数学分析选论习题解华东师大.docx
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数学分析选论习题解华东师大
《数学分析选论》习题解答
第一章 实 数 理 论
１．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明．
证 设数集
有下确界，且
，试证：
（1）存在数列
；
（2）存在严格递减数列
．
证明如下：
（1）据假设，
；且
．现依
次取
相应地
使得
．
因
，由迫敛性易知
.
（2）为使上面得到的
是严格递减的，只要从
起，改取
，
就能保证
． □
２．证明§1.3例６的（ⅱ）．
证 设
为非空有界数集，
，试证：
．
现证明如下．
由假设，
显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何
，由此推知
，从而又有
．
另一方面，对任何
有
，于是有
；
同理又有
．由此推得
．
综上，证得结论
成立． □
３．设
为有界数集，且
．证明：
（１）
；
（２）
．
并举出等号不成立的例子．
证 这里只证（２），类似地可证（１）．
设
．则应满足：
．
于是，
，必有
，
这说明
是
的一个下界．由于
亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论
成立．
上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：
设
，
这时
，故得
． □
４．设
为非空有界数集．定义数集
，
证明：
（１）
；
（２）
．
证 这里只证（２），类似地可证（１）．
由假设，
都存在，现欲证
．依据下确界定义，分两步证明如下：
1）因为
所以
，必有
．
这说明
的一个下界．
２）
，使得
．
从而
，故
的最大下界．于是结论
得证．□
５．设
为非空有界数集，且它们所含元素皆非负．定义数集
，
证明：
（１）
；
（２）
．
证 这里只证（１），类似地可证（２）．
因此
是
的一个上界．
另一方面，
，满足
，
故
，使得
．
由条件，不妨设
，故当
足够小时，
仍为一任意小正数．这就证得
是
的最小上界，即
得证． □
６．证明：
一个有序域如果具有完备性，则必定具有阿基米德性．
证 用反证法．倘若有某个完备有序域
不具有阿基米德性，则必存在两个正元素
，使序列
中没有一项大于
．于是，
有上界（
就是一个），从而由完备性假设，存在上确界
．由上确界定义，对一切正整数
，有
；同时存在某个正整数
，使
．由此得出
，
这导致与
相矛盾．所以，具有完备性的有序域必定具有阿基米德性． □
７．试用确界原理证明区间套定理．
证 设
为一区间套，即满足：
．
由于
有上界
，
有下界
（
），因此根据确界原理，存在
．
倘若
，则有
，
而这与
相矛盾，故
．又因
，
所以
是一切
的公共点．
对于其他任一公共点
，由于
，
因此只能是
，这就证得区间套
存在惟一公共点． □
８．试用区间套定理证明确界原理．
，其中
为
的上界．记
，
若
是
的上界，则令
；否则，若
不是
的上界，则令
．一般地，若记
，则令
．
如此得到的
显然为一区间套，接下来证明这个区间套的惟一公共点
即为
的上确界．
由于上述区间套的特征是：
对任何
，
恒为Ｓ的上界，而
则不为
的上界，故
，有
，再由
，便得
，这说明
是
的一个上界；又因
，故
，由于
不是
的上界，因此
更加不是
的上界．根据上确界的定义，证得
．
同理可证，若
为非空有下界的数集，则
必有下确界． □
９．试用区间套定理证明单调有界定理．
证 设
为递增且有上界
的数列，欲证
收敛．为此构造区间套如下：
令
；类似于上题那样，采用逐次二等分法构造区间套
，使
不是
的上界，
恒为
的上界．由区间套定理，
，且使
．下面进一步证明
．
一方面，由
的极限，得到
．
另一方面，
；由于
不是
的上界，故
；又因
递增，故当
时，满足
．于是有
，
这就证得
．
同理可证
为递减而有下界的情形． □
．试用区间套定理证明聚点定理．
证 设
为实轴上的一个有界无限点集，欲证
必定存在聚点．
因
有界，故
，使得
，
．现设
，则
．然后用逐次二等分法构造一区间套
，使得每次所选择的
都包含了
中的无限多个点．由区间套定理，
，
．最后应用区间套定理的推论，
当
充分大时，使得
；由于
中包含了
的无限多个点，因此
中也包含了
的无限多个点，根据聚点定义，上述
即为点集
的一个聚点． □
．试用有限覆盖定理证明区间套定理．
证 设
为一区间套，欲证存在惟一的点
．
下面用反证法来构造
的一个无限覆盖．倘若
不存在公共点
，则
中任一点都不是区间套的公共点．于是，
，
．即
与某个
不相交（注：
这里用到了
为一闭区间）．当
取遍
时，这无限多个邻域构成
的一个无限开覆盖：
．
依据有限覆盖定理，存在
的一个有限覆盖：
，
其中每个邻域
．若令
，
则
，从而
． （Ж）
但是
覆盖了
，也就覆盖了
，这与关系式（Ж）相矛盾．所以必定存在
．（有关
惟一性的证明，与一般方法相同．） □
１２．设
为非空有界数集．证明：
．
证 设
（若
，则
为单元素集，结论显然成立）．记
，欲证
．
首先，
，有
，
这说明
是
的一个上界．
又因
不再是
的上
界，故
，使
所以
是
的最小上界，于是所证结论成立． □
１３．证明：
若数集
存在聚点
，则必能找出一个各项互异的数列
，使
．
证依据聚点定义，对
．一般地，对于
，
．
如此得到的数列
必定满足：
；
． □
．设
为实轴上的一个无限点集．试证：
若
的任一无限子集必有属于
的聚点，则
（１）
为有界集；
（２）
的所有聚点都属于
．
证（１）倘若
无上界，则对
；一般地，对于
．这就得到一个各项互异的点列
．
的这个无限子集没有聚点，与题设条件相矛盾，所以
必有上界．同理可证
必有下界，故
为有界集．
（２）因
为有界无限点集，故必有聚点．倘若
的某一聚点
，则由聚点的性质，必定存在各项互异的数列
．据题设条件，
的惟一聚点
应属于
，故又导致矛盾．所以
的所有聚点都属于
． □
．证明：
，则必有
．举例说明，当上述
属于
时，结论不一定成立．
证 利用§1.3例4，
，使
，这说明
是
的一个聚点．又因
又是
的上界，故
不可能再有比
更大的聚点．所以
是
的上极限．
当
时，结论不一定成立．例如，
显然不是
的上极限． □
．指出下列数列的上、下极限：
（１）
； （２）
；
（３）
； （４）
；
（５）
．
解（１）
．
（２）
，故
．
（３）
，故
．
（４）
故
．
（５）
，故
． □
．设
为有界数列，证明：
（１）
； （２）
．
证 由
，
令
取极限，即得结论（１）与（２）． □
．设
，证明：
（１）
； （２）
；
（３）若
，或
，则
必定收敛．
证 由
，
令
取极限，即得结论（１）与（２）．
若
，则由（１）立即得到
，因此极限
存在，即得结论（３）．
类似地，若
，则由（２）同样可证得（３）． □
第二章 连 续 性
1．设
，证明：
．
证 由向量模的定义，
． □
． 设
到集合
的距离定义为
．
证明：
（１）若
是闭集，
，则
；
（２）若
（称为
的闭包），则
．
证 （１）倘若
，则由
的定义，
，使得
．
因
，故
，于是
必为
的聚点；又因
是闭集，故
，这就导致矛盾．所以证得
．
（２）
．若
，则
显然成立．若
，则
（即
为
的聚点），由聚点定义，
，因此同样有
．
反之，凡是满足
的点
，不可能是
的外点（若为外点，则存在正数
，使
，这导致
，与
相矛盾）．从而
只能是
的聚点或孤立点．若
为聚点，则
；若
为孤立点，则
．所以这样的点
必定属于
．
综上，证得
成立． □
３．证明：
对任何
，
必为闭集．
证 如图所示，设
为
的任一聚点，
欲证
，即
亦为
的聚点．
这是因为由聚点定义，
，使得
．
再由
为
的聚点，
，有
．
于是又有
，所以
为
的聚点，即
，亦即
为闭集． □
４．证明：
对任何
，
必为闭集．
证 如图所示，设
为
的任一聚点，欲证
，即
亦为
的界点．
由聚点定义，
，使
．
再由
为界点的定义，
，
在
内既有
的内点，又有
的外点．由此证得在
内既有
的内点，又有
的外点，所以
为
的界点，即
必为闭集． □
５．设
，
为
的任一内点，
为
的任一外点．证明：
联结
与
的直线段必与
至少有一交点．
证 如图所示，把直线段
置于一实轴上，并
为叙述方便起见，约定此实轴上的点与其坐标用同一字
母表示．下面用区间套方法来证明
．
记
．若
，
则结论成立；若
为
的内点，则取
；若
为
的外点，则取
．一般地，用逐次二等分法构造区间套：
记
（不妨设
），并取
．
此区间套的特征是：
其中每个闭区间的左端点
恒为
的内点，右端点
恒为
的外点．现设
，下面证明
．
由区间套定理的推论，
，当
足够大时，
，因此在
中既含有
的内点（例如
），又含有
的外点（例如
），所以
上的点
必是
的界点． □
６．证明聚点定理的推论２和推论３．
（1）推论２
中的无限点集
为有界集
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