3二次函数应用.docx

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3二次函数应用

二次函数应用

题型一、生活实际

【经典例题】

例1.教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为

，由此可知铅球推出的距离是m。

例2.某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数

（x＞0），若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为。

例3.某兴趣小组做实验，将一个装满水的酒瓶倒置，并设法使瓶里的水从瓶口匀速流出，那么该倒置酒瓶内水面高度h与水流时间t之间关系的函数图象为（　　）

【巩固练习】

1．研究表明，晴天在某段公路上行驶，速度为V（km/h）的汽车的刹车距离S（m）可由公式

确定；雨天行驶时，这一公式为

．如果车行驶的速度是60km/h，那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_________米．

2．苹果从树上落下所经过的路程s与下落时间t满足

（g是不为0的常数）则s与t的函数图象大致是（）

3．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．

（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？

（取

）

（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？

（取

）

4.橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流（在各个方向上）沿形状相同的抛物线路径落下（如图所示）.若已知OP＝3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米.

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，

才能使喷出的水流不至于落在池外？

题型二、拱桥问题

【经典例题】

例1．如图

（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，

水面宽4m．如图

（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　）

A．

B．

C．

D．

例2．如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB=36m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，求DE的长。

例3．如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米．以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，

求:

（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；

（2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？

【巩固练习】

1．某涵洞的截面是抛物线型，如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=－

x2，当涵洞水面宽AB为12m时，水面到桥拱顶点O的距离为_______m．

2.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．

（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；

（2）求支柱

的长度；

（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？

请说明你的理由．

题型三、利润问题

【经典例题】

例1．某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:

销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：

（1）求出y与x之间的函数关系式；

（2）写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？

例2．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：

当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件

（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润

（元）与销售单价

（元）之间的函数关系式；

（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；

（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案

方案A：

该文具的销售单价高于进价且不超过30元；

方案B：

每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元

请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由

【巩固练习】

1.某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润（单位：

万元）分别为L1=-x2+21x和L2=2x，其中x为销售量（单位：

辆）．若该公司在两地共销售15辆，设甲地销售x辆。

请解答下列问题：

（1）该公司在乙地销售________________辆；销售量x的取值范围是____________________

（2）该公司能获得的最大利润L是多少？

此时该公司在甲地销售了多少辆车？

2.某商场购进一批单价为4元的日用品．若按每件5元的价格销售，每月能卖出3万件；若按每件6元的价格销售，每月能卖出2万件，假定每月销售件数y（件）与价格x（元/件）之间满足一次函数关系．

（1）试求y与x之间的函数关系式；

（2）当销售价格定为多少时，才能使每月的利润最大？

每月的最大利润是多少？

3.某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：

销售单价x（元/件）

…

55

60

70

75

…

一周的销售量y（件）

…

450

400

300

250

…

（1）直接写出y与x的函数关系式：

（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？

（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？

4.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，按每千克50元销售，一个月能售出500千克；若销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请回答下列问题：

（1）当销售单价定为每千克65元时，计算月销售量和月销售利润；

（2）销售单价定为每千克x元（x＞50），月销售利润为y元，求y（用含x的代数式表示）

（3）月销售利润能达到10000元吗？

请说明你的理由．

5.外商李经理按市场价格10元/千克在该州收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．

（1）若存放

天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为

元，试写出

与

之间的函数关系式．

（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？

（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）

（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？

最大利润是多少？

6.某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天销售的相关信息如下表所示。

销售量p（件）

P=50—x

销售单价q（元/件）

当1≤x≤20时，q=30+

x；

当21≤x≤40时，q=20+

（1）请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？

（2）求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式。

（3）这40天中该网店第几天获得的利润最大？

最大利润是多少？

7.某公司生产的一种健身产品，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件；

若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为：

若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为：

（1）用x的代数式表示t为：

t=　　；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为：

y2=　　；

当　　＜x＜　　时，y2=100；

（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围

（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？

最大值为多少？

题型四、面积问题

【经典例题】

例1．如图，有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10）围成中间有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边为AB为x米，面积为y.

（1）求y与x的函数关系式

（2）如果要围成面积为63的花圃，AB长是多少？

（3）如能围成面积比63更大的花圃呢？

如能，请求出最大面积：

如不能，请说明理由。

【巩固练习】

1．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．

请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？

最大为多少？

（材质及其厚度等暂忽略不计）．

2.如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.

⑴设矩形的一边为

面积为

（m2），求

关于

的函数关系式，并写出自变量

的取值范围；

⑵当

为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？

3.某住宅小区在住宅建设时留下一块1798平方米的矩形空地，准备建一个矩形的露天游泳池，设计如图所示，游泳池的长是宽的2倍，在游泳池的前侧留一块5米宽的空地，其它三侧各保留2米宽的道路及1米宽的绿化带

（1）请你计算出游泳池的长和宽。

（2）已知贴1平方米瓷砖需费用50元，若游泳池深3米，现要把池底和池壁（共5个面）都贴上瓷砖，共需要费用多少元？

题型五、面积和周长最值（提高）

（1）面积最值

【典型例题】

1、如图①，已知抛物线

（a≠0）与

轴交于点A（1，0）和点B（－3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的对称轴与

轴交于点N，问在对称轴上是否存在点P，使△CNP为等腰三角形？

若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，若点E为第三象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标.

图①图②

【巩固练习】

1．如图，已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=1，试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积。

2．如图，已知抛物线

（b为常数）经过坐标原点O，且与x轴交于另一点E，其顶点M在第一象限。

（1）求该抛物线所对应的函数关系式；

（2）设点A是该抛物线上位于x轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点；过点A作与x轴的平行线交该抛物线于另一点D，再做AB⊥x轴于点B，DC⊥x于点C.

①当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时，求矩形ABCD的周长；

②求矩形ABCD的周长的最大值，并写出此时点A的坐标；

③当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积是否也同时取得最大值？

请判断并说明理由。

3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数

的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.

（1）求这个二次函数的表达式．

（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP

C，那么是否存在点P，使四边形POP

C为菱形？

若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.

（2）周长最值

【典型例题】

1、如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（－2，0）、B（6，0）、C（0，

），

抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点。

（1）求直线AC的解析式；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若抛物线的顶点为D，在直线AC上是否存一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

【巩固练习】

1、如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．

（1）直接写出点E、F的坐标；

（2）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；

（3）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？

如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．