代数学简介-章璞.ppt

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代数学,章璞上海交通大学2007-12-26,主要内容,一点历史粗略分类问题案例前景展望,徐光启（15621633），上海徐家汇人农学、天文、数学家将“Geometry”译成“几何”与利玛窦合译几何原本前6卷李善兰（18111882），浙江海宁人数学、天文、植物学家将“Algebra”译成“代数”译代数学13卷；与伟烈亚力合译几何原本后9卷,“代数学”的来历,古典代数学：

中心问题,Algebra（代数学）的原始含意：

用字母代替数进行运算古典代数学（至19世纪上半叶）中心问题：

求代数方程的根,古典代数学：

代表性成就,古代巴比伦人:

2次方程求根公式13世纪秦九绍:

高次方程的近似解16纪意大利:

3和4次方程求根公式18世纪初:

复数系的建立18世纪未：

CarlFriedrichGauss（1777-1855）证明了代数基本定理,不可逾越的困难,4次方程解出之后200余年，许多数学家相信更高次方程的求根公式仍存在，并寻找这样的公式Lagrange首次意识到不存在此公式NielsH.Abel（1802-1829）证明了5次方程无求根公式。

但未及说明哪些方程根式可解,EvaristeGalois（1811-1832）17岁发现：

代数方程的根式可解性是由这个方程的Galois群的可解性决定的.因此，5次及以上代数方程不存在求根公式。

而古典代数学的其它难题（如尺规作图和倍方问题），此后也均可用Galois理论得到完全解决。

从而古典代数学终结,古典代数学的终结,Galois的境遇,1829:

Galois论文由Cauchy审理，被遗失1830:

由Fourier审理，不久Fourier逝世1831:

再由Poisson审:

“完全不能理解”,要其详细说明1832-5-30夜Galois留下1份说明第2天便与情敌决斗而死1846:

Liouville决定发表Galois的文章1870:

Jordan全面清晰地阐明Galois工作从此Galois的工作得到完全承认,HermannWeyl的评价,“Galois的论述在好几十年中一直被看成是“天书”；但是，它后来对数学的整个发展产生愈来愈深远的影响。

如果从它所包含思想之新奇和意义之深远来判断，也许是整个人类知识宝库中价值最为重大的一件珍品”,对称和美,代数学新纪元,1843:

Hamilton发现四元数代数1846:

Cayley引进抽象群和矩阵1871:

Dedekind引进理想1872:

Klein发表群的几何学纲领1873:

Lie创立Lie群1894:

Cartan分类复半单Lie代数1896:

Frobenius创立有限群表示论1904:

Schur建立无限群表示,代数学新纪元,1905:

Wedderburn确定半单代数1911:

Steinitz奠基域论1921:

Noether奠基环论1931:

VanderWaerden出版近世代数1942:

Lefschetz出版代数拓扑1946:

Weil出版代数几何学基础1956:

Cartan-Eilenberg出版同调代数至此，近世代数的最主要的分支出现,06?

Order,lattices,orderedalgebraicstructures08?

Generalalgebraicsystems12?

Fieldtheoryandpolynomials13?

Commutativeringsandalgebras14?

Algebraicgeometry15?

Linearandmultilinearalgebra;matrixtheory16?

Associativeringsandalgebras17?

Nonassociativeringsandalgebras18?

Categorytheory;homologicalalgebra19?

K-theory20?

Grouptheoryandgeneralizations22?

Topologicalgroups,Liegroups43?

Abstractharmonicanalysis55?

Algebraictopology81?

Quantumtheory15/95,AMS分类中的代数学分支,交换代数结合代数Lie代数范畴论与同调代数K-理论群论量子化代数,AMS分类中的代数学分支,ArXiv分类中的代数学分支,AlgebraicGeometry（math.AG）AlgebraicTopology（math.AT）CategoryTheory（math.CT）CommutativeAlgebra（math.AC）GroupTheory（math.GR）K-TheoryandHomology（math.KT）MathematicalPhysics（math.MP）OperatorAlgebras（math.OA）QuantumAlgebra（math.QA）RepresentationTheory（math.RT）RingsandAlgebras（math.RA）11/32,ArXiv分类中的代数学分支,范畴论（math.CT）交换代数（math.AC）群论（math.GR）K-理论和同伦（math.KT）量子化代数（math.QA）表示论（math.RT）环与代数（math.RA）,代数学的粗略分类,交换代数代数表示论Kac-Moody代数同调代数与K-理论群论与群表示论量子群与代数群代数编码环论与Hopf代数,代数学研究各种代数结构及其表示和上同调；它们的组合、计算等方面的性质；及其应用；它们之间的相互联系；以及和其它学科之间的联系,代数学的研究对象,代数结构：

带有若干二元运算、且满足特定条件的集合和谐：

若有多种运算，则必有使这些运算“和谐”的公理基本的代数结构：

群、环、域、（结合）代数、Lie代数其它重要结构多为这5种的强、弱、组合或变形。

如：

Lie（代数、量子）群、格、交换（Hopf、Kac-Moody、Poisson、Clifford、顶点算子、微分分次、Koszul、Calabi-Yau）代数，等等,注记与观察,结构的表示：

容许结构作用的一个向量空间，这样的作用与该结构的运算是“和谐”的表示论：

最初是想通过结构在不同表示上的作用效果达到理解结构目的。

现在，表示论成为代数学最活跃分支之一范畴论：

将要研究的同类对象放在一起，看重对象之间的相互联系和整体的性质、以及这个整体与别的整体的联系上同调：

如果所要研究的一串对象可由特殊的态射联系起来成为复形，则比较相邻态射的像和核便得到上同调,作用、联系、比较、显示差别,构造；分类简单与复杂、特殊与一般:

比较、联系部分对整体的影响，或相互确定计算各种上同调，并说明其意义结构、表示、上同调之间的联系不同结构之间、代数与其它学科之间联系与转换等等,代数学关心的基本问题,Hopf代数皆有代数和余代数的结构，它的余乘映射和余单位映射均是代数同态、并且还存在一个所谓的反极映射。

1980sDrinfeld发现量子群的基本结构是Hopf,而且产生Yang-Baxter方程的解。

从而引起极大关注,案例,群代数与Lie代数的包络代数恰好是余交换的Hopf代数量子群和量子广义Kac-Moody代数均是Hopf代数,且均有三角分解有限维Hopf代数是Frobenius代数有限维Hopf代数H的子Hopf代数的维数整除H的维数阶少于3个素因子的群、和奇数阶群，均为可解群特征0域上有限群G的不可约表示的维数整除G的维数Kaplanski猜想：

特征0代数闭域上半单Hopf代数H的不可约表示的维数整除H的维数,若干相关的定理,代数表示与量子群,1970sAuslander解决Brauer猜想并奠定代数表示论。

此后这一分支得到很大发展。

1990sRingel重新发现Hall代数；并和Green用有限域上遗传代数的Hall代数的子代数合成代数成功实现量子群；接着VandenBergh用Hall代数本身实现量子广义Kac-Moody代数。

从而架起代数表示与量子化代数的桥梁,代数结构与表示的图的组合方法,使用图是抽象的代数具体化的重要手段。

复半单Lie代数分类由Dynkin图表达。

Gabriel和Ringel更是用图来表达代数的结构和代数的表示。

有限型遗传代数的分类也同样完全由Dynkin图表达。

图的组合方法极大地推进和丰富了代数学的研究成果,同调代数,YM代数,数学物理,量子群,非交换几何,CY代数,三角范畴,Lie代数,Hopf代数,Koszul,包络代数,Poisson,Hall代数,上同调,刚性,代数表示,图论,群表示,三角范畴,图,代数CYYMHopfPoisson,稳定范畴,导出范畴,三角范畴,Serre对偶,CY范畴,商范畴,Hall运算,Calabi-Yau范畴与周期性,顶点算子代数是共形场论和统计力学中重要的代数结构，是Borcherds等研究魔群和Moonshine模时开创的代数学是基础的学科然而它有重要的应用最典型的例子它是编码和密码学的基础,顶点算子代数,代数学的应用,代数和组合共进连续与离散齐飞确定和随机同妙基础与应用并重物理和事理相融人类与自然和谐,谢谢各位！

并祝新年快乐！