初中数学教学案例人教版八年级数学下册一次函数与二元一次方程组樟树三中杜志林.docx

初中数学教学案例人教版八年级数学下册一次函数与二元一次方程组樟树三中杜志林.docx

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初中数学教学案例人教版八年级数学下册一次函数与二元一次方程组樟树三中杜志林

初中数学教学案例

一次函数与二元一次方程（组）

人教版八年级数学下册

樟树三中杜志林

一、教材分析

1．教材的地位和作用

函数、方程和不等式都是人们刻画现实世界的重要数学模型。

用函数的观点看方程（组）与不等式，使学生不仅能加深对方程（组）、不等式的理解，提高认识问题的水平，而且能从函数的角度将三者统一起来，感受数学的统一美。

本节课是学生学习完一次函数、一元一次方程及一元一次不等式的联系后对一次函数和二元一次方程（组）关系的探究，学生在探索过程中体验数形结合的思想方法和数学模型的应用价值，这对今后的学习有着十分重要的意义。

2．教学重难点

重点：

一次函数与二元一次方程（组）关系的探索。

难点：

综合运用方程（组）、不等式和函数的知识解决实际问题。

3．教学目标

知识与技能——理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二元一次方程组。

过程与方法——经历一次函数与二元一次方程（组）关系的探索及相关实际问题的解决过程，学会用函数的观点去认识问题，并且能综合应用一次函数、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程（组）解决相关实际问题。

情感态度与价值观——在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，体验数学的价值，建立自信心。

二、教法说明

对于认知主体——学生来说，他们已经具备了初步探究问题的能力，但是对知识的主动迁移能力较弱，为使学生更好地构建新的认知结构，促进学生的发展，我将在教学中采用探究式教学法。

以学生为中心，使其在“生动活泼、民主开放、主动探索”的氛围中愉快地学习。

三、教学过程

（一）感知身边数学

多媒体播放一段发生在学校里的情景：

体育老师需要购买3副羽毛球拍和若干筒羽毛球，刚好学校附近有两个文体超市在打折促销，已知两个超市的每副羽毛球拍定价都是150元，每筒羽毛球定价都是36元，甲超市的优惠方案是：

全场商品都打八折；乙超市的优惠方案是：

买一副羽毛球拍送一筒羽毛球。

问：

1.如果选甲超市和选乙超市购买所花的钱是一样多，则体育老师购买了多少筒羽毛球？

2.体育老师应该如何选择去哪家超市购买呢？

聪明的你有什么建议？

学生已经学习过列方程（组）解应用题,因此可能列出一元一次方程或二元一次方程组，用方程模型解决问题。

结合前面对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系的探究，我自然地提出问题：

“一次函数与二元一次方程组之间是否也有联系呢？

”，从而揭示课题。

[设计意图]建构主义认为，在实际情境中学习可以激发学生的学习兴趣。

因此，用“购买体育用品”这一生活实际创设情境，并用问题启发学生去思、鼓励学生去探、激励学生去说，努力给学生造成“心求通而未能得，口欲言而不能说”的情势，从而唤起学生强烈的求知欲，使他们以跃跃欲试的心态投入到探索活动中来。

（二）享受探究乐趣

1．探究一次函数与二元一次方程的关系。

例：

二元一次方程3x-2y=6可以转化为一次函数________。

思考：

（1）画出函数图像，直线上任意一点的坐标一定是方程的解吗？

（2）是否任意的二元一次方程都可以转化为这种一次函数的形式？

（3）是否直线上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程的解？

[设计意图]用一连串的问题引导学生发现一次函数与二元一次方程在数与形两个方面的关系，为探索二元一次方程组的解与直线交点坐标的关系作好铺垫。

2．探究一次函数与二元一次方程组的关系

例：

用图像法解二元一次方程组

（1）在同一直角坐标系中画出二元一次方程组的两个一次函数的图象，观察两直线的交点坐标是不是方程组的解？

并探索：

是否任意两个一次函数的交点坐标都是它们所对应的二元一次方程组的解？

此时教师留给学生充分探索交流的时间与空间，对学生可能出现的疑问给予帮助，师生共同归纳出：

从“形”的角度看：

解方程组相当于确定方程组中两条直线交点的坐标，故我们可以用图象法解方程组，画出两函数图象。

解：

方程组可转化为

函数图像如下：

几何画板显示：

两直线的交点坐标为（1，1），所以原方程组的解为

（2）当自变量取何值时，这两个一次两个函数的值相等？

这个函数值是什么？

这一问题与解方程组是同一问题吗？

进一步归纳出：

从“数”的角度看：

解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时两个一次函数的值相等，以及这个函数值是何值。

[设计意图]学生经过自主探索、合作交流，从数和形两个角度认识一次函数与二元一次方程组的关系，真正掌握本节课的重点知识，从而在头脑中再现知识的形成过程，避免单纯地记忆，使学习过程成为一种再创造的过程。

此时教师及时对学生进行鼓励，充分肯定学生的探究成果，关注学生的情感体验。

（三）乘坐智慧快车

例题：

我市一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：

方式Ａ是以每分钟０.１元的价格按上网时间计费；方式Ｂ是除收月基费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费。

如何选择收费方式能使上网者更合算？

解法１：

设上网时间为x分钟，若按方式A则收y=0.1x元；若按方式B则收y=0.05x+20元．

用几何画板在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象如下：

几何画板显示，两函数图象交于点（400，40），利用直线上点位置的高低直观地比较函数值的大小，得到当一个月内上网时间少于400分钟时，选择方式A省钱；当上网时间等于400分钟时，选择方式A、B没有区别；当上网时间多于400分钟时，选择方式B省钱。

解法2：

设上网时间为y分钟，方式A与方式B两种计费的差额为_________元，得到一次函数：

_________，然后画出函数的图象，计算出直线与x轴的交点坐标，类似地用点位置的高低直观地找到答案：

在交点右边，表示A＞B，即方式A比方式B更贵，反之，在交点左边，表示A＜B，即方式A比方式B更便宜。

注意：

所画的函数图象都是直线。

[设计意图]为培养学生的发散思维和规范解题的习惯，引导学生将上网问题延伸为例题，并用问题：

“你家选择的上网收费方式好吗？

”再次激起学生强烈的求知欲望和主人翁的学习姿态。

通过此问题的探究，使学生有效地理解本节课的难点，体会数形结合这一思想方法的应用。

（四）体验成功喜悦

1．抢答题

（1）函数y=x-1的图象与函数y=-2x+5的图象的交点坐标是（，）

（2）某单位准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，个体车主收费y1元，国营出租车公司收费为y2元，

观察下列图象可知（如图），

当x________时，选用个

体车较合算．

2.自主解决引入环节提出的问题：

体育老师应该如何选择去哪家超市购买呢？

聪明的你有什么建议？

3．旅游问题

今年，大型历史剧《万历首辅张居正》在荆州封镜后，来荆州的游客更是络绎不绝。

据悉，张居正纪念馆门票标价20元/张，近期正在进行优惠活动，团队（人数＞5人）购买时有两种方式：

方式A是团队中每位游客按门票标价8折购买；方式B是团队中除5张按门票标价购买外，其余按门票标价7折购买。

如果你是团队的负责人，你会如何选择购买方式使整个团队更合算？

[设计意图]抓住学生对竞争充满兴趣的心理特征，用抢答题使学生的眼、耳、脑、口得到充分的调动，并在抢答中品味成功的快乐，提高思维的速度。

在解决学生生活实际问题中，进一步培养学生应用数学的意识，更好地促进学生对本节课难点的理解和应用，帮助学生不断完善新的认知结构。

（五）分享你我收获

在课堂临近尾声时，向学生提出：

通过今天的学习，你有什么收获？

你印象最深的是什么？

[设计意图]培养学生归纳和语言表达能力，鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价。

（六）开拓崭新天地

1．数学日记

姓名：

日期：

今天数学课的课题：

所学的重要数学知识：

理解得最好的地方：

疑惑（或还需进一步理解的地方）：

对课堂表现的评价（包括对自己、同学、老师）：

所学内容在日常生活中的应用举例：

2．布置作业

必做题：

（1）学校的试卷复印业务，原来由甲复印社承接，按每100页40元计费，现乙复印社表示：

若学校先按月付给一定数额的承印费，则可按每100页15元收费，两复印社每月收费情况如图所示，根据图象回答下列问题：

①乙复印社的每月承印费是多少？

②当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同？

③学校应该选择哪个复印社？

（2）某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价为20元，茶杯每只定价5元，该店制定了两种优惠方案①买一只茶壶送一只茶杯；②按总价的92%付款。

某顾客需购茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只），设购买茶杯数为x只，付款数为y元，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客应该如何选择优惠方案。

选做题：

小明家附近有两个商场在打折促销，假设两个商场的所有商品定价都是一样的，甲商场的打折方案是超过100元的部分打九折，乙商场的打折方案是超过200元的部分打七折。

问：

小明应该如何选择去哪家商场购买呢？

（考察分类讨论，各种情况分类要考虑全面）

[设计意图]新课程强调发展学生数学交流的能力，用数学日记给学生提供一种表达数学思想方法和情感的方式，以体现评价体系的多元化，并使学生尝试用数学的眼睛观察事物，体验数学的价值。

作业由必做题和选做题组成，体现分层教学，让“不同的人在数学上得到不同的发展”。

四、教学设计反思

数学课要注重引导学生探索与获取知识的过程而不单注重学生对知识内容的认识，因为“过程”不仅能引导学生更好地理解知识，还能够引导学生在活动中思考，更好地感受知识的价值，增强应用数学知识解决问题的意识；感受生活与数学的联系，获得“情感、态度、价值观”方面的体验。

这节课贯穿的是以学生为主体的原则，突出了数形结合的思想，体现了数学建模的价值，渗透了应用数学的意识。

具体来讲，这节课的教学实现了三个方面的转变：

（一）教的转变：

本节课教师的角色从知识的传授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者。

教师成为了学生的导师、伙伴、甚至成为了学生的学生，在课堂上除了导引学生活动外，还要认真聆听学生“教”你他们活动的过程和通过活动所得的知识或方法。

（二）学的转变：

学生的角色从学会转变为会学，跟老师学转变为自主去学。

本节课学生不是停留在学会课本知识的层面上，而是站在研究者的角度深入其境，不是简单地“学”数学，而是深入地“用”数学。

（三）课堂氛围的转变：

整节课以“流畅、开放、合作、引导”为基本特征，教师对学生的思维活动减少干预，教学过程呈现一种比较流畅的特征，整节课学生与学生、学生与教师之间以“对话”、“讨论”为出发点，以互助、合作为手段，以解决问题为目的，让学生在一个较为宽松的环境中自主选择获得成功的方向，体会发现的价值。

总之，在数学教学的花园里，教师只要为学生创设好和谐的场景和明晰的路标，然后就让他们自由地快活地去展示吧。