复变函数测试题与答案.docx
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复变函数测试题与答案
复变函数测验题
第一章复数与复变函数
一、选择题
1．当
z
1
1
i
i
时，
100zz
7550
z的值等于（）
（A）i（B）i（C）1（D）1
2．设复数z满足
arc（z2），
3
5
arc（z2），那么z（）
6
13
（A）13i（B）3i（C）i
22
31
（D）i
22
3．复数ztani（）的三角表示式是（）
2
33
（A））]
sec[cos（）isin（（B）sec[cos（）isin（）]
2222
33
（C））]
sec[cos（）isin（（D）sec[cos（）isin（）]
2222
4．若z为非零复数，则
2z
2
z与2zz的关系是（）
22
（A）zz2zz
22
（B）zz2zz
22
（C）zz2zz
（D）不能比较大小
５．设x,y为实数，z1x11yi,zx11yi且有z1z12，则动点（x,y）
22
的轨迹是（）
（A）圆（B）椭圆（C）双曲线（D）抛物线
６．一个向量顺时针旋转，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为
3
13i，则原向量对应的复数是（）
（A）2（B）13i（C）3i（D）3i
1
复变函数测验题
７．使得
2
2z
z成立的复数z是（）
（A）不存在的（B）唯一的（C）纯虚数（D）实数
８．设z为复数，则方程zz2i的解是（）
3
（A）i
4
3
（B）i
4
3
（C）i
4
3
（D）i
4
zi
９．满足不等式2
zi
的所有点z构成的集合是（）
（A）有界区域（B）无界区域（C）有界闭区域（D）无界闭区域
10．方程z23i2所代表的曲线是（）
（A）中心为23i，半径为2的圆周（B）中心为23i，半径为２的圆周
（C）中心为23i，半径为2的圆周（D）中心为23i，半径为２的圆周
11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（）
z1
（A）2
z2
（B）z3z34
za
（C）1（a1）
1az
（D）zzazazaac0（c0）
12．设（）1,123i,z5i,
f，则f（z）（）
zzz1z
22
（A）44i（B）44i（C）44i（D）44i
13．
Im（z）Im（
lim
xx
0zz
0
z0）
（）
（A）等于i（B）等于i（C）等于0（D）不存在
14．函数f（z）u（x,y）iv（x,y）在点
z0xiy处连续的充要条件是（）
00
（A）u（x,y）在（x0,y）处连续（B）v（x,y）在（x0,y0）处连续
0
（C）u（x,y）和v（x,y）在（x0,y0）处连续（D）u（x,y）v（x,y）在（x0,y0）处连续
2
复变函数测验题
15．设zC且z1，则函数
f（z）
2
z
z
z
1
的最小值为（）
（A）3（B）2（C）1（D）1
二、填空题
1．设
（1i）（2i）（3i）
z，则z
（3i）（2i）
2．设z（23i）（2i），则argz
3．设
3
z5,arg（zi），则z
4
4．复数
（cos5
（cos3
i
i
sin5
sin3
2
）
2
）
的指数表示式为
6
5．以方程z715i
的根的对应点为顶点的多边形的面积为
６．不等式z2z25所表示的区域是曲线的内部
2z1i
７．方程1
所表示曲线的直角坐标方程为
2（1i）z
８．方程z12iz2i所表示的曲线是连续点和的线段
的垂直平分线
９．对于映射
i
z
2y2
，圆周x
（1）1的像曲线为
24
10．lim（1z2z）
z1i
三、若复数z满足zz（12i）z（12i）z30，试求z2的取值范围．
3
复变函数测验题
2
四、设a0，在复数集C中解方程z2za
.
五、设复数zi，试证
z
2
1z
是实数的充要条件为z1或IM（z）0.
11
六、对于映射z），求出圆周z4的像.
（
2z
z
1z
七、试证１.0（0）
2
z
2
的充要条件为
z1zzz；
212
z
1zkjkjn２.0（0,,,1,2,,））
j的充要条件为
z
2
z1z2znz1z2z.
n
八、若lim（）0
fzA
xx
0
，则存在0，使得当
1
0zz时有f（z）A.
0
2
xy
九、设zxiy，试证zxy
2
.
十、设zxiy，试讨论下列函数的连续性：
1.
f
2xy
（z）22
xy
z0
0,z0
2.
f
3
x
y
（z）22
xy
z0
0,z0
4
复变函数测验题
第二章解析函数
一、选择题：
1．函数
2
f在点z0处是（）
（z）3z
（A）解析的（B）可导的
（C）不可导的（D）既不解析也不可导
2．函数f（z）在点z可导是f（z）在点z解析的（）
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充分必要条件（D）既非充分条件也非必要条件
3．下列命题中，正确的是（）
（A）设x,y为实数，则cos（xiy）1
（B）若
z是函数f（z）的奇点，则f（z）在点z0不可导
0
（C）若u,v在区域D内满足柯西-黎曼方程，则f（z）uiv在D内解析
（D）若f（z）在区域D内解析，则if（z）在D内也解析
4．下列函数中，为解析函数的是（）
22
（A）xy2xyi
2
（B）xxyi
2xx
2
（C）2（x1）yi（y2）（D）
x
3iy3
2z
5．函数f（z）zIm（）在
z
0
处的导数（）
（A）等于0（B）等于1（C）等于1（D）不存在
2xyyiyaxyx
222
6．若函数f（z）x2（）在复平面内处处解析，那么实常
数a（）
（A）0（B）1（C）2（D）2
7．如果f（z）在单位圆z1内处处为零，且f（0）1，那么在z1内f（z）（）
（A）0（B）1（C）1（D）任意常数
8．设函数f（z）在区域D内有定义，则下列命题中，正确的是
5
复变函数测验题
（A）若f（z）在D内是一常数，则f（z）在D内是一常数
（B）若Re（f（z））在D内是一常数，则f（z）在D内是一常数
（C）若f（z）与f（z）在D内解析，则f（z）在D内是一常数
（D）若argf（z）在D内是一常数，则f（z）在D内是一常数
9．设
22
f（z）xiy，则f（1i）（）
（A）2（B）2i（C）1i（D）22i
10．
i
i的主值为（）
（A）0（B）1（C）e2（D）e2
11．
z
e在复平面上（）
（A）无可导点（B）有可导点，但不解析
（C）有可导点，且在可导点集上解析（D）处处解析
12．设f（z）sinz，则下列命题中，不正确的是（）
（A）f（z）在复平面上处处解析（B）f（z）以2为周期
（C）
izeiz
e
f（z）（D）f（z）是无界的
2
13．设为任意实数，则1（）
（A）无定义（B）等于1
（C）是复数，其实部等于1（D）是复数，其模等于1
14．下列数中，为实数的是（）
（A）
3
（1i）（B）cosi（C）lni（D）
3
e
2
i
15．设是复数，则（）
（A）z在复平面上处处解析（B）z的模为z
（C）z一般是多值函数（D）z的辐角为z的辐角的倍
6
复变函数测验题
二、填空题
1．设f（0）1,f（0）1i，则
lim
z0
f
（z）
z
1
2．设f（z）uiv在区域D内是解析的，如果uv是实常数，那么f（z）在D内是
3．导函数
uv
f（z）i在区域D内解析的充要条件为
xx
4．设
33
3322
f（z）xyixy，则f（i）
22
5．若解析函数f（z）uiv的实部
2y2
ux，那么f（z）
6．函数f（z）zIm（z）Re（z）仅在点z处可导
1
5
7．设f（z）z（1i）z
5
，则方程f（z）0的所有根为
8．复数
i
i的模为
9．Im{ln（34i）}
z
10．方程1e0的全部解为
三、设f（z）u（x,y）iv（x,y）为zxiy的解析函数，若记
zzzzzzzzw
w（z,z）u（,）iv（,），则0
22i22iz
．
四、试证下列函数在z平面上解析，并分别求出其导数
1．f（z）cosxcoshyisinxsinhy;
xx
2．f（z）e（xcosyysiny）ie（ycosyixsiny）;
7
复变函数测验题
五、设w32zwez0，求
dw
dz
2
d
w
2
dz
.
六、设
2
xy（xiy）
z0
f（z）24试证f（z）在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.
xy
0,z0
七、已知
2y2
uvx，试确定解析函数f（z）uiv.
八、设s和n为平面向量，将s按逆时针方向旋转即得n.如果f（z）uiv为解析函数，
2
则有
u
s
v
n
uv
（
ns
与
sn
分别表示沿s,n的方向导数）.
九、若函数f（z）在上半平面内解析，试证函数f（z）在下半平面内解析.
十、解方程sinzicosz4i.
8
复变函数测验题
第三章复变函数的积分
一、选择题：
2至1i的弧段，则
1．设c为从原点沿yx
（
c
2（）
xiy）dz
15
（A）i
66
15
（B）i
66
15
（C）i
66
15
（D）i
66
z
2．设c为不经过点1与1的正向简单闭曲线，则dz
为（）
2
（z1）（z1）c
（A）
i
2
（B）
i
2
（C）0（D）（A）（B）（C）都有可能
sinz
3．设c1:
z1为负向，c2:
z3正向，则dz
2
z
cc1c2
（）
（A）2i（B）0（C）2i（D）4i
cosz
4．设c为正向圆周z2，则dz
2
（1z）
c
（）
（A）sin1（B）sin1（C）2isin1（D）2isin1
5．设c为正向圆周
1
3
zcos
1
z2
z，则dz
2
2（1z）
c
（）
（A）2i（3cos1sin1）（B）0（C）6icos1（D）2isin1
e
6．设f（z）d，其中z4，则f（i）（）
z4
（A）2i（B）1（C）2i（D）1
7．设f（z）在单连通域B内处处解析且不为零，c为B内任何一条简单闭曲线，则积分
f（z）2f
（z）
cf（z）
f
（
z）
dz
（）
（A）于2i（B）等于2i（C）等于0（D）不能确定
9
复变函数测验题
8．设c是从0到i
1的直线段，则积分
2
ze（）zdz
zdz
c
（A）
1
e
2
（B）
1
e
2
ee
（C）1i（D）1i
22
sin（z）
4
2y2x
9．设c为正向圆周20
x，则dz
2
cz1
（）
2
（A）i
2
2
（B）2i（C）0（D）i
2
10．设c为正向圆周zi1,ai，则
c
zcosz
2
（ai）
dz
（）
（A）2ie（B）
2
e
i
（C）0（D）icosi
11．设f（z）在区域D内解析，c为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D．如果
f在c上的值为2，那么对c内任一点z0,f（z0）（）
（z）
（A）等于0（B）等于1（C）等于2（D）不能确定
12．下列命题中，不正确的是（）
（A）积分
zar
1
za
dz的值与半径r（r0）的大小无关
（B）（22）2
xiydz,其中c为连接i到i的线段
c
（C）若在区域D内有f（z）g（z），则在D内g（z）存在且解析
（D）若f（z）在0z1内解析，且沿任何圆周c:
zr（0r1）的积分等于零，则
f（z）在z0处解析
10
复变函数测验题
13．设c为任意实常数，那么由调和函数
2y2
ux确定的解析函数f（z）uiv是
（）
2
（A）izc
2
（B）izic
2
（C）zc
2
（D）zic
14．下列命题中，正确的是（）
（A）设v1,v2在区域D内均为u的共轭调和函数，则必有v1v2
（B）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数
（C）若f（z）uiv在区域D内解析，则
u
x
为D内的调和函数
（D）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数
15．设v（x,y）在区域D内为u（x,y）的共轭调和函数，则下列函数中为D内解析函数的是
（）
（A）v（x,y）iu（x,y）（B）v（x,y）iu（x,y）
（C）u（x,y）iv（x,y）（D）
u
x
i
v
x
二、填空题
1．设c为沿原点z0到点z1i的直线段，则
2zdz
c
2．设c为正向圆周z41，则
c
2
z
（
z
3z
2
4）
2
dz
3．设
sin（）
2
f（z）d,其中z2，则f（3）
z
2
4．设c为正向圆周z3，则
c
zz
z
dz
5．设c为负向圆周z4，则
c
z
e
（zi）
5
dz
11
复变函数测验题
6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的
7．设f（z）在单连通域B内连续，且对于B内任何一条简单闭曲线c都有（）0
fzdz，那
c
么f（z）在B内
8．调和函数（x,y）xy的共轭调和函数为
9．若函数
32
u（x,y）xaxy为某一解析函数的虚部，则常数a
10．设u（x,y）的共轭调和函数为v（x,y），那么v（x,y）的共轭调和函数为
三、计算积分
3.
zR
6z
2,其中R0,R1且R2;
dz
（z1）（z2）
4.
dz
4222
zzz
2
．
四、设f（z）在单连通域B内解析，且满足1f（z）1（xB）.试证
１．在B内处处有f（z）0；
f（z）
２．对于B内任意一条闭曲线c，都有dz0
f（z）c
五、设f（z）在圆域zaR内解析，若maxf（z）M（r）（0rR）
zar
，
n!
M（r）
（nn
）
则（1,2,）
f（a）
n
r
.
12
复变函数测验题
六、求积分
z1
z
e
z
dz
，从而证明
0
e.coscos（sin）d
coscos（sin）d
七、设f（z）在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数a,b，试求极限
f（z）
limdz并由此推证f（a）f（b）（刘维尔Liouville定理）.
R（za）（zb）
zR
八、设f（z）在zR（R1）内解析，且f（0）1,f（0）2，试计算积分
z1
（z1）
2f（z）
2
z
dz
并由此得出
2
0
2（i）
cosfed
2
之值.
九、设f（z）uiv是z的解析函数，证明
222
22
ln（1f（z））ln（1f（z））4f（z）
2
2
2
x
y
（1f（z））
2
.
2y2
十、若uu（x），试求解析函数f（z）uiv.
13
复变函数测验题
第四章级数
一、选择题：
n
（1）ni
1．设（1,2,）lima（）
ann，则n
n4
n
（A）等于0（B）等于1（C）等于i（D）不存在
2．下列级数中，条件收敛的级数为（）
（A）
13i
（
n1
2
n
）
（B）
n
n
（3
4i）
1n!
（C）
n1
n
i
n
（D）
n
n
（
1）
1n1
i
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