高中数学同步题库含详解52等比数列的前n项和.docx

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高中数学同步题库含详解52等比数列的前n项和

高中数学同步题库含详解52等比数列的前n项和

一、选择题（共40小题；共200分）

1.等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则

A.B.C.D.

2.设为等比数列的前项和，，则等于

A.B.C.D.

3.等比数列的前项和为，已知，，则

A.B.C.D.

4.已知等比数列的公比，其前项和为，则与的大小关系为

A.B.C.D.不能确定

5.公比不为的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则

A.B.C.D.

6.等比数列的前项和为，若，则公比

A.B.C.D.

7.已知等比数列的前项和为，，，则

A.B.C.D.

8.数列的前项和为

A.B.C.D.

9.已知数列是正数组成的等比数列，是它的前项和．若，，则的值是

A.B.C.D.

10.在等比数列中，已知，，，则的值为

A.B.C.D.

11.已知等比数列为递增数列，是其前项和．若，，则

A.B.C.D.

12.已知等比数列中，且，那么的值是

A.B.C.D.

13.已知是首项为的等比数列，是的前项和，且，则数列的前项和为

A.或B.或C.D.

14.已知是等比数列，，，则等于

A.B.C.D.

15.在等比数列中，表示前项和，若，，则公比

A.B.C.D.

16.已知等比数列的前项和为，且，则数列的公比的值为

A.B.C.或D.或

17.若数列满足，且与的等差中项是，则等于

A.B.C.D.

18.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：

“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：

“有一个人要走里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地．”问此人第天和第天共走了

A.里B.里C.里D.里

19.已知等比数列的前项和，则

A.B.C.D.

20.设等比数列的前项和为，若，且，则等于

A.B.C.D.

21.已知等比数列的前项和为，且，，则

A.B.C.D.

22.已知为无穷等比数列，且公比，记为的前项和，则下面结论正确的是

A.B.

C.是递增数列D.存在最小值

23.设等比数列的前项和为，且满足，则

A.B.C.D.

24.等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为

A.B.C.D.

25.设数列是各项为正数的等比数列，为其前项和，已知，，则

A.B.C.D.

26.设为等比数列的前项和，，则的值为

A.B.C.D.

27.在各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，，是数列的前项的和，则

A.B.C.D.

28.设为等比数列的前项和，，则的值为

A.B.C.D.

29.等比数列的前项和为，则

A.B.C.D.

30.已知数列是递增的等比数列，，，则数列的前项之和

A.B.C.D.

31.清代著名数学家梅彀成在他的《增删算法统宗》中有这样一歌谣：

“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯?

”其译文为：

“远远望见层高的古塔，每层塔点着的灯数，下层比上层成倍地增加，一共有盏，请问塔尖几盏灯?

”则按此塔各层灯盏的设置规律，从上往下数第层的灯盏数应为

A.B.C.D.

32.设公比为的等比数列前项和为．若，，则

A.B.C.D.

33.已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则等于

A.B.C.D.

34.已知等比数列的前项和是，且，，则为

A.B.C.D.或

35.已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则

A.B.C.D.

36.设等比数列的前项和为，已知，且，则等于

A.B.C.D.

37.已知数列满足，，则数列的前项和为

A.B.C.D.

38.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：

“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：

“有一个人走里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为

A.里B.里C.里D.里

39.已知数列满足，，则

A.B.C.D.

40.如图，作边长为的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，则前个内切圆的面积和为

A.B.C.D.

二、填空题（共40小题；共200分）

41.等比数列的前项和公式

等比数列的公比为，其前项和为，

当时， ；

当时，  ．

42.等比数列中，，，则其公比的值为 

43.设等比数列的公比，前项和为，则．

44.已知公比为的等比数列的前项的和为，且，，则首项．

45.在等比数列中，已知，前三项的和，则公比 ．

46.在等比数列中，已知，，那么的结果可化为 ．

47.若数列满足，，则数列的前项和 ．

48.设是由正数组成的等比数列，为其前项和，已知，，则的公比 ．

49.已知等比数列的前项和为，若，，则 ．

50.等比数列的前项和为．已知，，则的通项公式 ， ．

51.若等比数列的前项和为，，，则公比 ．

52.等比数列的各项都是正数，若，，则它的前项的和是 ．

53.已知数列满足，，那么数列的前项和 ．

54.已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为 ．

55.已知等比数列的前项和为，且，则 ．

56.在等比数列中，若，，则 ．

57.已知数列满足，，则数列的前项和 ．

58.已知等比数列的首项，前项和为，若，则公比 ．

59.在等比数列中，若，，则数列的前项和 ．

60.已知等比数列的前项和为，且，，那么 ．

61.已知公比不为的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则公比 ．

62.设等比数列的前项和为，若，则 ．

63.已知等比数列的前项和为，若，，则的值为 ．

64.各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则的值为 ，的值为 ．

65.若等比例数列满足，，则公比 ；前项和 ．

66.等比数列前项和的性质

公比不为的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为⑫ ．

67.已知数列是递增的等比数列，，，则数列的前项和等于 ．

68.设等比数列的公比为，前项和为，若，且与的等差中项为，则 ．

69.等比数列的前项和为，前项和为，则前项和为 ．

70.设数列的首项，且满足与，则 ．

71.已知等比数列的前项和为，若，则公比 ．

72.已知等比数列的前项和满足：

，则 ．

73.已知等比数列的公比，其前项和，则 ．

74.在公比为且各项均为正数的等比数列中，为的前项和．若，且，则的值为 ．

75.等比数列中，，（），则的前项和为 ．

76.等比数列的前项和为，若，则公比 ．

77.已知数列满足：

，，则其前项的和 ．

78.设数列满足，且对任意的正数，满足，，则 ．

79.将数列按如图所示的规律排成一个三角形表，并同时满足以下两个条件：

①各行的第一个数，，，构成公差为的等差数列；

②从第二行起，每行各数按从左到右的顺序构成公比为的等比数列．

若，，，则 ；

第行的和 ．

80.已知各项均为整数的数列中，，且对任意的，满足，，则 ．

三、解答题（共20小题；共260分）

81.求的和．

82.已知数列为等比数列，它的前项和为，若，公比，求及．

83.已知数列满足（），且．

（1）求证：

数列是等比数列；

（2）求数列的前项和．

84.已知等比数列中，，，求数列的通项公式．

85.数列中，前项和满足．

（1）求数列的通项公式以及前项和；

（2）若，，成等差数列，求实数的值．

86.在等比数列中，最小，且，，前项和．

（1）求公比；

（2）求．

87.已知等比数列的前项和为，其接下去的后面的项和为．求其再接下去的后面的项的和．

88.求等比数列，，，，中，从第项到第项的和．

89.把一个正方形等分成个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉（如图①）；再将剩余的每个正方形都分成个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉（如图②）；如此下去

（1）如此下去，第三次共挖掉了多少个正方形?

（2）第个图共挖掉了多少个正方形?

若原正方形的边长为，则这些正方形的面积之和为多少?

90.已知等比数列中，，，求和：

．

91.在等比数列中，已知，且，，成等差数列．

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

92.已知一个等比数列的首项为，项数为偶数，其奇数项的和为，偶数项的和为，求这个数列的公比与项数．

93.在等比数列中，

（1）若，，求；

（2）若，，求和．

94.设是公比不为的等比数列，其前项和为，且，，成等差数列．

（1）求数列的公比；

（2）证明：

对任意，，，成等差数列．

95.已知是公差为的等差数列，数列满足，，．

（1）求的值并求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和．

96.已知为等差数列，且，．

（1）求的通项公式．

（2）若等比数列满足，，求的前项和公式．

97.已知等差数列和等比数列满足，，．

（1）求的通项公式；

（2）求和：

．

98.已知数列满足，．

（1）若数列满足，求证：

是等比数列；

（2）求数列的前项和．

99.已知等比数列满足，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和公式．

100.已知等差数列的公差不为，且，，成等比数列．

（1）求通项公式．

（2）设，求数列的前项和．

答案

第一部分

1.C2.D【解析】由条件得，

所以，则，于是．

3.C【解析】由已知条件及，得．设数列的公比为，则．所以，得．

4.B【解析】因为，

所以．

5.A

6.A【解析】因为，

所以，

即，

解得．

7.D8.C【解析】因为数列为等比数列，且首项，公比，

所以．

9.C【解析】因为，所以．又数列是正项数列，且，所以，所以．

10.C

【解析】，所以．，．解得．所以，所以．

11.D12.B【解析】因为

所以．

又因为，

所以．

13.C【解析】显然，

所以，

即，

解得，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，前项和．

14.C【解析】因为，

所以，．

所以，

所以．

所以．

15.B

16.C17.B18.C【解析】记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，

由，得，解得：

，

所以，，此人第天和第天共走了里．

19.D【解析】因为，

所以，，，

解得，，，

因为数列是等比数列，

所以，解得．

所以公比，，．

则．

20.A

【解析】因为等比数列的前项和为，，且，

所以解得，，

所以．

21.D【解析】设等比数列的公比为，

因为

所以

由可得，

所以，代入解得，

所以，，

所以．

22.C23.D【解析】因为等比数列的前项和为，且满足，

所以，解得，

所以．

24.D【解析】设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，所以，化为：

，解得．

25.C

【解析】设等比数列的公比为，因为，，所以，，解得，．则．

26.C27.B【解析】设正项等比数列公比为，

则由题意知：

，

因为，

所以，

即，

因为，

所以，，，

所以．

28.B【解析】设的公比为，

由题意得，

因此，

又，

即有，

因此，．

29.A【解析】因为等比数列的前项和为，

所以，，，

因为等比数列中，，

所以，解得．

30.C

【解析】在等比数列中，

若，，则，，

则，

解得，．

则．

31.C【解析】依题意知，此塔各层的灯盏数构成公比的等比数列，且前项和，

由，解得，

故．

32.B【解析】由，得，即，解得（舍）或，将代入中得，解得．

33.C【解析】因为，

所以，

所以．

又与的等差中项为，

所以，

所以，

所以，，

所以．

34.A【解析】由等比数列的性质可得，，成等比数列，

所以，

所以，即．

即得或（舍去，因为）．

35.B

【解析】由等比数列的性质可知，数列，，，是等比数列，

即数列，，，是等比数列，

因此．

36.A【解析】因为，

所以，为等比数列的公比，即，

所以．

所以，

所以．

37.C【解析】由已知得，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列，

所以数列的前项和为．

38.C【解析】记每天走的路程里数为，易知是公比的等比数列，，，

所以，

所以．

39.B【解析】因为，，

所以，

所以当时，，

所以，

所以数列中奇数项、偶数项分别成等比数列，

所以．

40.B

【解析】据已知条件，第一个内切圆的半径为，面积为；

第二个内切圆的半径为，面积为，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为，公比为，

故个内切圆的面积之和为

第二部分

41.，，

42.或

43.

【解析】对于，

，

所以．

44.

45.或

【解析】当时，满足题意；

当时，，

所以，

所以或（舍去）．

故或．

46.

【解析】由题意得，，

所以．

47.

【解析】因为，

所以．

又，

所以，

所以数列是首项，公比的等比数列，

所以．

48.

49.

50.，

51.或

52.

【解析】由，得，所以．所以．

53.

【解析】由题意知，所以数列是公比为的等比数列，所以，所以．

54.

【解析】设的公比为，若，则，与题中条件矛盾，故．

因为

所以．

所以

所以，则，

所以．

55.

【解析】，当时，，

所以，，又，

所以，整理得，则或（舍去）．

56.

【解析】由等比数列的性质知，，成等比数列，所以，，，解得．

57.

【解析】因为，所以．又，所以，所以数列是首项为，公比的等比数列，所以．

58.

【解析】由，知公比，．由等比数列前项和的性质知，，成等比数列，且公比为，故，．

59.

【解析】由，

得，

所以．

又，即，

所以，则，

所以数列的前项和．

60.

【解析】设的公比为，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以．

61.

【解析】依题意有，即，

即，，

又，

因此有．

62.

【解析】设等比数列的首项为，公比为，

由，得，即，

所以．

63.

【解析】设等比数列的公比为，由题意知，，

所以，

所以．

64.，

【解析】当等比数列的公比等于时，由，

得，，与题意不符．

设各项均为正数的等比数列的公比为，由，，

得

整理得

解得或（舍）．

则．

65.，

【解析】数列是等比数列，，

即有．

代入，得，

故．

66.

67.

【解析】由题意得所以，为方程的两个根，因为，所以，．所以，所以．所以．

68.

【解析】因为，所以，所以．又因为与的等差中项为，所以，即，化简得，解得或（舍去），所以．

69.

70.

【解析】数列的首项，且满足，

可得数列为等比数列，可得，

所以，

所以，

则

71.或

【解析】若，必有，满足题意；

故，由等比数列的求和公式可得，

化简可得，解得，

综上，．

72.或

73.

74.

75.或

76.

【解析】因为，

所以，

即，解得．

77.

78.

【解析】因为对任意的正整数，满足，

所以．

所以，

又，则，

所以，，，．

所以

所以．

79.，

【解析】根据题意得，所以，所以．又因为，所以，所以，的值分别为，．记第行第个数为，则．又根据此数表的排列规律可知：

每行的总个数构成一个以为首项，为公差的等差数列，所以第行共有个数，所以第行各数为以为首项，为公比的等比数列，因此其总数的和．

80.

【解析】因为，

所以，

所以．

又．

所以．

所以

第三部分

81.这是一个首项为，公比为的等比数列前项的和，

所以，．

82.，

83.

（1）因为，，

所以是首项为，公比为的等比数列．

（2）由（）可得，

所以，．

84.当时，，

，所以符合题意．

．

当时，

解得：

，所以．

故数列的通项公式为或．

85.

（1）由得；

又，

从而．

（2）由可得，，

从而由，，成等差数列可得；

，

解得．

86.

（1）因为成等比数列，

所以，

解方程，得，，

又最小，所以，，

又，

所以由得，

所以．

（2）由得，

所以．

87.设数列的公比为，显然，令，

则

解方程组，得或

若为偶数，则．．

若为奇数，则或．或．

综上所述，

为偶数时，所求数值为；

为奇数时，所求数值为或．

88.由，，得．

所以，，所以．

89.

（1）．

（2）我们把由图①分割为图②看作是一次操作，则一次操作挖去个小正方形，且由图①分割为图②时，增加了个图①，所以次操作后得到第个图，共挖掉了个正方形，这些正方形的面积和为

90.设数列的公比为，由，，得．所以．

因为为常数，

所以数列为以为首项，以为公比的等比数列．

所以．

91.

（1）设数列的公比为，则，

所以．

又，，成等差数列，即，

所以．

所以．

（2）当时，，．

当时，，

所以

又当时，上式也满足，

所以当时，．

92.设此等比数列共项，公比为，，

所以，由于奇数项组成一个以为首项，以为公比

的等比数列，

故所有奇数项之和为①

同理得所有偶数项之和为②

得，代入①，得，

所以，，

所以共项，其公比为．

93.

（1）由及，得，

解得，

所以．

（2）设公比为，由题意，得

即

，得，

解得，从而．

所以；

．

94.

（1）由题意，得，

设