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物理与文化

数学在物理学与其它学科中的作用和地位

摘要：

数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，是在人类长期的实践活动中产生和发展的。

探讨数学与其他科学的关系，对我们的科学研究和学习具有重要的作用。

关键词：

微积分级数复数线性代数

数学发源于计数和度量，随着生产力的发展，越来越多地要求对自然现象作定量研究；同时由于数学自身的发展，使其具有高度的抽象性、严谨的逻辑性和广泛的适用性。

现大致分成基础数学（也称纯粹数学）和应用数学两大类。

前者包括数理逻辑、数论、代数学、几何学、拓扑学、函数论、泛函分析和微分方程等分支；后者包括概率论、数理统计、计算数学、运筹学和组合数学等分支。

既然数学有这么的分支学科，下面仅从微积分、级数、复数、线性代数四个方面来论述数学在其他学科中的作用与地位。

1数学在物理学中的作用与地位

物理学是研究自然界的物质结构、物体间的相互作用和物体运动最一般规律的自然科学。

它与人类社会的发展，现代物质文明的建立有着极其密切的关系。

数学对于物理的影响是很深远的，但是也不能说明数学和物理的关系有很分明的先后关系。

有的数学问题是从物理现象中抽象出来的，而有的数学表述方式也是因为有了物理理论才有了意义。

用微积分来说明，微积分是数学中比较基本的一支，基本上近现代数学的每一个分支都要用到微积分的理论。

而微积分的理论基础是极限，而极限的思想就是牛顿在研究物质运动的时候提出来的。

在这以后的复变函数、积分变换、无穷级数等等，都成为研究物理学的有效描述工具。

对于不同的体系和对象，我们所用到的数学工具是不相同的。

有的是方法上的不同，有的则是知识体系的不同。

例如在量子力学中，曾经就有三种描述的方式。

薛定谔的波动方程，这是一种微分方程；海森堡的矩阵量子力学；狄拉克的高等量子力学，也就是相对论量子力学的描述方程。

这三种表述的方式侧重点是不同的，但是都做到了同样的表述目的。

而在凝聚态物理当中，我们更多的用到泛函分析。

这些数学工具的理论基础有的是相同的，但有的不是。

从这一点我们也可以看到，物理和数学之间的关系是一种相互影响，甚至是相互依存的关系。

客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。

因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

例如十七世纪的时候，有许多科学问题需要解决。

归结起来，大约有四种主要类型的问题：

第一类是研究物体的运动，也就是求速度、位移的问题。

第二类问题是求曲线的切线的问题。

第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。

第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

解决这类问题都要用到微积分的知识，即进行无线划分、累计求和、取极限。

有了牛顿—莱布尼兹公式以后，微积分的计算就变得简单了。

因此，微积分对物理学来说，它是进行推理、论证、求解的有力工具。

同时，数学公式和物理规律之间有种内在的必然联系。

例如，电场线在没有电荷的区域是不相交、不中断的，用数学公式表示就是

。

它表示散度不为零，即静电场是有源场。

，表示电场强度处处垂直与等势面。

线性代数在力学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。

线性代数是代数的一个分支，它以研究向量空间与线性映射为对象。

托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。

不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。

由于它的简便，所以就代数在数学和物理的各种不同分支的应用来说，线性代数具有特殊的地位．此外它特别适用于电子计算机的计算，所以它在数值分析与运筹学中占有重要地位。

我们在求解某些方程、矢量运算、线性变换等问题时，运用线性代数来分析求解会使问题变得清晰、简洁。

尤其是在进行空间分析时，线性代数显得尤为重要。

如：

，表示两向量互相垂直。

总之该学科所体现的是几何观念与代数方法之间的联系，具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。

随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。

因此在计算机图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。

复变函数的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。

而自然科学和生产技术的发展有极大地推动了复变函数的发展，丰富了它的内容。

复变函数对于电磁学方面的贡献是显著的；数学的场论几乎只要有物质运动的地方都可以去利用研究；数理统计在热力学、量子力学方面的贡献很大；其他的还有很多方法，积分变换在电磁学中也是经常用到的，黎曼几何、张量在广义相对论中是主要的工具；泛函分析在凝聚态物理中很有用处；光学因为里面有很多的分支学科，所以它的数学工具是十分广泛的，除了欧几里得几何在几何光学中的应用外，还有像波动光学要用到波动函数，量子光学要用到量子力学中的数学工具。

如：

利用留数可以计算某些定积分（如

），这个积分在研究阻尼振动十分有用。

2数学在计算机科学中的作用与地位

数学是一门工具性很强的科学，它与别的科学比较起来还具有较高的抽象性等特征。

起初是计算机科学工作者离不开数学，而数学工作者认为计算机对他们可有可无，但是现在是互相都离不开对方了，计算机也提高了数学工作者在人们心目中的地位，大部分的数学工作者开始认识到计算机的重要性，并越来越多地进入到计算机领域发挥作用。

但是随着人工智能、GPS（全球定位系统）等飞速的发展和计算机运算性能飞跃性的提升，计算机的优势越来越深入到思维领域，于是计算机将高深的数学理论用到实际中来，十分有效地解决了许多实际问题，例如著名难题四色问题就是被计算机证明的。

问题的求解过程中有许多具有实用价值的数学分支如分析几何、小波分析、离散数学、仿生计算、数值计算中的有限单元方法等。

它让人们知道计算机程序设计结合的就是数学知识和数学思想。

软件编程是基于数学模型的基础上面的，所以，数学是计算机科学的主要基础，以离散数学为代表的应用数学是描述学科理论、方法和技术的主要工具。

软件编程中不仅许多理论是用数学描述的，而且许多技术也是用数学描述的。

从计算机各种应用的程序设计方面考察，任何一个可在存储程序式电子数字计算机上运行的程序，其对应的计算方法首先都必须是构造性的，数据表示必须离散化，计算操作必须使用逻辑或代数的方法进行，这些都应体现在算法和程序之中。

此外，到现在为止，算法的正确性、程序的语义及其正确性的理论基础仍然是数理逻辑，或进一步的模型论。

真正的程序语义是模型论意义上的语义。

于是软件编程思想运行的严密性、学科理论方法与实现技术的高度一致是计算机科学与技术学科同数学学科密切相关的根本原因。

从学科特点和学科方法论的角度考察，软件编程的主要基础思想是数学思维，特别是数学中以代数、逻辑为代表的离散数学，而程序技术和电子技术仅仅只是计算机科学与技术学科产品或实现的一种技术表现形式。

如今形形色色的软件，都与数学有必然的联系，它们相互相成。

例如，逻辑学在学科中的应用从早期的数理逻辑发展到今天的程序设计模型论；数学在学科中的应用从早期的抽象代数发展到今天的图形学、工程问题方面；几何学的应用从早期的二维平面计算机绘图发展到今天的三维动画软件系统，并在与复分析的结合中产生了分形理论与技术；在游戏、图形软件开发中引用了线性代数中大量的坐标变换，矩阵运算；在数据压缩与还原、信息安全方面引入了小波理论、代数编码理论等。

软件编程的思维定式决定了一个人编程的水平，在编程过程中，数学思维清晰，编写出来的程序让人耳目一新。

结合教学，通过调查分析，了解到超过85%的学生，他们在编程时是根据语法而编写程序，完全脱离了软件编程的思维，这种思维定式使得他们编写的程序相当糟糕，没有一点逻辑。

之所以造成这种软件编程的思维，是因为他们平时对数学思维的培养不够重视。

很多学计算机的学生想：

学高数，这有什么用？

学线性代数有什么用？

学离散数学，有什么用？

于是他们很少去上这些课，马马虎虎，整天闷在寝室里，玩玩游戏，装装软件，看看C语言。

只知道概率问题和矩阵知识在其它课程上起到了互补作用，学的不是很深。

但是当他们看到《数据结构和算法》时，感到其中的内容对他们而言感觉相当的艰涩难懂，这时他们就隐约感觉到了数学思维的作用了。

在此之前，他们不仅荒废了大学的高等数学,连初中的初等数学也忘的好多，当他们进行高抽象思维时，确实感觉自己的思维已经很迟钝了。

学计算机的学生之所以觉得《数据结构》这门课程很难，就是因为他们的数学思维锻炼的不够！

其实生活中有很多这样的例子：

对于一个刚毕业的，编应用软件的大学生，在编程中用到《线性代数》的矩阵时，恐怕便会想,在大学把线性代数学好就好了；当在程序中用到动态链表、树时，恐怕也会想“在大学时花点时间去学《数据结构》，会多么的有意义”；当学数据结构时，恐怕也会想“学《离散数学》时为什么要逃那么多的课，要不然学离散的时候就会很轻松”。

所以数学思维不够，在软件编程会有很多的疑虑，显的有点缩手缩尾，而且写的程序也不够健全，缺乏逻辑。

很多专业人士觉得数学和软件编程能力就像太极和拳击,软件编程能力很强就好比出拳速度很快很重,能直接给人以重击；数学很好的话就好像一个太极高手,表面上看没有太大的力量但是内在的能量是更强大的，但是好的拳击手是越年轻越好,而太极大师都是资历越深越厉害。

所以数学是成就大师的必备能力，虽然很多学生看上去感觉没有什么用途,但是到了一定的水平之后就会体会它的力量了。

目前很多出名的IT公司在笔试的时候，都会在程序设计题中考察应聘者的数学思维能力，因此，这应该引起广大学生在平时的学习中注意锻炼自己的数学思维，有机会的话参加一下数学建模比赛，你便会有很深刻的体会---原来数学和计算机结合得这样紧密。

在此，我们可以隐隐知道数学思维在软件编程中的应用。

尽管学习数学带给计算机专业人士的回报大过常人，但现今社会里每个人都能由此受益，是让人们提高自己思维能力，变得聪颖的绝佳方法。

这种思维能力能让人们在各方面受益！

但实际上，数学上功底扎实，在软件编程上的优势尽显，项目的设计模式格外地优化，程序逻辑条理也格外地清晰。

因为数学可以培养人的逻辑思维能力，而程序设计需要很强的逻辑思维能力。

这些让我们深刻的体会到数学思维与软件编程的耦合性。

3数学在电路分析中的作用与地位

傅里叶级数把波形分成了基波和谐波，滤波器主要是过滤掉谐波保留基波，可根据谐波的级数来计算滤波器的参数。

在电路中出了正弦电压和电流外，在不少实际应用中还会遇到这样的电压和电流，他们虽然是周期性变化的，但不是正弦量。

例如下图所举出的矩形波电压、锯齿波电压、三角波电压及全波整流电路。

一个非正弦周期函数，

只要满足狄利克雷条件，都可以展开成傅里叶级数。

利用函数的幂级数展开式，可以进行近似计算，达到要求的精度。

在电路分析中，经常会求解各种形式的电路参数，如：

积分、微分电路。

在求解的过程中，就需要利用一阶、二阶微分方程的知识，不然很难求解。

由此可见，数学是分析求解电路的强有力的工具，没有数学的帮助，分析电路就是纸上谈兵。

4结论

通过对数学在物理学及其他学科中的作用和地位的探讨，可以得到以下结论：

（1）一个理论有没有生命力的基本条件就是数学表述是否正确完善，是否和物理定律界定的条件配合得很好，或者和客观实验符合得很好。

（2）数学可以培养人的逻辑思维能力，这种能力是学系其他科学知识必不可少的。

（3）哲学只是用不同的方式解释世界，而起根本目的是改变世界，数学也同样如此。

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Mathematicsinphysicsandotherdisciplinesofthefunctionandposition

Abstract:

Mathematicsistherealworldnumberrelationshipandtheformofthespacescience,isthehumanlong-termpracticeofproductionanddevelopment.Discussestherelationshipbetweenmathematicsandotherscience,toourscientificresearchandstudyhasanimportantrole.

keywords:

calculusseriesplurallinearalgebra