,0,0）,B（4,4,0）.D,（0,0,4）,

设N（兀”0）,则乔二（0,4,0）,丽=（x,y,-4）・因为JN与肋所成的角为中，所以|cosv丽万丙＞|=cos中,

所以I」2^2丿斗整理得^-―=b所以点N的轨迹为双曲线，故D正确,4{*+才+1621616

故选ACD.

10.【答案】AB

【解析】X位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组的不同分法为C；・C：

=70,

21

A选项，4位女同学分到同一组的不同分法只有2种，其概率为—,对：

7035

1c2

B选项，男生甲和女生乙分到甲组的不同分法为C：

・C：

=15,其概率为—=—x对；

C选项，有且只有3位女同学分到同一组C：

・C：

・2=32种，

3?

16

则有口只有3位女同学分到同一组的概率为—,错；

7035

D选项，4位男同学同时分到甲组只有1种，其概率为士，

70

则4位男同学不同时分到甲组的概率为=错，

7070

故选AB.

11.

【答案】ACD

ex~y+

=cosh（x-y）,A正确;

-2,2x

则A（-x）==-h（x）,力（x）为奇函数，即=sinhxcoshx是奇函数，B错谋;

4

即（coshx）r=sinhx>C正确:

对于TX因为加丄x轴，因此若△刃〃是以力为直角顶点的直角三角形,则^=0,由伶彳=——=0,解彳3加=0,D正确，

2

故选ACD.

12.【答案】BD

【解析】A：

函数/（x）的定义域为（0厂¥）,7（x）=-—+-=^-,

x兀入

当xe（O,2）时，f^（x）<0,/（X）单调递减；当灼（2,十》）时，”（x）>0,/（对单调递增,所以x=2^f（x）的极小值点，故A错误；

B：

y=f（x）-x=—+lnx-x,/=+丄_1=：

-?

—弓上2<0,

XXXX

所以函数在（0,+¥）上单调递减，

又/（l）-l=2+lnl-l=l>0,/

（2）-2=l+ln2-2=ln2-l<0,

所以函数y=f（x）-x有且只有1个零点，故B正确；

C：

若f（x）>kx,即-+\nx>kx,则k<•厶七—・

XXX

A/\2Inx如、-4+x-xinx

令g（x）=m+=，则g'（x）=———.

令力（x）=-4+x-xlnx,则//（x）=-lnx,

当炸（0,1）时，Az（x）>0,/z（x）单调递增：

当xw（l,+oo）时，F（x）<0,%（x）单调递减，所以A（x）

所以g（x）=4+—在（。

+¥）上单调递减，函数无最小值，

入X

所以不存在正实数使得f（x）>kx恒成立，故C错：

D：

因为/（x）在（0,2）上单调递减，在（2,+¥）上单调递増，A^=2是/（x）的极小值点.

T对任意两个正实数旺，x2t且x2>X,,若/（xt）=/（x2）,则0<州<2<可.

学（/>1），则X2,

由/（Xj）=/（x2）,得一+InXi=—+lnx2,=\nx2-lnxX9

X]X?

X]x2

即fe5）=lni,即迩二凹=血，解得沪2凹，兀皿严辿二2

XKKxctx}Zin/'rlnz

2t2-2

所以x}+x2=-一-

tint

故要证Xj+x2>4,需证x1+x2-4>0,

卡、〒2/2—22/2—2—4/In/

需证一;4>0,需证>0.

tinttint

则rin/>0,・•・证2尸_2_4flnf>0.

令//（/）=2z2-2-4rlnr（r>l）,H（）=4一41nf-4（f>1）,

丹（（）=4一弓=芈也>0（/>1）,所以H\t）在（1,+爭）上是增函数.

因为/T1时，丹⑴一>0,则H'（r）>0,所以H（r）在（1,+¥）上是增函数.

因为（一>1时，H（"t0,则H（/）>0,所以"[-2-4血>o,

tint

:

.x{+x2>4,故D正确，

故选BD.

第II卷

三、填空题：

本大题共4小题，每小题5分.

13.【答案】-60

【解析】•.•（；c+y-z）0=[x+（p_Z）y,

所以，（x+y—z）"的展开通项为4^=C：

・x4'・（y—z）',

（y-z）r的展开式逋项为爆叭=C；•y*•（-z）*=C：

•（-1/••z片，

所以，（x+y-z『的展开式通项可以为Tr^=C：

C：

•x6■‘•yr^k•（-1）*z*,

其中05力5厂56且无、reN,

6-r=1r

r=5令\r-k=2、解得《上,

k=3k一

因此，（x+y-z）6的展开式中初夕的系数是c：

C；・（-l）'»60,故答案为一60.

14.【答案】

3

【解析】设ZADB=0,

2衙在△力中，由正弦定理得理=—BD即半=—，

sin6^smZBADsin0smZBAD

*7

整理得AB・sinZBAD=—sin^-

3

由余弦定理得AB2=AD2•卜BDJ2ADBDcos<9=

因为肋丄肚，所以z闻号sc.

在△/CD中，

25

T

由余弦定理得CD1=AD2+AC2一2AD・AC-cosZDAC=1+2AB2一2近AB・sinZBAD

8sin（0+%）（其中iox\（p=y[2）>

所以当sin（9"）=l时，CD血=邑故答案为d.

nun33

15.【答案】5

【解析】由/2（x）-3/（x）+2=0,知/«=2或/（x）=I,

•:

由函数/（兀）解析式，知：

当/（x）=2时，有宀1=2,解得*±屈满足|x|>l；

当加"时，若cos亍1且-1X1,有“0；

若/一1=1，解得X=满足1划>1・

•••综上知：

方程一共有5个根，故答案为5・

16.【答案】—+^-=1或兰+艺=1，学

25161672

【解析】已知圆CI:

（x+3）2+y2=l,C2:

（x-3）2+/=81，则圆G内含于圆C?

圆G的圆心为Cj-3,0）,半径为^=1；

圆G的圆心为C2（3,0）,半径为石=9.

设动圆C的半径为尸，分以下两种情况讨论：

①圆c与圆G外切.与圆q内切，

②圆C与圆G、C?

都内切，且rx

此时，圆C的圆心轨迹E是以C：

分别为左.右焦点，长粧长为2勺=8的椭圆,

•••幺2=4,c2=3,02=5/公-C；=77,此时，轨迹E的方程为召+与=1，

综上所述，轨迹E的方程为-+^-=1或兰+疋=1.

2516167

Y2v2

由于貢线/与曲线E仅有三个公共点，则官线/与椭圆—+^-=1相切.

167

①若直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x二±4,

②当直线/的解率存在时，设宜线2的方程为y=kx+m.

4=322^W-4xl6（w2-7）x（16A:

2+7）=7x82（16/l2+7-m2）=0,

可得宀16/+7,

I

y=kx+m

25+l6

消去7并整理得（25疋+16）扌+50如tt+25（〃r一16）=0,

4=50叹％2-4x25（冲2-16）（25/+16）=1600（25/+16-tm2）=14400（/+1）〉0,

50km25（沪_16）

25八+16’小产25/+16

\PR\-Jl+k2|X[_兀2卜J1+*2J（斗+兀2）2—4兀02

120120

25/+16一—厂

4*25（〃/一16）_120（1+/）

25/+16~_25/+16

故答案为—+^-=1或兰+艺=1,芋.

25161672

4.解答题本大题共6个大題，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【答案】

（1）曾=2“-1；

（2）7；=-^-・

2n+l

【解析】

（1）等差数列｛%｝的前"项和S”

63（坷+%）

得鱼_2=坯2=9,

^2121（4]+切）

2

因为«u=21,所以“32=63,

等差数列｛。

”｝的公差d=紀辛二笃尹=2,

所以，口开=如+（川一1l）d=21+2（〃一11）=2川-1.

18.【答案】答案见解析.

【解析】解：

方案一：

选条件①②.

因为5c-4a=15cosJ,b=3,所以5c-4a=5bcosA>

由正弦定理得5sinC-4sin/l=5sinBcos&・

因为Cw（o,7t）,所以sine二半,

在/^ABC中，由正弦定理得c=如匹

sin3

方案二：

选条件①③.

因为S=2obsinC=3,b=3,所以asinC=2,

2

因为A=C+-sA+B+C=n,所以2?

=--2C.

22

0<=C+—

因为<2,所以0

2

v0

所以sin2C>0,所以cos200.

又sin22C+cos22C=lr所以cos2C=|,

所以sin"匕产斗所以si心孕

在AJBC中，由正弦定理得“瞬=笄°警=石.smBsin化-2“COs2C|

12J5

方案三；选条件②©.

因为5c-4a=15cosA>b=3、所以5c-4a=5bcosA・

由正弦定理得5sinC-4sin/=5sinBcosA9因为sinC=sin（J+5）=sinAcosB+cosAsinB,所以5cos^sinA=4sinA•

413

因为sin>Or所以cos8=—,sin5=Vl-cos2B=—

55

因为gocsing,所以心】0.（i〉在AABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB所以a2+c2=25.（ii>

由（i）（ii）解得c=y/5或c=2躬.

19.【答案】

（1）证明见解析；

（2）存在7=]使得平面ADF与平面BCE所成的锐二面角的余弦

2

值为逅.

13

【解析】〈1〉取的中点G,连接D